Chuyên đề 14: Hình học giải tích trong mặt phẳng

Chuyên đề 14: HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉC TƠ 91 I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : • x'Ox : trục hoành • y'Oy : trục tung • O : gốc toạ độ • : véc tơ đơn vị ( 1 2,e e JG JJG 1 2 11 và e e e e= = ⊥ JG JJG JG G 2 JJ ) x y 1e K 2e K O'x 'y Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) II. Toạ độ của một điểm và của một véc tơ: 1. Định nghĩa 1: Cho ( )M mp Oxy∈ . Khi đó véc tơ OMJJJJG được biểu diển một cách duy nhất theo e e bởi hệ thức có dạng : OM1 2, JG JJG xe ye1 2 với x,y J = + ∈JJJG JG JJG \ . Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) 'x y 2 K ' / 1 2( ; ) đ n M x y OM xe ye⇔ = +JJJJG JG JJG • Ý nghĩa hình học: và y=OQx OP= 2. Định nghĩa 2: Cho a m ( )p Oxy∈G . Khi đó véc tơ aG được biểu diển một cách duy nhất theo e e bởi hệ thức có dạng : 1 2, JG JJG 1 1 2 2 1 2 với a ,aa a e a e= + ∈ G JG JJG \ . Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véc tơ . a G Ký hiệu: 1 2( ; )a a a= G / 1 2 1 1 2 2=(a ;a ) đ n a a a⇔ = +G G Ge a eJG JJ • Ý nghĩa hình học: 1 1 1 2 2 2 và a =Aa A B B= x1e K e O MQ P y y x Ox' 'y MQ Px y x y 1e K 2e K O 'x 'y P aG y x O 'x 'y 1A 1B 2A 2B BK A H BÀI TẬP ÁP DỤNG: Trong mặt phẳng Oxy hãy vẽ các điểm sau: A(2;3), B(-1;4), C(-3;-3), D(4;-2), E(2;0), F(0;-4) III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véc tơ : Định lý 1: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 92 ( ; )B A B AAB x x y y= − − JJJG Định lý 2: Nếu a a thì 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a b b b= = G G * a b 1 1 2 2 a b a b =⎧= ⇔ ⎨ =⎩ G G * a b 1 1 2 2( ; )a b a b+ = + + G G )a b a b− = − −G G )ka ka=G * a b 1 1 2 2( ; * k a ( )1 2. ( ; k∈\ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho A(1;3), B(-2;-1), C(3;-4). Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 2: Cho A(1;2), B(2;3), C(-1;-2). Tìm điểm M thoả mãn 022 =+− CBMBMA IV. Sự cùng phương của hai véc tơ: Nhắc lại • Hai véc tơ cùng phương là hai véc tơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Định lý về sự cùng phương của hai véc tơ:  Định lý 3 : Cho hai véc tơ và với 0a b b ≠G G G G a k b G G a b cùng phương !k sao cho .⇔ ∃ ∈ =G G \ Nếu 0a ≠G G thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: k > 0 khi a G cùng hướng b G k < 0 khi a G ngược hướng b G a k b = G G  Định lý 4 : , , thẳng hàng cùng phương A B C AB AC⇔ JJJG JJJG (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng )  Định lý 5: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= = G G ta có : a b 1 2 2 1 cùng phương a . . 0b a b⇔ − = G G (Điều kiện cùng phương của 2 véc tơ );( AA yxA );( BB yxB aK b K aK b K A B C aK bG 2 5 a b , b - a 5 2 = − =K KK K aK b K )4;2( )2;1( = = b aK K : VD );( );( 21 21 bbb aaa = =K K BÀI TẬP ÁP DỤNG: 93 Bài 1: Cho 1(0; 1); (2;3); ( ;0) 2 A B C− . Chứng minh A, B, C thẳng hàng Bài 2: Cho A(1;1), ) 4 31;23( +−B , ) 4 31;32( −−−C . Chứng minh A, B, C thẳng hàng V. Tích vô hướng của hai véc tơ: Nhắc lại: x y . . .cos( , )a b a b a b=G G G G G G 22 a a=G G a b . 0a b⊥ ⇔ =G G G G  Định lý 6: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= = G G ta có : a b (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) 1 1 2 2. a b a b= + G G  Định lý 7: Cho hai véc tơ 1 2( ; ) a a a= G ta có : 2 21 2a a a= + G (Công thức tính độ dài véc tơ )  Định lý 8: Nếu B( ; ) và B(x ; )A A BA x y y thì 2 2( ) ( )B A B AAB x x y y= − + − (Công thức tính khoảng cách 2 điểm)  Định lý 9: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= = G G ta có : a b (Điều kiện vuông góc của 2 véc tơ) 1 1 2 2 a 0b a b⊥ ⇔ + = G G  Định lý 10: Cho hai véc tơ 1 2 1 2( ; ) và ( ; )a a a b b b= = G G ta có 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 . cos( , ) . . a b a b a ba b a b a a b b += = + + G G G G G G (Công thức tính góc của 2 véc tơ) b K BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Chứng minh rằng tam giác với các đỉnh A(-3;-3), B(-1;3), C(11;-1) là tam giác vuông Bài 2: Cho )7;342(),336;8(),3;2( ++ CBA . Tính góc BAC. O'x 'y a ϕ aK b K b K aK O B A K );( BB yxB);( AA yxA VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k 1 ) nếu như : ≠ .MA k MB=JJJG JJJG A M B  Định lý 11 : Nếu B( ; ) , B(x ; )A A BA x y y và .MA k MB= JJJG JJJG ( k ≠ 1 ) thì . 1 . 1 A B M A B M x k xx k y k yy k −⎧ =⎪⎪⎨ − −⎪ =⎪ −⎩ 94 Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ 2 2 A B M A B M x xx y yy +⎧ =⎪⎪⎨ +⎪ =⎪⎩ VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác : ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ ++= ++= ⇔=++⇔ 3 30.1 CBA G CBA yyyy xxx GCGB Gx GA ABC giác tam tâm trọng là G 2. . 0 H là trực tâm tam giác ABC . 0 AH BC AH BC BH AC BH AC ⎧ ⎧⊥ =⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⊥ =⎪ ⎪⎩ ⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG 3. ' ' ' là chân đường cao kẻ từ A cùng phương AA BC A BA BC ⎧ ⊥⎪⇔ ⎨⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG 4. IA=IB I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC IA=IC ⎧⇔ ⎨⎩ 5. Δ ⇔ = −JJJG JJJGD là chân đường phân giác trong của góc A của ABC .ABDB DC AC 6. Δ ⇔ = JJJJG JJJJG ' ' 'D là chân đường phân giác ngoài của góc A của ABC .ABD B D AC C 7. J là tâm đường tròn nội tiếp ABC .ABJA J BD Δ ⇔ = − DJJG JJJG VIII. Một số kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: 1. Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh :  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt 1 2 1 2( ; ) và ( ; )AB a a AC= b b= JJJG JJJG ta có : 1 2 2 1 1 . 2ABC S a bΔ = − a b G A B C H A B C A C I A B C B A' A C D A B J C DB A CB 2. Các bất đẳng thức véc tơ cơ bản :  Định lý 13: Với hai véc tơ u,vG G bất kỳ ta luôn có : uK vK vu KK + u v u v+ ≤ +G G G G . .u v u v≤G G G G Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ,u v G G là hai véc tơ cùng phương cùng chiều hoặc là có một trong hai véc tơ là véc tơ không . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm diện tích tam giác có các đỉnh A(-2;-4), B(2;8), C(10;2) Bài 2: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3;1), B(1;-3) 1. Tìm C biết C trên Oy 2. Tìm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy Bài 3: Cho A(1;1), B(-3;-2), C(0;1) 1. Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC. 2. Chứng minh rằng G, H, I thẳng hàng và GIGH 2−= 3. Vẽ đường cao AA' của tam giác ABC. Tìm toạ độ điểm A' Bài 4: Cho tam giác ABC biết A(6;4), B(-4;-1), C(2;-4). Tìm toạ độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 5: Tìm toạ độ trực tâm của tam giác ABC, biết toạ độ các đỉnh ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− − Bài 6: Cho ba điểm A(1;6), B(-4;-4), C(4;0) 1. Vẽ phân giác trong AD và phân giác ngoài AE. Tìm toạ độ D và E 2. Tìm toạ độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Bài 7: Cho hai điểm A(0;2), )1;3( −−B . Tìm toạ độ trực tâm và toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB (TS A 2004) Bài 8: Cho tam giác ABC có các đỉnh A(-1;0), B(4;0), C(0;m) với 0≠m . Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m. Xác định m để tam giác GAB vuông tại G. (TS D 2004). -------------------Hết------------------- 95 ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Các định nghĩa về VTCP và PVT của đường thẳng: 1. VTCP của đường thẳng : a G là VTCP của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0 a có giá song song hoặc trùng với ( ) a⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩ G G G n G là VTPT của đường thẳng (Δ ) đn⇔ 0 n có giá vuông góc với ( ) n⎧ ≠⎪⎨ Δ⎪⎩ G G G 96 * Chú ý: • Nếu đường thẳng ( ) có VTCP Δ 1 2( ; )a a a= G thì có VTPT là 2 1( ;n a a= − ) G aK aK )(Δ nK )(Δ • Nếu đường thẳng ( ) có VTPT Δ ( ; )n A B=G thì có VTCP là ( ; )a B A= −G aKnK )(Δ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Cho đường thẳng đi qua hai điểm A(1;-2), B(-1;3). Tìm một VTCP và một VTPT của ( )Δ ( )Δ II. Phương trình đường thẳng : 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng (Δ ) qua M0(x0;y0) và nhận 1 2( ; )a a a= G làm VTCP sẽ có :  Phương trình tham số là : 0 1 0 2 . ( ) : ( ) . x x t a t y y t a = +⎧Δ ∈⎨ = +⎩ \  Phương trình chính tắc là : 0 0 1 2 ( ) : x x y y a a − −Δ = y BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho hai điểm A(-1;3), B(1;2). Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng qua A, B Bài 2: Các điểm P(2;3); Q(4;-1); R(-3;5) là các trung điểm của các cạnh của một tam giác .Hãy lập phương trình chính tắc của các đường thẳng chứa các cạnh của tam giác đó. );( 000 yxM aK );( yxM x O 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT ( ; )n A B= G là: 97 0 0( ) : ( ) ( ) 0A x x B y yΔ − + − = BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tam giác ABC biết ( 1;2), (5;7), (4; 3)A B C− − 1. Viết phương trình các đường cao của tam giác 2. Viết phương trình các đường trung trực của tam giác Bài 2: Cho tamgiác ABC với A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). a) Viết phương trình đường vuông góc kẻ từ A đến trung tuyến BK của tam giác ABC . b) Tính diện tích tam giác ABK. b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng (Δ ) có dạng : Ax + By + C = 0 với 2 2 0A B+ ≠ Chú ý: Từ phương trình (Δ ):Ax + By + C = 0 ta luôn suy ra được : 1. VTPT của (Δ ) là ( ; )n A B=G 2. VTCP của (Δ ) là ( ; ) hay a ( ; )a B A B A= − = −G G 3. ( ;0 0 0 0 0) ( ) 0M x y Ax By C∈ Δ ⇔ + + = Mệnh đề (3) được hiểu là : Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng biết phương trình tổng quát của nó là 5 2 3x y 0− + = Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + = Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + = Bài 4: Cho hai điểm A(-1;2) và B3;4) . Tìm điểm C trên đường thẳng x-2y+1=0 sao cho tam giác ABC vuông ở C. Bài 5: Cho A(1;1) ; B(-1;3) và đường thẳng d:x+y+4=0. a) Tìm trên d điểm C cách đều hai điểm A, B. b) Với C tìm được . Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành .Tính diện tích hình bình hành. )yM ;( 000 x );( yxM nKy x O );( yM 000 x );AnK ( B= x y );( ABa −= O K );( ABa −=K 3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : ( ) : A A B A B A x x y yAB x x y y − −=− − ( ) : AAB x x= ( ) : AAB y y= 98 BÀI TẬP ÁP DỤNG: Cho tam giác ABC biết A(1;-1), B(-2;1), C1;5). Viết phương trình ba cạnh của tam giác b. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng Δ . Gọi ( , )Oxα = Δ k tg thì α= được gọi là hệ số góc củađường thẳng Δ Định lý 1: Phương trình đường thẳng Δ qua 0 0 0( ; )M x y có hệ số góc k là : (1) 0 0y - y = k(x - x ) Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng có phương trình Δ y ax b= + thì hệ số góc của đường thẳng là k a= Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng 1 2,Δ Δ ta có : • 1 2 1// k kΔ Δ ⇔ = 2 • 1 2 1 2 k . 1kΔ ⊥ Δ ⇔ = − BÀI TẬP ÁP DỤNG: Viết phương trình đường thẳng qua A(-1;2) và vuông góc với đường thẳng 3 4x y− + = 0 c. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: i. 1 1Phương trình đường thẳng ( ) //( ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m =0Δ Δ ii. 1 2Phương trình đường thẳng ( ) ( ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m =0Δ ⊥ Δ x y O α );( yxM x y y );( AA yxA );( BB yxBy);( AA yxA );( BB yxB Ax Bx Ay By );( AA yxA );( BB yxB Ay By x xO ) y O ;( yM x 0x 0y x Chú ý: được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên 1 2;m m 1 2;Δ Δ 0: 11 =++Δ mByAx x y O 0x 0: 1 =++Δ CByAx 1M 0: 21 =+−Δ mAyBx x y O 0x 1M 0: 1 =++Δ CByAx BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua M(-1;2) và song song ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + = Bài 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng qua N(-1;2) và vuông góc ( ) : 2 3 4 0x yΔ − + = III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : 99 Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C A x B y C Δ + + = Δ + + = Vị trí tương đối của phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình : 1( ) và ( )Δ Δ2 hay 1 1 1 2 2 2 0 0 A x B y C A x B y C + + =⎧⎨ + + =⎩ 1 1 1 2 2 2 (1) A x B y C A x B y C + = −⎧⎨ + = −⎩ Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của 1 2( ) và ( )Δ Δ Định lý 1: 1 2 1 2 1 2 . Hệ (1) vô nghiệm ( ) //( ) . Hệ (1) có nghiệm duy nhất ( ) cắt ( ) . Hệ (1) có vô số nghiệm ( ) ( ) i ii iii ⇔ Δ Δ ⇔ Δ Δ ⇔ Δ ≡ Δ Định lý 2: Nếu 2 2 2; ;A B C khác 0 thì Δ Δ ⇔ ≠ Δ Δ ⇔ = ≠ Δ ≡ Δ ⇔ = = 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 A. ( ) cắt ( ) A A. ( ) // ( ) A A. ( ) ( ) A 1 2 Bi B B Cii B C B Ciii B C 1Δ x y O 2Δ 21 //Δ Δ 1Δ x y O 2Δ y O Δ1 x 2Δ 21 Δ≡Δ21 cắtΔ Δ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tam giác ABC có phương trình ba cạnh là ( ) :8 3 17 0 ( ) : 3 5 13 ( ) : 5 2 1 0 AB x y AC x y BC x y 0 − + = − − = + − = Tìm toạ độ ba đỉnh A, B, C Bài 2: Cho tamgiác ABC có đỉnh A(2;2) .Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC.Biết rằng các đường thẳng 9x-3y-4=0 và x+y-2=0 lần lượt là các đường cao của tam giác xuất phát từ B và C. Bài 3: Tuỳ theo m, hãy biện luận vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: 1 2 : 1 : 2 0 d mx y m d x my 0+ − − = + − = IV. Góc giữa hai đường thẳng Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C A x B y C Δ + + = Δ + + = Gọi ϕ ( 0 ) là góc giữa 0 090ϕ≤ ≤ 21( ) và ( )Δ Δ ta có : 1Δ x y O 2Δ ϕ1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 cos . A A B B A B A B ϕ += + + 100 Hệ quả: ( 1 2 1 2 1 2) ( ) A 0A B BΔ ⊥ Δ ⇔ + = BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A(0;1) và tạo với đường thẳng : x+2y+3=0 một góc bằng 450 Bài 2: Lập phương trình các cạnh của hình vuông có đỉnh là (-4;5) và một đường chéo có phương trình 7x-y+8=0. V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ) : 0Ax By C+ + = và điểm 0 0 0( ; )M x y Δ Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( )Δ được tính bởi công thức: 0 00 2 2( ; ) Ax By C d M A B + +Δ = + Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C A x B y C Δ + + = Δ + + = và ( ) Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( )1 2Δ Δ là : 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2A x B y C A x B y C A B A B + + + += ± + + 0M y O x H )(Δ y O 1Δ x 2Δ Định lý 3: Cho đường thẳng 0:)( 1 =++Δ CByAx và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm trên ( ). Khi đó: Δ M N M N Δ Δ • Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 0))(( >++++ CByAxCByAx NNMM • Hai điểm M , N nằm khác phía đối với (Δ ) khi và chỉ khi 0))(( <++++ CByAxCByAx NNMM BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Cho tam giác ABC biết A(1;-1) ; B(-2;1); C(3;5). Tính chiều cao kẻ từ A Bài 2: Cho hai đường thẳng 1 2: 2 2 0 & : 2 4 7 0d x y d x y− − = + − = . Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi d1 và d2 Bài 3: Cho tam giác ABC với A(-6;-3); B-4;3), C9;2). Lập phương trình đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Bài 4: Cho hai điểm P(2;5) và Q(5;1) .Lập pt đường thẳng qua P cách Q một đọan có độ dài bằng 3 Bài 5: Cho ba đường thẵng 02:)(,04:)(,03:)( 321 =−=−−=++ yxdyxdyxd . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng (d1) bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng (d2) VI. Chùm đường thẳng : M ΔΔ 1 2Δ I 1. Định nghĩa: Tập hợp các đường thẳng cùng đi qua một điểm I được gọi là một chùm đường thẳng . • I gọi là đỉnh của chùm • Một chùm đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết : i. Đỉnh của chùm hoặc ii. Hai đường thẳng của chùm 2. Định lý: Trong Mp(Oxy) cho hai đường thẳng Δ Δ1 2, cắt nhau xác định bởi phương trình : Δ + + = Δ + + = 1 1 1 1 2 2 2 2 ( ) : 0 ( ) : 0 A x B y C A x B y C Khi đó : Mỗi đường thẳng qua giao điểm của Δ Δ1 2, đều có phương trình dạng: 101 ( λ μ λ μΔ + + + + + = + ≠2 21 1 1 2 2 2) : ( ) ( ) 0 ( 0)A x B y C A x B y C Chú ý: 102 λ μ λ μ = ≠ Δ ≡ Δ ≠ = Δ ≡ Δ 1 2 0 và 0 thì 0 và 0 thì Đặc biệt : λ μ≠ ≠ Δ ≠ Δ Δ Δ + + + + + = + + + + + = 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 Nếu 0 và 0 thì và trong trường hợp này phương trình có thể viết dưới dạng sau: 1. m(A ) (A ) 0 hoặc 2. (A ) (A ) 0 x B y C x B y C x B y C n x B y C M 2Δ1 Δ Δ I BÀI TẬP ÁP DỤNG: Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng 3 5 2 0 & 5 2 4 0x y x y− + = − + = và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2 4 0d x y− + = . BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phương trình hai cạnh của tam giác trong mặt phẳng tọa độ là 5x-2y+6=0 và 4x+7y-21=0 Viết phương trình cạnh thứ ba của tam giác biết trực tâm của tam giác trùng với gốc tọa độ. Bài 2: Cho tam giác ABC , cạnh BC có trung điểm M(0;4) còn hai cạnh kia có phương trình 2x+y-11=0 và x+4y-2=0. a) Xác định đỉnh A. b) Gọi C là điểm trên đường thẳng x+4y-2=0, N là trung điểm AC . Tìm điểm N rồi tính tọa độ B, C. Bài 3: Cho tam giác ABC có M(-2;2) là trung điểm của BC , cạnh AB có phương trình x-2y-2=0, cạnh AC có phương trình : 2x+5y+3=0.Xác định tọa độ của các đỉnh của tam giác ABC. Bài 4: Cho tam giác ABC có đỉnh B(3;5) đường cao kẻ từ A có phương trình 2x-5y+3=0 và đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình x+y-5=0 . a) Tính tọa độ điểm A. b) Viết phương trình của các cạnh của tam giác ABC. Bài 5: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2;-1) và có các cạnh AB:4x+y+15=0 vàAC:2x+5y+3=0 a) Tìm tọa độ đỉnh A và tọa độ trung điểm M của BC . b) Tìm tọa độ điểm B và viết phương trình đường thẳng BC. Bài 6: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3). a) Biết đường cao BH: 5x+3y-25=0, đường cao CK: 3x+8y-12=0. Tìm tọa độ đỉnh B , C. b) Biết đường trung trực của AB là 3x+2y-4=0 và trọng tâm G(4;-2). Tìm B, C. Bài 7: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;-1) đường cao và trung tuyến ke û từ một đỉnh có phương trình 2x-3y+12=0 và 2x+3y=0. Bài 8: Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết A(1;3) và hai đường trung tuyến có phương trình là x-2y+1=0 và y-1=0. Bài 9: Cho tam giác ABC biết C(4;3) phân giác trong (AD):x+2y-5=0, trung tuyến (AE) 4x+13y-10=0.Lập phương trình ba cạnh. Bài 10: Cho tam giác ABC biết A(2;-1) và phương trình hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt là d: x-2y+1=0 và x+y+3=0 .Tìm phương trình của đường thẳng chứa cạnh BC. Bài 11: Cho điểm M(-2;3) . Tìm phương trình đường thẳng qua M và cách đều hai điểm A(-1;0) và B(2;1). Bài 12: Cho A(2;-3) , B(3;-2) .Trọng tâm G của tam giác nằm trên đường thẳng d: 3x-y-8=0, diện tích tam giác ABC bằng 3/2 . Tìm C. Bài 13: Viết phương trình đường thẳng song song với d: 3x-4y+1=0 và có khỏang cách đến đường thẳng d bằng 1. Bài 14: Cho tam giác cân ABC biết phương trình cạnh đáy AB:2x-3y+5=0 cạnh bên AC:x+y+1=0 Tìm phương trình cạnh bên BC biết rằng nó đi qua điểm D(1;1). Bài 15: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y=x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x+3y+2=0 . Viết phương trình cạnh BC . Bài 16: Cho đường thẳng d: 2x+y-4=0và hai điểm M(3;3) , N(-5;19).Hạ MK ⊥ d và gọi P là điểm đối xứng của M qua d: a) Tìm tọa độ của K và P. b) Tìm điểm A trên d sao cho AM + AN có giá trị nhỏ nhất và tính giá trị đó. Bài 17: Cho tam giác ABC vuông ở A , phương trình BC là 3x y 3 0− − = , các đỉnh A và B thuộc trục hòanh và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 18: Cho hình chử nhật ABC có tâm I(1/2;0) , phương trình đường thẳng AB là x-2y+2=0 và AB=2AD . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C, D biết rằng đỉnh A có hòanh độ âm. Bài 19: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng 1 : 0d x y− = và 2 : 2 1 0d x y+ − = . Tìm toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc d1, đỉnh C thuộc d2 và các đỉnh B,D thuộc trục hoành ---------------------------Hết-------------------------- 103 ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường tròn: 1. Phương trình chính tắc: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : 104 ( ) (1) 2 2 2: ( ) ( )C x a y b R− + − = Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡O thì (hay: 2 2( ) :C x y R+ = 2 2 2y R x= ± − ) BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Viết phương trình đường tròn đường kính AB biết A(1;3), B(3:-5) Bài 2: Viết phương trình đường tròn có tâm I(-1;2) và tiếp xúc đường thẳng ( ) : 3 4 2 0x yΔ − + = 2. Phương trình tổng quát: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : 2 2 2 2 0x y ax by c+ − − + = với a b2 2 0c+ − > là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính 2 2R a b= + − c BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ( ) 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ + − − = Bài 2: Viết phương trình đường tròn (C) đi qua ba điểm A(3;3), B(1;1),C(5;1) Bài 3: Cho phương trình : (1) 2 2 4 2 2 3x y mx my m+ + − + + = 0 Định m để phương trình (1) là phương trình của đường tròn (Cm) II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn ( ) tại điểm2 2: 2 2 0C x y ax by c+ − − + = 0 0( ; ) ( )M x y C∈ là : ( ) 0 0 0 0: ( ) ( ) 0x x y y a x x b y y cΔ + − + − + + = x y O );( baI R b a );( yxM BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Xét đường tròn (C) qua ba điểm A(-1;2), B(2;0), C(-3;1). Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại A IV. Phương tích của một điểm đối với một đường tròn: Nhắc lại : Định nghĩa: Cho đường tròn (O;R) và một điểm M cố định . Phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) được ký hiệu là ℘M/(O) là một số (C) I(a;b))(Δ );( 000 yxM 105 2 được xác định như sau: ℘M/(O) = 2d R− ( với d = MO ) Chú ý : ℘M/(O) > 0 ⇔ ở ngoài đường tròn (O)M ℘M/(O) < 0 ⇔ ở trong đường tròn (O)M ℘M/(O) = 0 ⇔ ở trên đường tròn (O)M Định lý: Trong mp(Oxy) cho điểm 0 0( ; )M x y và đường tròn 2 2 2 2x y ax by c 0+ − − + = với a b có tâm I(a;b) và bán kính 2 2 0c+ − > 2 2R a b c= + − . Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là ℘M/(O) = 2 20 0 0 02 2x y ax by c+ − − + (C) M I BÀI TẬP ỨNG DỤNG: Cho đường tròn (C): và điểm A(3;5). Xét vị trí của điểm A đối với đường tròn (C) 2 2 2 4 4 0x y x y+ + − − = IV. Trục đẳng phương của hai đường tròn: