Chuyên đề 13: Tích phân và ứng dụng

Chuyên đề 13: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C a ( hằng số) ax + C xα 1 1 x C α α + ++ ( )ax b α+ a 1 1( ) 1 ax b C α α ++ ++ 1 x ln x C+ 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + xa ln xa C a + xe xe C+ ax be + 1 ax be C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx Sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tgx + C 2 1 cos ( )ax b+ 1 ( )tg ax b C a + + 2 1 sin x -cotgx + C 2 1 sin ( )ax b+ 1 cot ( )g ax b C a − + + ' ( ) ( ) u x u x ln ( )u x C+ 2 2 1 x a− 1 ln 2 x a C a x a − ++ tgx ln cos x C− + 2 2 1 x a+ 2 2ln x x a C+ + + cotgx ln sin x C+ Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức ... và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1( ) cos 1 f x x x x = + + − 2. 2 2x 5f(x) x 4x 3 −= − + 83 Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5cos sinx xdx∫ 2. costgx dxx∫ 3. 1 ln x dxx+∫ I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: [ ]( ) ( ) ( ) ( )b ba a f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì : ( ) 0 b a f x dx =∫ • Tính chất 2: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= −∫ ∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ];a b thì: ( )b a cdx c b a= −∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0b a f x dx ≥∫ • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx≥∫ ∫ • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M≤ ≤ thì ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a− ≤ ≤∫ − • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì [ ]( ) ( ) ( ) ( )b b a a b a f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx=∫ ∫ • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ • Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ... b b b a a a f x dx f t dt f u du= =∫ ∫ ∫ = 84 Bài 1: Tính các tích phân sau: 85 1) 1 3 0 x dx (2x 1)+∫ 2) 1 0 x dx 2x 1+∫ 3) 1 0 x 1 xdx−∫ 4) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + +∫ 5) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − +∫ 6) 3 3 2 0 x dx x 2x 1+ +∫ 7) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π +∫ 8) 32 0 4sin x dx 1 cosx π +∫ 9) 4 2 0 1 sin 2xdx cos x π +∫ 10) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ 11) 2 6 1 sin 2x cos2xdx sin x cosx π π + + +∫ 12) 1 x 0 1 dx e 1+∫ . 13) dxxx )sin(cos 4 0 44∫ − π 14) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x 15) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x 16) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x 17) ∫ −+− 0 2 2 32 4 dx xx 18) ∫ ++− 1 1 2 52xx dx Bài 2: 1) 3 2 3 x 1dx − −∫ 2) 4 2 1 x 3x 2dx − − +∫ 3) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − −∫ 4) 2 2 2 1 2 1x 2 x + −∫ dx 5) 3 x 0 2 4dx−∫ 6) 0 1 cos2xdx π +∫ 7) 2 0 1 sin xdx π +∫ 8) dxxx∫ −2 0 2 Bài 3: 1) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) A sin x B= π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện và 'f (1) 2= 2 0 f(x)dx 4=∫ 2) Tìm các giá trị của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12+ − + =∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = bằng cách đặt t = u(x) b ' a f[u(x)].u (x)dx∫ Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt t dxxudtxu )()( '=⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = =⇒= = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ]∫= b fI (tiếp tục tính tích phân mới) ∫= )( )( )()('.)( bu aua dttfdxxuxu Tính các tích phân sau: 1) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ 2) 2 5 0 cos xdx π ∫ 3) 4 2 0 sin 4x dx 1 cos x π +∫ 4) 1 3 2 0 x 1 x dx−∫ 5) 2 2 3 0 sin 2x(1 sin x) dx π +∫ 6) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ 7) e 1 1 ln xdx x +∫ 8) 4 0 1 dx cosx π ∫ 9) e 2 1 1 ln xdx x +∫ 10) 11) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx−∫ 6 2 0 cosx dx 6 5sin x sin x π − +∫ 12) 3 4 0 tg x dx cos2x∫ 13) 4 0 cos sin 3 sin 2 x x dx x π + +∫ 14) ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x 15) ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx 16) ∫ + 2 0 2)sin2( 2sin π dx x x 17) ∫3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 18) ∫ −4 0 8 )1( π dxxtg 19) ∫ + −2 4 2sin1 cossin π π dx x xx 20) ∫ + +2 0 cos31 sin2sin π dx x xx 21) ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx 22) ∫ +2 0 sin cos)cos( π xdxxe x 23) ∫ −+ 2 1 11 dx x x 24) ∫ + e dx x xx 1 lnln31 25) ∫ + −4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x 2) DẠNG 2: Tính I = bằng cách đặt x = b a f(x)dx∫ (t)ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ]∫=∫= β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( 'ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = =⇒= = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được (tiếp tục tính tích phân mới) [ ]∫=∫= β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Tính các tích phân sau: 1) 1 2 0 1 x dx−∫ 2) 1 2 0 1 dx 1 x+∫ 3) 1 2 0 1 dx 4 x−∫ 4) 1 2 0 1 dx x x 1− +∫ 5) 1 4 2 0 x dx x x 1+ +∫ 6) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + +∫ 7) 2 22 2 0 x dx 1 x−∫ 8) 2 2 2 1 x 4 x dx−∫ 86 9) 2 3 2 2 1 dx x x 1−∫ 10) 3 2 2 1 9 3x dx x +∫ 11) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − +∫ 12) 2 2 2 3 1 1 dx x x −∫ 13) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π +∫ 14) 1 4 6 0 1 1 x dx x + +∫ 15) 20 cos 1 cos x dx x π +∫ 16) ∫ ++− 0 1 2 22xx dx 17) ∫ ++ 1 0 311 x dx 18) ∫ − −2 1 5 1 dx x xx II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Tính các tích phân sau: 1) 8 2 3 1 1 dx x x +∫ 2) 7 3 3 2 0 1 x dx x+∫ 3) 3 5 2 0 1x x dx+∫ 4) ln2 x 0 1 dx e 2+∫ 5) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + +∫ 6) 2 2 3 0 1x x d+∫ x 7) ∫ + 32 5 2 4xx dx III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [ ]∫ ∫−=b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ]∫ ∫−=b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = =⇒= = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ]∫ ∫−=b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ và ]bavu. ∫b a vdu Tính các tích phân sau: 1) 2 5 1 ln xdx x∫ 2) 2 2 0 x cos xdx π ∫ 3) 1 x 0 e sin xdx∫ 4) 2 0 sin xdx π∫ 5) 6) e 2 1 x ln xdx∫ 3 2 0 x sin xdx cos x π +∫ 87 7) 8) 2 0 xsin x cos xdx π∫ 4 2 0 x(2 cos x 1)dx π −∫ 9) 2 2 1 ln(1 x)dx x +∫ 10) 11) 12) 1 2 2x 0 (x 1) e dx+∫ e 2 1 (x ln x) dx∫ 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π +∫ 13) 2 1 ln ( 1) e e x dx x +∫ 14) 1 2 0 xtg xdx∫ 15) ∫ −1 0 2)2( dxex x 16) 17) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx ∫ e dx x x 1 ln 18) ∫ +2 0 3 sin)cos( π xdxxx 19) 20) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a f(x)dx 0 − =∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì : a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − =∫ ∫ Bài 2: 1) CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) 2 2 0 0 f(sin x)dx f(cos x)dx π π =∫ ∫ b) 0 0 xf(sin x)dx f(sin x)dx 2 π ππ=∫ ∫ ÁP DỤNG: Tính các tích phân sau: 88 1) n2 + n n 0 cos x dx với n Z cos x sin x π ∈+∫ 2) 42 4 4 0 cos x dx cos x sin x π +∫ 3) 62 6 6 0 sin x dx sin x cos x π +∫ 4) 5) 5 0 xsin xdx π∫ 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π− + −∫ 6) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x− + +∫ 7) 2 0 xsin x dx 4 cos x π −∫ 8) 4 30 cos sinx x xd π∫ x Bài 3:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì + 0 ( ) ( ) với R và a > 0 1x f x dx f x dx a α α α α − = ∈+∫ ∫ ; a 1≠ ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 2) 1 2 1 1 1 2x x dx − − +∫ 3) 2sin 3 1x x dx π π− +∫ 1) 1 4 1 2 1 x x dx − +∫ IV .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG: Công thức: 89 1C y 2C y 2C x 1C x ]dxxgxfS )()( [∫ −= b a [ ]∫ −= b a dyygyfS )()( Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H1): 2 2 xy 4 4 xy 4 2 ⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩ 2) (H2) : 2y x 4x 3 y x 3 ⎧ = − +⎪⎨ = +⎪⎩ 3) (H3): 3x 1y x 1 y 0 x 0 − −⎧ =⎪ −⎪ =⎨⎪ =⎪⎩ 4) (H4): 5) (H 2 2 y x x y ⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩ 5): 2 y x y 2 x ⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩ 6) (H6): 2y x 5 0 x y 3 0 ⎧ + − =⎨ + − =⎩ 7) (H7): ln xy 2 x y 0 x e x 1 ⎧ =⎪⎪⎪ =⎨⎪ =⎪ =⎪⎩ 8) (H8) : 2 2 y x 2x y x 4 ⎧ = −⎪⎨ x= − +⎪⎩ 9) (H9): 2 3 3y x x 2 y x ⎧ 2 = + −⎪⎨⎪ =⎩ 10) (H10): 11) 2y 2y x 0 x y 0 ⎧ − + =⎨ + =⎩ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 12) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =Δ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x V. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =Δ =Δ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ =Δ =Δ = = by ay ygxC yfxC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 yfxC = )(:)( 2 ygxC = ay = by = O y x x )(H a b )(:)( 1 xfyC a= = )(:)( 2 xgyC bx = O = b a x y 0=x O )(:)( yfxC = by = ay = a b0=y )(:)( xfyC =ax = bx = x y O [ ] dxxfV b a 2 )(∫= π [ ] dyyfV b a 2 )(∫= π Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x;y 2 x;y 0= = − = Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : và y = 4 2y (x 2)= − Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh: a) Trục Ox b) Trục Oy Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 24 ;y x y x 2= − = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 xy y x = =+ Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox ------------------------------Hết------------------------------- 90