Chương 1: Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến

Chương 1 : Đạo hàm và vi phân của hàm nhiều biến KHÔNG GIAN Rn Chuẩn và khoảng cách (mêtric) trong Rn : Với ta gọi là chuẩn của (vectơ) x Với ta gọi là tích vô hướng của x và y. Ta có : Định lí 1: Với mọi ta có 5 tính chất: Chứng minh một số tính chất : Ta gọi là khoảng cách giữa x và y trong Theo định lý 1, khoảng cách có các tính chất sau : Chú ý : là khoảng cách thông thường của 2 điểm trong mặt phẳng, không gian. Giới hạn của dãy trong Rn : Cho dãy , dãy gọi là hội tụ đến nếu : Ký hiệu : Một vài nhận xét : Nếu dãy hội tụ thì giới hạn của nó là duy nhất. Nếu dãy hội tụ đến a thì mọi dãy con của nó cũng hội tụ đến a. Dãy gọi là dãy Cauchy nếu Ta nói trong hội tụ Û nó là dãy Cauchy. Nếu là dãy Cauchy và có 1 dãy con hội tụ đến a thì Định lý 2 : Cho dãy , đặt Chứng minh Vài khái niệm Tôpô trong Rn : Cho , ta gọi là e _ lân cận của điểm a (hình cầu tâm a, bán kính e) Cho tập con và Điểm a gọi là điểm trong của A nếu sao cho Điểm a gọi là điểm ngoài của A nếu sao cho Điểm a gọi là điểm biên của A nếu Mỗi điểm là một và chỉ một trong 3 loại điểm nói trên của tập A. Tập tất cả các điểm biên của A, ký hiệu là và gọi là biên của A. Tập A gọi là tập mở nếu đều là điểm trong của A. Nói cách khác : Tập A gọi là tập đóng nếu A chứa tất cả các điểm biên của A. Nói cách khác : Nhận xét : Ta gọi bao đóng của A là tập đóng nhỏ nhất chứa A, ký hiệu . Ta có : Ta gọi phần trong của A là tập mở lớn nhất được chứa trong A, ký hiệu . Ta có : Định lí 3: Chứng minh Định lý 4 : Chứng minh Tập A trong gọi là tập liên thông nếu S1, S2 là các tập con tùy ý của thỏa mãn : Tập D của gọi là miền nếu D mở và liên thông. Nếu D là miền thì gọi là miền đóng. HÀM NHIỀU BIẾN – GIỚI HẠN & LIÊN TỤC Hàm n biến : Cho Ta gọi một ánh xạ là 1 hàm n _ biến xác định trên tập A. Ký hiệu Hàm 2 biến thường ký hiệu Hàm 3 biến thường ký hiệu Hàm cho bởi 1 công thức, ta gọi tập tất cả các (x,y) mà công thức có nghĩa là tập xác định của hàm số. Ví dụ : có TXĐ là là hình tròn đơn vị trong mặt phẳng Biểu diễn của hàm 2 biến : cho hàm . Tập tất cả các điểm trong Oxyz gọi là “mặt” biểu diễn của f. Ví dụ : z = 2x – 3y có mặt biểu diễn là mp có pt 2x – 3y – z = 0 z = x2 + y2 có mặt biểu diễn là mặt paraboloid tròn xoay Cho hàm . Với mỗi zo thì hệ pt là 1 đường trong không gian, gọi là đường đẳng trị hay đường mức của f. Giới hạn : Cho và điểm Điểm x gọi là điểm giới hạn (điểm tụ) của tập A nếu mọi x là điểm giới hạn của A Các điểm nhưng không phải là điểm giới hạn của A gọi là điểm cô lập của A. Ví dụ : thì 0 là điểm giới hạn của A, 0 Ï A và mọi điểm thuộc A đều là điểm cô lập. Cho hàm u = f(x) xác định trên tập A, là 1 điểm giới hạn của A. Số L gọi là giới hạn của f(x) khi nếu mọi dãy đều có Ký hiệu Tính chất : Nếu thì Giả sử , (xo, yo) là 1 điểm giới hạn của TXĐ của nó Giới hạn của khi được ký hiệu hoặc (Trong đk cuối có ý nghĩa cả trường hợp xo, yo, L = ± ¥) Ví dụ : Tìm giới hạn : Ví dụ : Xét sự tồn tại giới hạn : Giới hạn lặp : Xét hàm , giả sử với mỗi y trong 1 lân cận của yo tồn tại Khi đó nếu tồn tại thì L gọi là một giới hạn lặp của (x,y) Ký hiệu : Tương tự, ta có : Ví dụ : Ví dụ : Ví dụ : Hàm liên tục : Cho hàm . Hàm gọi là liên tục tại nếu Hàm gọi là liên tục trên A nếu nó liên tục tại mọi x Ỵ A Tính chất : Cho liên tục tại . Khi đó liên tục tại Định lý 1 : Hàm liên tục trên tập compăc A thì tồn tại sao cho : CM : Hàm f xác định trên tập A gọi là liên tục đều nếu Định lý 2 : Hàm f liên tục trên tập compăc A thì f liên tục đều CM : ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa đạo hàm riêng : Cho hàm , xác định trong e – lân cận của Cho x số gia Dx. Ta gọi : là số gia riêng theo biến x tại Nếu tồn tại và hữu hạn giới hạn : thì giới hạn đó gọi là đạo hàm riêng theo biến x tại . Ký hiệu hoặc Vậy Tương tự, ta có đạo hàm riêng theo biến y tại . Ký hiệu hoặc Chú ý : Đạo hàm riêng theo biến x (y) là đạo hàm của hàm đã cho theo biến x (y) nếu coi biến kia là hằng số. Ví dụ : a) Cho . Tính b) Cho . Tính c) Cho . Tính Chú ý rằng : nên hàm không liên tục tại Đạo hàm riêng cấp cao : Nếu có đạo hàm riêng theo biến x tại , Ta có : gọi là đạo hàm riêng cấp 2 theo x của hàm tại Tương tự, ta có là đạo hàm riêng cấp 2 theo biến y tại Các đạo hàm riêng : gọi là các đạo hàm riêng hỗn hợp cấp 2. Ví dụ : Cho . Tính các đạo hàm riêng . Chú ý : có thể xảy ra trường hợp Ví dụ : Cho hàm . Tính Định lý Schwartz : Chứng minh Chú ý : Cho hàm n biến Đạo hàm riêng theo biến xi là đạo hàm của hàm theo biến xi nếu coi các biến khác là hằng số. Ký hiệu hoặc . Tương tự, ta cũng có đạo hàm riêng cấp cao của nó. VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Định nghĩa vi phân của hàm 2 biến : Cho xác định trong 1 lân cận . Cho x, y các số gia tương ứng là Dx và Dy sao cho Ta gọi là số gia toàn phần của tại Hàm gọi là khả vi tại nếu , trong đó A, B là hằng số, . Khi hàm khả vi tại thì ta có : là vi phân (toàn phần) của f tại Đặt . Ta có : , trong đó Ta có Ta có thể định nghĩa một cách tương đương: Hàm khả vi tại nếu (*), trong đó là vô cùng bé cấp cao hơn khi Điều kiện để hàm 2 biến khả vi : Định lý 1 : Hàm khả vi tại thì liên tục tại CM : Định lý 2 : Hàm khả vi tại thì hàm có các đạo hàm riêng tại . Hơn nữa : CM : Trong hàm 1 biến, ta có . Từ đó ta có biểu thức vi phân của hàm 2 biến : Định lý 3 : Nếu có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 lân cận của thì hàm khả vi tại . CM : Vi phân của hàm n biến số : Cho hàm xác định trong 1 lân cận của điểm Cho xi số gia Dxi, khi đó ta có là số gia toàn phần của f tại x. Đặt . Nếu tồn tại các hằng số sao cho , trong đó là vô cùng bé cấp cao hơn khi thì hàm gọi là khả vi tại . Ta có các tính chất sau : f khả vi tại xo thì liên tục tại xo. f khả vi tại xo thì có đạo hàm riêng tại xo, f có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 lân cận của xo thì khả vi tại xo. HÀM ẨN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Định nghĩa hàm ẩn : Cho phương trình , xác định trên miền Nếu tồn tại và hàm sao cho thì hàm xác định ẩn từ phương trình Cho phương trình , xác định trên Nếu tồn tại miền và hàm sao cho thì hàm là hàm xác định ẩn từ phương trình Ví dụ : Xét phương trình Ta có : Đạo hàm của hàm ẩn : Định lý 1 : Cho hàm F (x,y) thỏa mãn các điều kiện : Khi đó tồn tại khoảng và hàm y = y(x) xác định trên khoảng đó thỏa mãn , y(x) có đạo hàm Định lý 1’ : Cho hàm F (x,y,z) thỏa mãn các điều kiện : Khi đó tồn tại hàm z = z(x,y) , sao cho z(x,y) có các đạo hàm riêng trong được tính theo công thức : Chứng minh Các ví dụ : a) Tính y’x của hàm z xác định từ pt : Cách 1 : Cách 2 : Lấy đạo hàm 2 vế theo x, ta được b) Tìm các đạo hàm riêng của z = z(x,y) xác định từ : Cách khác : Lấy đạo hàm 2 vế theo x, coi z = z(x,y) CÔNG THỨC TAYLOR HÀM NHIỀU BIẾN Công thức đạo hàm hàm hợp : Cho hàm . Ta lập công thức tính Giả sử z có các đạo hàm riêng liên tục trong 1 miền D. Khi đó z khả vi . Tại mỗi ta có : , Cho : (*) Cho . Theo công thức (*) Công thức Taylor : Cho hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp n + 1 trong một e - lân cận của Với h, k đủ bé sao cho Đặt . Ta có hàm một biến F có đạo hàm đến cấp n + 1. Theo công thức Taylor cho hàm F(t) (to = 0, t = 1) Bằng quy nạp ta có công thức, . Thay vào (*), ta được trong đó Cho hàm n biến . Xét tại điểm . Giả sử f có các đạo hàm riêng liên tục đến cấp n + 1 trong 1 lân cận của điểm . Khi đó ta có công thức : Với Ví dụ : Tìm khai triển Taylor (n = 2) của hàm : tại (1,1) Ta có : CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa : Cho hàm xác định trong lân cận . Điểm gọi là điểm cực đại nếu , Điểm gọi là điểm cực tiểu nếu , , thì gọi là cực đại thực sự. , thì gọi là cực tiểu thực sự. Điểm cực đại hay cực tiểu gọi chung là điểm cực trị Đặt ta có thể định nghĩa như sau : là điểm cực đại nếu , là điểm cực tiểu nếu , Điều kiện cần để có cực trị : Định lý 1 : Hàm có cực trị và tại điểm đó có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng đó bằng 0. CM : Chú ý : Hàm nhiều biến có cực trị tại các điểm có đạo hàm riêng bằng 0 hoặc tại các điểm không có đạo hàm riêng. Các điểm có đạo hàm riêng bằng 0 gọi là các điểm dừng. Điều kiện đủ : Định lý 2 : Cho có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục trong 1 lân cận điểm dừng Đặt . Tính Khi đó : Chứng minh Ví dụ : Tìm cực trị của hàm : Cực trị hàm n biến : Cho hàm n biến . Nếu hàm đạt cực trị tại và tại điểm đó có các đạo hàm riêng thì các đạo hàm riêng bằng 0. Điểm có các đạo hàm riêng bằng 0 gọi là điểm dừng. Giả sử là 1 điểm dừng. Giả sử các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục, đặt Tính chất Sylveter : Dạng toàn phương có ma trận A Xác định dương khi Xác định âm khi Ta có : Chú ý : Nếu nhưng không theo một trong 2 quy luật trên thì không phải là điểm cực trị. Nếu tồn tại các thì chưa có kết luận. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm : Chú ý về hàm 2 biến : CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN Định nghĩa : Cho hàm xác định trên miền D, là hàm xác định trên D, Điểm gọi là điểm cực đại (cực tiểu) của với điều kiện nếu tồn tại sao cho với mọi Phương pháp nhân tử Lagrange : Định lý 1 : Cho có các đạo hàm riêng liên tục, . Khi đó nếu có cực trị với điều kiện tại thì tồn tại bộ số là nghiệm của hệ : (*) Chú ý : Đặt thì hệ (*) còn có thể viết dưới dạng : Chứng minh Định lý 2 : Nếu là một điểm dừng ứng với . Khi đó nếu : Xác định dương có điều kiện thì là cực tiểu có điều kiện Xác định âm có điều kiện thì là cực đại có điều kiện Không xác định có điều kiện thì không phải là điểm cực trị Ví dụ : Tìm cực trị của hàm a) b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trong một miền đóng, bị chặn : Cho liên tục trên miền đóng, bị chặn Bước 1 : Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trong miền Bước 2 : Tìm các điểm nghi ngờ có cực trị trên biên () Tính giá trị các hàm tại tất cả các điểm tìm được ở bước 1, 2. So sánh các giá trị tìm được ta có GTLN, GTNN của hàm Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của hàm số : a) b) MỘT VÀI KHÁI NIỆM HÌNH HỌC Độ cong : Cho đường cong , không có điểm tự cắt. Lấy 2 điểm M, M’ trên . Xác định một chiều của gọi là chiều dương. Ký hiệu a là góc giữa 2 tiếp tuyến tại M và M’ theo chiều dương. Ta gọi độ cong trung bình của trong cung là : Cho gọi là độ cong của tại điểm M. Với đường thẳng : độ cong tại mọi điểm đều bằng 0 Với đường tròn bán kính R : Thiết lập công thức : Xét có phương trình y = f(x), có hoành độ lần lượt là x và . Gọi là góc giữa tiếp tuyến với tại M và Ox là góc giữa tiếp tuyến với tai M’ và Ox Ta có : . Suy ra Ta có : (*) Nếu có phương trình : x = x(t), y = y(t) Thay vào (*) ta được Đường tròn chính khúc – Khúc tâm : Cho đường cong và . Dựng pháp tuyến với tại M. Trên đường pháp tuyến về phía lõm đường cong ta chọn điểm I sao cho . Ta gọi đường tròn tâm I, bán kính là đường tròn chính khúc của tại M Ta có đường tròn chính khúc của tại M tiếp xúc với tại M Tâm của đường tròn chính khúc gọi là khúc tâm Bán kính của đường tròn chính khúc gọi là khúc bán kính Ta có khúc bán kính Ta thiết lập công thức tìm tọa độ khúc tâm Đường túc bế – đường thân khai : Cho đường cong , ta gọi đường túc bế của là quỹ tích của khúc tâm M khi M chạy trên Khử tham số từ hệ phương trình tọa độ khúc tâm ta được phương trình đường túc bế Cho đường cong , nếu tồn tại đường L sao cho là đường túc bế thì L gọi là đường thân khai của . Hình bao của một họ đường cong : Cho một họ đường cong H và hình E E gọi là hình bao của H nếu mọi đường cong trong H đều tiếp xúc với E và mọi điểm thuộc E đều có 1 đường cong H tiếp xúc với E tại điểm đó Ví dụ : Họ đường cong (H) : có hình bao là hai đường thẳng : Định lý : Cho họ đường cong , không có điểm kỳ dị. Khi đó pt tham số của hình bao họ đường cong đó là : Chứng minh Tiếp tuyến và pháp diện của đường trong không gian : Cho đường trong không gian có pt tham số : . Xét điểm có tọa độ là . Tiếp tuyến với tại Mo có VTCP là : . Vậy pt tiếp tuyến với tại Mo là : Mặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến tại Mo gọi là pháp diện của tại Mo. PT của pháp diện : Pháp tuyến và tiếp diện của mặt : Cho mặt cong S có pt Đường thẳng MoT gọi là 1 tiếp tuyến của mặt S tại Mo nếu MoT là tiếp tuyến với 1 đường cong trong S đi qua Mo. Giả sử có pt Ta có : Nếu điểm Mo ứng với t = to thì : là VTCP của tiếp tuyến với tại Mo. Đặt Ta có : . Ta gọi là VTPT với mặt S tại Mo. Đường thẳng đi qua Mo và nhận làm VTCP là pháp tuyến của S tại Mo. Phương trình pháp tuyến tại Mo là : Mặt (a) gọi là tiếp diện của mặt cong S tại Mo nếu mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến với mặt S tại Mo. Tiếp diện còn gọi là mặt phẳng tiếp xúc Phương trình tiếp diện tại Mo là :