Chương 1 Tập hợp và lý luận cơ bản

Chương 1 Tập hợp và lý luận cơ bản 1/ Các phép toán tập hợp: Định nghĩa: Tích của 2 tập hợp: Cho 2 tập hợp A và B, tích của A và B là họ tất cả các cặp (x, y) với x Î A và y Î B Nếu B = A, ta kí hiệu A ´ A = A2 . Lúc đó A2 là họ tất cả các cặp (x, y) với x Î A, y Î A, lưu ý: (x, y) ≠ (y, x) vd như M = (1, 2) khác N = (2, 1) trong R2. * Cm tập hợp A chứa trong tập hợp B: cho A, B và C là 3 tập hợp sao cho A Ì B và B Ì C. Cm A Ì C Cho x trong A Þ x Î B vì A Ì B, cho y trong B Þ y Î C vì B Ì C Þ cho x trong A thì x Î C 2/ Quan hệ trong 1 tập hợp: Định nghĩa: cho 1 tập hợp A khác trống và B là 1 tập con khác trống trong A´A . Ta nói x  y nếu (x, y) Î B. Lúc đó ta gọi  là 1 quan hệ trong A. VD: 1/ B = { (x, y) : x < y} : a  b Û a < b 2/ B = { (x, y) : x y} : a  b Û a ≤ b 3/ B = { (x, y) : x = y} : a  b Û a = b * Tính chất: 1/ Quan hệ  đối xứng if x  y thì y  x VD: a/ a  b Û a = b (đối xứng) b/ a  b Û a=b (đối xứng) c/ a  b Û a ≤ b ( ko đối xứng vì a ≤ b thì ko suy ra được b ≤ a) Để cho quan hệ  đối xứng, tập con B phải đối xứng qua đường chéo góc phần tư thứ 1 của A´A 2/ Quan hệ  phản xạ nếu: “ x  x " x Î A” VD: a/ a  b Û a=b (phản xạ vì a=a) b/ a  b Û a ≤ b ( phản xạ vì a ≤ a) c/ a  b Û a<b (ko phản xạ vì ko có a<a) Để cho quan hệ  phản xạ, tập con B phải chứa đường chéo góc phần tư thứ 1 của A´A 3/ quan hệ  truyền nếu: “ x  y và y  z thì x  z “ VD: a/ a  b Û a ≤ b (truyền vì a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c) b/ a  b Û a=1-b2 ko truyền vì a=1-b2 và b=1-c2 Þ a=1-1-c2=c2=c ko suy ra được a=1-c2 4/ Quan hệ  phản đối xứng nếu: “ x  y và y  x thì x = y” VD: a/ a  b Û a ≤ b phản đối xứng vì: a  b và b  a Û a ≤ b và b ≤ a Þ a = b b/ a  b Û $ m Î Z, a = b + m ko phản đối xứng vì: a  b và b  a ko suy ra được a = b Để cho quan hệ  phản đối xứng, ta thấy B Ç B’ (B giao B’, B’ là phần đối xứng của B qua đường chéo góc phần tư thứ 1 của A´A) phải chứa trong đường chéo của A´A 5/ Quan hệ  toàn phần nếu: “" x và y trong A thì x  y or y  x “ VD: a/ a  b Û a ≤ b (toàn phần) b/ a  b Û $ m Î Z, a = b + m (ko toàn phần) Để cho quan hệ  phản đối xứng, ta thấy B È B’ (B hợp B’) phải = A´A 6/ Quan hệ  là 1 quan hệ thứ tự nếu  phản xạ, phản đối xứng và truyền: Phản xạ: x  x " x Î A, phản đối xứng: x  y và y  x thì x = y, truyền: x  y và y  z thì x  z VD: a/ a  b Û a < b ko là quan hệ thứ tự vì sai quan hệ phản xạ: a < a, sai quan hệ phản đối xứng: a < b và b < a Þ a = b b/ a  b Û a ≤ b là quan hệ thứ tự: Phản xạ: a ≤ a, phản đối xứng: a ≤ b và b ≤ a Þ a = b, truyền: a ≤ b và b ≤ c Þ a ≤ c c/ a  b Û $ m Î Z, a = b + m ko là quan hệ thứ tự vì sai quan hệ phản đối xứng: a = b + m và b = a - m Þ a = b 7/ Quan hệ  là 1 quan hệ tương đương nếu  phản xạ, đối xứng và truyền: Phản xạ: x  x " x Î A, Đối xứng: if x  y thì y  x, truyền: x  y và y  z thì x  z VD: a/ a  b Û $ m Î Z, a = b + m là 1 quan hệ tương đương: Phản xạ: a = b + m Þ m = 0, Đối xứng: if a = b + m thì b = a - m, Truyền: a = b + m1 và b = c + m2 Þ a = c + m1+m2 b/ a  b Û a=b là 1 quan hệ tương đương: Phản xạ: a=a, Đối xứng: if a=b thì b=a Truyền: a=b và b=cÞa=c. c/ a  b Û a = -b ko là 1 quan hệ tương đương vì sai quan hệ phản xạ: a ≠ -a, sai quan hệ truyền: a = -b và b = -c Þ a = -c 8/ Quan hệ  là 1 quan hệ thứ tự toàn phần nếu  phản xạ, phản đối xứng, truyền và toàn phần: Phản xạ: x  x " x Î A, phản đối xứng: x  y và y  x thì x = y, truyền: x  y và y  z thì x  z Toàn phần: " x và y trong A thì x  y or y  x VD: a/ a  b Û a ≤ b là quan hệ thứ tự toàn phần: phản xạ: a ≤ a, phản đối xứng: a ≤ b và b ≤ a Þ a = b Truyền: a ≤ b và b ≤ c Þ a ≤ c toàn phần: " a và b trong A thì a ≤ b or b ≤ a b/ a  b Û a = b or 0 ≤ a ≤ b là quan hệ thứ tự ko toàn phần: sai quan hệ truyền: a  b or b  a Û a = b or 0 ≤ a ≤ b or 0 ≤ b ≤ a 3/ Phủ định mệnh đề: ~P là phủ định của mệnh đề P Cách phủ định các mệnh đề: 1/ đổi $ thành " 2/ đổi " thành $ 3/ đổi P thành ~P 4/ để nguyên Î 5/ để nguyên từ “đúng với’ 6/ P là: “ R và S” Þ ~P là: “~R or ~S” 7/ P là: “x < 5 và y ≥ 9” Þ ~P là: “x ≥ 5 or y <9” * Cm = đảo đề: để cm P Þ Q ta có thể cm ~Q Þ ~P * Cm = phản chứng : để cm mệnh đề P đúng, ta cm mệnh đề ~P sai * Viết mệnh đề sau ra dạng cơ bản: với mọi số thực dương ε có 1 số nguyên b sao cho am-an<ε . Suy ra phủ định của câu trên: Mệnh đề A: " ε Î (0, ∞), $ b Î N sao cho am-an<ε " m, n ≥ b Phủ định mệnh đề A: ~A: $ ε Î (0, ∞), sao cho " b Î N $ m, n ≥ b sao cho am-an>ε Đặt P(ε) là: am-an<ε Þ Mệnh đề A: " ε Î (0, ∞), $ b Î N sao cho P(ε) đúng " m, n ≥ b ~A: $ ε Î (0, ∞), sao cho " b Î N sao cho $ m, n ≥ b ~P(ε) đúng * Cho A là 1 tập hợp. Cm: Ø Ì A Cách 1: cm = phản chứng: giả sử Ø Ì A sai. Ta phủ định: Ø Ì A Ø Ì A Û " x Î Ø : x Î A phủ định Ø Ì A Û $ x Î Ø : x Ï A Vậy giả thiết phản chứng là: có x Î Ø sao cho x Ï A. Giả thiết x Î Ø mâu thuẫn với định nghĩa của tập trống Vậy giả thiết phản chứng sai Þ Ø Ì A Cách 2: cm = đảo đề: cho x Î Ø Þ x Ï A (ko cm được) Đảo đề: x Î A Þ x Ï Ø (đúng theo định nghĩa) * Cho 2 tập trống: Ø 1 và Ø 2 Cm: Ø 1=Ø 2 Ta cm Ø 1 Ì Ø 2: cho x Î Ø 1 Þ x Î Ø 2 (ko cm được) Cm = đảo đề: x Ï Ø 2 Þ x Ï Ø 1 đúng vì tập trống ko chứa phần tử nào. Vậy Ø 1 Ì Ø 2 (1) Cm Ø 2 Ì Ø 1: cho x Î Ø 2 Þ x Î Ø 1 (ko cm được) Cm = đảo đề: x Ï Ø 1 Þ x Ï Ø 2 đúng vì tập trống ko chứa phần tử nào. Vậy Ø 2 Ì Ø 1 (2) Ø 1 Ì Ø 2 và Ø 2 Ì Ø 1Þ Ø 1=Ø 2 * Với mọi số thực x, đặt f(x) = y sao cho y(x - 1) = 1. Tìm miền xác định của f Đặt D = {x Î R: f(x) xác định duy nhất}. Ta cm D = R\{1} Cm R\{1} Ì D: Nếu x Î R\{1} Þ (x - 1) ≠ 0, vậy ta chọn y=(x-1)-1 Þ x Î D Þ R\{1} Ì D Cm D Ì R\{1}: x Î D thì x Î R\{1} Cm đảo đề: x Ï R\{1} thì x Ï D Vì x Ï R\{1} Þ x = 1. Cm x = 1 thì x Ï D D = {x Î R: f(x) xác định duy nhất} Có duy nhất y sao cho y = f(1) f(x) = y sao cho y(x - 1) = 1 Khi x = 1, ta có (x - 1) = 0 và ko có số thực y nào để y(x - 1) = 1, vậy x Ï D. Vậy D Ì R\{1} D Ì R\{1} và R\{1} Ì D Þ D = R\{1} 4/ Đơn ánh, toàn ánh, song ánh: a/ Đơn ánh: Cho X và Y là 2 tập hợp khác nhau. Ta nói f là 1 đơn ánh nếu f(a) ≠ f(b) khi a ≠ b b/ Toàn ánh: Cho X và Y là 2 tập hợp khác nhau. Ta nói f là 1 toàn ánh nếu f(X) = Y c/ Song ánh: f là 1 song ánh nếu f đơn ánh và toàn ánh: f(a) ≠ f(b) khi a ≠ b và f(X) = Y 5/ Số nguyên – tập các số tự nhiện N 1/ Các tiên đề Peano về tập các số nguyên dương: 1/ Với mỗi phần tử x trong N có 1 phần tử kế tiếp của x trong N kí hiệu là S(x) 2/ Cho x và y là 2 phần tử trong N sao cho S(x) = S(y) thì x = y 3/ Có 1 phần tử trong N kí hiệu là 1 sao cho 1 ko là phần tử kế tiếp của phần tử nào trong N 4/ Cho U là 1 tập hợp con của N sao cho 1 Î U và S(x) Î U " x Î U. Lúc đó U = N 2/ Phép qui nạp toán học: để cm đúng " n ≥ m, ta cm: * Cm đúng với n = m * Cho 1 số nguyên dương k ≥ N. Giả sử đúng, cm cũng đúng 6/ Tập hợp đếm được và ko đếm được: 1/ Tập hợp A có hữu hạn phần tử nếu: A có n phần tử và có 1 song ánh f từ tập hợp {1, 2, 3,...,n} vào A. 2/ A là 1 tập hợp vô hạn đếm được nếu có 1 song ánh f từ N vào A. 3/ A là 1 tập hợp quá lắm đếm được nếu A có hữu hạn phần tử or vô hạn đếm được. 4/ A là 1 tập hợp vô hạn ko đếm được nếu A ko hữu hạn và ko vô hạn đếm được. * bài toán: đặt P(N) là họ tất cả các tập hợp con của N. Cm P(N) là 1 tập hợp vô hạn ko đếm được. Dùng phản chứng: A ko là tập hợp vô hạn ko đếm được nếu A hữu hạn or A vô hạn đếm được Nhưng : ko hữu hạn Giả thiết phản chứng P(N) vô hạn đếm được A là 1 tập hợp vô hạn đếm được nếu có 1 song ánh f từ N vào A Þ có 1 song ánh f từ N vào P(N) 7/ Các bài toán số thực 8/ Sup and inf Định nghĩa: Nếu A là 1 tập con khác trống và bị chặn trên trong R, lúc đó có 1 số thực a sao cho: x ≤ a " x Î A. Nếu có 1 b sao cho x ≤ b " x Î A thì a ≤ b. Lúc đó ta gọi a là chận trên nhỏ nhất của A và kí hiệu a = supA Nếu A là 1 tập con khác trống và bị chận dưới trong R, lúc đó có 1 số thực c sao cho: c ≤ x " x Î A. Nếu có 1 d sao cho d ≤ x " x Î A thì c ≤ d. Lúc đó ta gọi c là chận dưới lớn nhất của A và kí hiệu c = infA Ç È É Ê Ë Í Û Ü Î Ï Â ¬ ­ ® ¯ " $ α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ ν ξ ο π ρ ς σ τ υ φ χ ψ ω