Chương 6 Tích phân xác định

Tích phân xác định: 1/ Bài toán diện tích hình thang cong: Cho hàm số y f(x), xác định, liên tục trên khoảng đóng [a, b]. Xét hình thang cong AabB là hình giới hạn bởi đồ thị hàm số f(x) trên [a, b], các đường thẳng x a, x b và trục hoành Ox. Ta định nghĩa diện tích S của hình thang cong AabB. Ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bởi các điểm chia: ta gọi cách chia đó là 1 phân điểm P Về mặt hình học: tích số chính là diện tích của hình chữ nhật trong có chiều rộng là và chiều dài là . Tích số chính là diện tích của hình chữ nhật ngoài có chiều rộng là và chiều dài là , hình thang cong nhỏ thứ i luôn bị các hình chữ nhật trong và ngoài kẹp Gọi là tổng các diện tích của các hình chữ nhật trong và ngoài, để cho gọn, gọi là tổng trong and là tổng ngoài, luôn có bdt: 2/ Định nghĩa tích phân xác định: Define Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b] thành những khoảng nhỏ bởi 1 phân điểm P, trong mỗi khoảng nhỏ lấy 1 điểm Khi đó, ta cũng nói rằng hàm số f(x) khả tích (intergrable) in [a, b] Diện tích (area) hình thang cong AabB là:  3/ Điều kiện khả tích (intergrability condiction): * Định lí (theorem): dk (condiction) để (of) hàm số (function) f(x) khả tích (intergrability) trên [a, b] là: * Định lí 2 (theorem 2nd): If f(x) liên tục (continuous) in [a, b] thì (derive) f(x) khả tích (intergrable) trên [a, b] Cm: because f(x) continuous in closed interval (khoảng đóng) [a, b] derive (suy ra) f(x) liên tục đều (uniformly continuous) in [a, b] do đó (therefore) with any (bất kì) ε > 0 luôn (always) tìm được (found) sao cho (so that) Do đó (therefore) f(x) khả tích in [a, b] * Theorem 3rd: If f(x) bị chặn (bounded) and đơn điệu (monotone) in [a, b] derive f(x) khả tích (intergrable) in [a, b]: Cm: giả sử f(x) đơn điệu tăng in [a, b], * Examples (VD): 4/ Các tính chất của tích phân xác định: 1/ Trong định nghĩa ta giả thiết a < b, if a < b thì ta hiểu là hướng lấy tích phân thay đổi. Khi ấy ta có phân hoạch: 2/ Tích phân xác định ko phụ thuộc biến: 3/ 7/ Định lí trung bình 1: cho f(x) khả tích trên [a, b], and m £ f(x) £ M with x Î [a, b], khi đó tồn tại c sao cho: 8/ Định lí trung bình 2: Giả sử: 1/ f(x) và tích f(x).g(x) khả tích trên [a, b] 2/ m £ f(x) £ M 3/ g(x) ko đổi dấu trên [a, b] (g(x) ³ 0 or g(x) £ 0) 4/ f(x) liên tục in [a, b]. 1/  Cho (give) hình phẳng (plane figure) D giới hạn bởi (limit of) các đường . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình D xung quanh trục Oy 2/ Cho parabol (P) và đường thẳng d qua M(1, 5) có hệ số góc là k. Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và d có diện tích nhỏ nhất. 3/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hoành độ bằng 3. 4/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : , tiệm cận xiên của (C) và hai đường thẳng x = 2, x = 5 5/ Cho hình giới hạn elip : quay quanh trục hoành. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo nên. 6/ Tính thể tích của khối tṛn xoay được tạo thành do quay xung quanh trục Oy h́nh phẳng giới hạn bởi đường tṛn tâm I (3;0), bán kính R = 2. 7/ Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : (Đại học khối B – 2002) 8/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : (Đại học khối A – 2002) x 0 5 5 0 – 0 x 0 1 3 5 + 0 – 0 +