Chứng minh bất đẳng thức bằng lượng giác hóa

1 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG LƯỢNG GIÁC HÓA BIÊN SOẠN: GV NGUYỄN TRUNG KIÊN Mở đầu: Trong chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là các bài toán có biến ràng buộc bới một hệ thức cho trước thoạt nhìn chúng ta cứ nghĩ đó là bài toán đại số thuần tuý nhưng nếu biết biến đổi linh hoạt điều kiện để chuyển bài toán về dạng lượng giác thì cách giải sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Qua bài viết này tác giả mong muốn gửi đến các em học sinh một phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi TSĐH. Khi nào thì có thể vận dụng bất đẳng thức trong tam giác? - Từ điều kiện , , , 1a b c R ab bc ca    luôn tồn tại 3 góc của tam giác ABC sao cho tan , tan , tan 2 2 2 A B Ca b c   - Từ điều kiện , , ,a b c R ab bc ca abc    bao gìơ cũng tồn tại 3 góc của tam giác sao cho tan , tan , tana A b B c C   - Từ điều kiện  2 2 2, , , *a b c R a b c bc    với (0;2)  Tồn tại tam giác ABC có 3 góc thoả mãn điều kiện (*) và ta dễ dàng tính được góc A thông qua định lý hàm số côsin.. - Từ điều kiện  2 2 2 2 1, , , 1;1a b c abc a b c      luôn tồn tại a=cosA,b=cosB,c=cosC với A B C    Một số kết quả cơ bản * Khi ta đặt 2 2 2 2 2 2 1-a A 1tan sin ; osA= ;sin ; os 2 1 1 2 21 1 A a A aa A c c a a a a          * a,b,c R , ab+bc+ca=1 2 2 21 ( )( ),1 ( )( ),1 ( )( )a a b a c b b c b a c c a c b             (1) * a,b 2 2 1 1 1 1 abR a b       (2) Thật vậy (2) tương đương với  2 2 2 2 21 (1 )(1 ) 2ab a b ab a b       * 2 2 2 1, , , 1 1 1 1 a ba b c R ab bc ca a b c           (3) Thật vậy trước hết ta chứng minh 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) a b ab a b a b c         ( ) ( ) 1 ( )( )( ) ( )( )( ) a b c b c a ab a b b c c a a b b c c a             (Áp dụng kết quả (1)) ( ) ( ) 1 1a b c b c a ab ab bc ca          Vì 2 2 1 1 (1 )(1 ) ab a b      đpcm * 2 2 2 2 2 1 1 2, , , 1 1 1 1 a b ca b c R ab bc ca a b c             kientoanqb@yahoo.com sent to www.laisac.page.tl 2 Thật vậy trước hết ta chứng minh 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 (1 ) 1 1 (1 )(1 )(1 ) a b c ab a b a b c           sau đó dùng kết quả (2) ta có điều phải chứng minh * Nhìn bài toán bằng con mắt lượng giác - Ta thấy BĐT (2) 2 2 2 2 1 A B A1 os . os sin .sin 1 os 1 2 2 2 2 2 21 1 1 1 ab A B Bc c c a b a b                 rõ ràng bất đẳng thức này luôn đúng - Ta thấy (3) Csin sin 2 os 2 A B c   Nhưng ta có C A-B A-Bsin sin 2 os . os ; os 1 2 2 2 A B c c c              đpcm - Ta thấy (4) CosA+cosB 2sin 2 c  Nhưng ta có CosA+cosB=2sin . os( ); os( ) 1 2 2 2 A B A Bc c c    đpcm Bây giờ ta sẽ chứng minh các bài toán phức tạp hơn Ví dụ 1) 2 2 2 3, , 0, 1. : 10 1 1 1 a b ca b c ab bc ca Cmr a b c           (1) Giải: Ta thấy (1) sin sin 6sin 2 10 2 CA B    Lại có Csin sin 2 os 2 A B c  nên ta sẽ chứng minh C3sin os 10 2 2 C c  . Theo BĐT Bunhiacopxki 2 2 2C(3sin os ) (9 1)(sin os ) 10 2 2 2 2 C C Cc c     đpcm Ví dụ 2) 2 2 2 2 2 3 10, , 0, 1. : 1 1 1 3 a b c abc a c Cmr a b c           (2) Giải: Đây là bài toán khó nhưng nhìn kỹ các bạn sẽ thấy 1 1a cabc a c ac b b        từ đó ta đặt 1tan , tan , tan 2 2 2 A B ca c b    (2) 2 2 2 210 102cos 2sin 3cos ( osA+1)-(1-cosB)+3(1-sin ) 2 2 2 3 2 3 A B C Cc       2 12sin .cos 3sin 2 2 2 3 C A B C       vì cos 1 2 A B      22sin 3sin 2 2 C CVT   Ta sẽ chứng minh 2 12sin 3sin 2 2 3 C C    2 2 1 12sin 3sin 0 3(sin ) 0 2 2 3 2 3 C C C         . Điều này là hiển nhiên  đpcm 3 Ví dụ 3) Cho x, y ,z là các số dương thỏa mản x(x + y +z)=3yz Chứng minh rằng: (x + y)3 + (x + z)3 + 3(x +y)(y +z )(z + x) ≤ 5(y + z)3 (TSĐH 2009A) Giải: Đặt a = x +y , b = y + z, c = z +x thì a, b, c là các số dương và 2 ; 2 ; 2 cbazbacyacbx  Điều kiện bài toán trở thành cho a, b,c là các số dương thỏa mãn bccba  222 chứng minh 333 53 aabccb  (*) Coi a, b, c như là 3 cạnh của tam giác ta suy ra góc A=600 Ta có BĐT (*) 23222 53)(53)(3))(( abccbaaabccbaabccbcbcb  vận dụng điều kiện góc A=600 và các hệ thức a = 2Rsin A, b = 2RsinB, c= 2RsinC BĐT cần cm 15sin.sin12)sin(sin32  CBCB mặt khác ta có sinB + sinC 4 3 4 )] 2 sin(2[ 4 )sin(sinsinsin,3) 2 sin(2 2 2        CB CBCBCB Ta suy ra đpcm; dấu bằng xảy ra khi a=b=c zyx  Ví dụ 4) Cho 2 2 2, , 0, 2 4a b c a b c abc     . Chứng minh rằng 2a b c abc    (4) Giải: Từ giả thiết suy ra  , , 0; 2a b c do đó tồn tại A,B,C [0; ] 2  sao cho a=2cosA,b=2cosB,c=2cosC và 2 2 2 2 1a b c abc    suy ra A,B,C là các đỉnh của tam giác nhọn ABC. (4) AosA+cosB+cosC 4cosA.cosB.cosC+1 sin sin sin osA.cosB.cosC 2 2 2 B Cc c    Ta có  2 2 2 2cosA+cosB A-Bcos . osB sin . os sin 4 2 2 2 C CA c c        Tương tự có 2 bất đẳng thức nữa. Sau đó nhân vế với vế 3 bất đẳng thức cùng chiều ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5) Cho 2 2 2 , , 0 3 3: 21 1 1 x y z x y zCMR x y z xyz x y z           Giải: Đặt x=tanA, y=tanB,z=tanC với A,B,C là 3 góc nhọn của tam giác ABC thì bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3 3sin sin sin 2 A B C   Tacó 0 0A-B 60sin sin 2sin . os 2sin ; sin sin 60 2sin 2 2 2 2 A B A B CA B c C                              Từ đó suy ra 0 0 060 4 3sin sin sin sin 60 4sin 4sin 60 4 2 A B CA B C              hay 4 3 3sin sin sin 2 A B C   đpcm Ví dụ 6) Cho x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=1. Tìm GTLN của: xyzx yP x yz y zx z xy       Giải: 1 1 1 1 1 xy zP yz zx xy x y z       . Đặt 2 2; 2 2 yz A zx Btg tg x y   với 0 0 A B        Ta có: 1 . . .xy xz yz xz xz yzx y z z y x y y x       1 . 2 21 . cot 2 2 2 2 A Btg tgxy xz yz zx yz xy A B Cg tgA Bz y x y x z tg tg                 (Do    ; 0; 2 A B C A B        )  2 2 2 2 2 1 1 sin 12 cos cos 1 cos cos sin 2 2 2 21 1 1 2 2 2 Ctg A B CP A B CA B Ctg tg tg               Mặt khác: 3 3cos cos sin sin 2cos .cos 2sin .cos 3 2 2 2 2 3 32cos 2cos 4cos 4cos 2 3 2 2 4 6 C CA B A BA B C C A B CA B                        Do đó 1 3 3 31 2 3 1 2 2 4 P            . Đẳng thức xảy ra khi: 6 2 3; 3 2 12 3 3 3 A B A B yz zx xytg tg x y zC C                         . 2 3; 7 4 3x y z     . 5 Ví dụ 7) Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn: 1 1 1 1 x y z xyz    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 22 1 1 1 1 yx zP x y z        Giải:Ta có: 1 1 1 1 . . . 1x y y z z x x y z xyz        . Điều này cho ta hướng giải lượng giác. Đặt tan ; tan ; tan 2 2 2 A B Cx y z   Nếu  , , 0; ,A B C A B C     thì tan .tan tan . tan tan .tan 1 2 2 2 2 2 2 A B B C C A    Khi đó 2sin sin cos 2cos cos 2cos 1 2 2 2 C A B CP A B C       2 21 1 3cos cos 1 cos 2 2 2 2 2 2 C A B A BP            Vậy 3max 2 P  khi 2 2 2 33 tan 12 2 3 6 C x y A B                 MỘT SỐ BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1) Cho a, b,c không âm thỏa mãn điều kiện 1.ab bc ca   Chứng minh rằng: 1 1 1 5 2a b b c c a       2) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2 4a b c abc    . CRM: 3a b c   . 3) Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 1x y z   Tính giá trị lớn nhất của biểu thức     3 3 2 x yP x yz y zx z xy     4) Cho , ,x y z là những số thực dương thỏa mãn: x y z xyz   , CMR: 2 2 2 2 1 1 9 41 1 1x y z       5) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: 2 2 2 1 16 4 xyzx y z    . Chứng minh rằng 4 13 1 4( ) 28 x y z xyz xy yz zx        TÀI LIỆU THAM KHẢO: MATH.VN; TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ; OLYMPIC 30-04