Chuyên đề 2: So sánh hai lũy thừa

CHUYÊN ĐỀ 2 SO SÁNH HAI LŨY THỪA Tiết 5: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN A/ KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Định nghĩa: a.a……….a ( n N*) n thừa số 2. Quy ước: a1 = a ; a0 = 1 ( a 0) 3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số: 4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn 5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n 6. Lũy thừa tầng: 7. Số chính phương là số mà bằng bình phương của một số tự nhiên. Ví dụ: các số 0; 1; 4; 9; 16; 25;…. là các số chính phương. B/ Ví dụ: Ví dụ 1: Tìm x biết: 2.3x = 162 Giải: 2.3x = 162 => 3x = 162 :2 3x = 81= 34 => x = 4 Ví dụ 2: Viết tích sau dưới dạng một lũy thừa: 25. 84 Giải: 25. 84 = 25 . (23)4 = 25. 212 = 217 C/ Bài tập: 1) Tìm x N biết: a/ 2x – 15 = 17 b/ (7x -11 )3 = 25.52 + 200 2) Trong các số sau, những số nào bằng nhau, số nào nhỏ nhất, số nào lớn nhất? 24 ; 34 ; 42 ; 43 ; 990 ; 099 ; 1n ( n là số tự nhiên khác 0) 3) Viết số 729 dưới dạng một lũy thừa với 3 cơ số khác nhau và số mũ lớn hơn 1. 4) Chứng tỏ mỗi tổng hoặc hiệu sau là một số chính phương: a) 32 + 42 b) 132 – 52 c) 13 + 23 + 33 + 43 Giải: 1) a/ 2x – 15 = 17 => 2x = 32 => 2x = 25 => x = 5 b/ (7x -11 )3 = 25.52 + 200 (7x -11 )3 =1000 (7x -11 )3 = 103 7x – 11 = 10 x = 3 2) HS tự giải 3) 729 = 272 = 93 = 36 4) Ta có: a) 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52. Vậy tổng 32 + 42 là một số chính phương. b) 132 – 52 = 169 - 25 = 144 = 122 Vậy hiệu 132 - 52 là một số chính phương. c) 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102. Vậy tổng 13 + 23 + 33 + 43 là một số chính phương. Tiết 6: LUYỆN TẬP 1) Viết các tổng hoặc hiệu sau đây dưới dạng một lũy thừa với số mũ lớn hơn 1. a/ 172 -152 b/ 43 – 23 + 52 2) Viết dưới dạng một lũy thừa của một số: a/ 256 .1253 b/ 6255 : 257 c/ 123. 33 3) Tìm x N biết: a) (2x + 1)3 = 125 b) (x – 5)4 = (x - 5) 6 c) x15 = x d/ x10 = x e/ (2x -15)5 = (2x -15)3. 4) Tính 5) Tính giá trị của biểu thức: A = Giải: 1/ a) 172 -152 = 64 = 82 = 43 = 26 b) 43 – 23 + 52 = 81 = 92 = 34 2) a/ 256 .1253 = (52)6.(53)3 = 512.59 = 521 b/ 6255 : 257 = 56 c/ 123. 33 = 66 3) a) (2x + 1)3 = 125 (2x + 1)3 = 5 3 2x + 1 = 5 2x = 4 x = 2 b) (x – 5)4 = (x - 5) 6 (x – 5)6 - (x - 5) 4 = 0 (x – 5)4= 0 …………. x = 5 hoặc x = 6 c) x15 = x x15 – x = 0 x(x14 – 1) = 0 x = 0 hoặc x = 1 d/ x10 = x x10 – x = 0 x( x9 – 1) = 0 x = 0 hoặc x9 - 1 = 0 x = 0 hoặc x = 1 e/ (2x -15)5 = (2x -15)3 (2x -15)5 - (2x -15)3 = 0 (2x -15)3= 0 (2x -15)3 = 0 hoặc (2x -15)3 – 1 = 0 2x – 15 = 0 hoặc 2x – 15 = 1 x = 15: 2 = 7,5 hoặc x = 8 5) Có: A = Tiết 7. SO SÁNH HAI LŨY THỪA A) KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Để so sánh hai lũy thừa, ta thường đưa chúng về dạng hai lũy thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) hoặc cùng số mũ (lớn hơn 0) rồi mới so sánh. Nếu am = an  thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b Nếu m > n thì am > an  (a> 1) Nếu a > b thì an > b n (n > 0) 2) Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a 0) B) Ví dụ: Ví dụ1: So sánh: a/ 27 11 và 818 b/ 6255 và 1257 Giải: a/ Có 2711 = (33)11 = 333; 818 = (34)8 = 332. Do 333 > 3 32 nên 27 11 > 818. b/ Có 625 5 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521. Do 521 > 520 nên 1257 > 6255. Ví dụ 2: So sánh: 7300 và 3500 Giải: 3500 = (35)100 = 243100 ; 7300 = (73)100 = 343100 . Vì 343100 > 243100 . Vậy 7300 > 3500 C) Bài tập: So sánh: a/ 536 và 11 24 b/ 523 và 6.522. c/ 3111 và 1714. d/ 7245 – 72 44  và 7244 – 72 43. Tìm x biết: a/ 16x < 1284 b/ 5x. 5x + 1 . 5x + 2 100……………0 : 218. 18 chữ số 0 Giải: 1) a/ 536 > 11 24 b/ 523 = 5.522 < 6.522 . vậy 5 23 < 6.522 c/ 3111 < 3211 = (25)11 = 255 ; 1714 > 1614 = (24)14 = 2 56. Vậy 1714 > 3111 d/ 7245 – 72 44  = 7244(72 – 1) = 7244. 71. 7244 – 72 43.= 72 43( 72 -1) = 7243 . 71. Do 7244. 71 > 7243. 71 vậy: 7245 – 72 44  > 7244 – 72 43. 2) a/ Có 16x = (24)x = 2 4x, 1284 = (27)4 = 228. Do 16x < 1284 nên 2 4x < 228 suy ra: 4x < 28 Suy ra x < 7. Vì xN và x < 7. Vậy x b/ Có 5x. 5x + 1 . 5x + 2 100……………0 : 218 18 chữ số 0 Suy ra 5 3x + 3 10 18 : 2 18 5 3x + 3 518 3x + 3 18 x 5. Vì xN và x 5 vậy x Tiết 8: LUYỆN TẬP 1) So sánh: a) 7.213 và 216 b/ 19920 và 200315. c/ 32n và 23n (n N*) 2) So sánh hai biểu thức: 3) Cho A = 3 + 32 + 33 + …….+3100. Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n. 4) Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 29. Hãy so sánh S với 5. 28. Giải: 1) a/ Có: 216= 23.213 = 8. 213 Do 7.213 < 8. 213 . Vậy 7.213 < 216 b/ 19920 < 20020 = (8.25)20= (23.52)20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53)15 = 260.545. Vì 260.545 > 260.540 . Vậy 200315 > 19920. c/ Có 32n = 9n ; 23n = 8n => 9n > 8n (n N*) Suy ra 32n > 23n (n N*) 2) Vậy B = C 3) Có A = 3 + 32 + 33 + …….+3100. 3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101. Suy ra: 3A – A = 3101 – 3 Hay: 2A = 3101 – 3 => 2A + 3 = 3101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3n. Suy ra: 3101 = 3n => n = 101. 4) Có: S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 29Suy ra: 2. S = 2 + 22 + 23 + 24 + …. + 210. 2S – S = 210 – 1. Hay S = 210 – 1 < 210 Mà 210 = 22. 28 < 5. 28. Do đó: S < 210 < 5.28. Vậy S < 5. 28.