Chuyên đề 3: Nguyên hàm-Tích phân-ứng dụng (Tiếp)

Phaàn moät : NGUYEÂN HAØM A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu . 2. Định lí: ** ĐL 1: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K, thì với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K . ** ĐL 2: Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số. ** ĐL 3: Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K . ** Kí hiệu họ nguyên hàm của f(x) là . Vậy: 3. Các tính chất của nguyên hàm: Tính chất 1: . Tính chất 2: . Tính chất 3: . 4. Bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp: Nguyên hàm của hàm số sơ cấp Nguyên hàm của hàm số hợp . . . . 4’. . . . 6’. . . . 8’. . . 9’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Phương pháp tính nguyên hàm: a/ Phương pháp đổi biến số: Tính theo các bước sau: Bước 1: Đặt t theo x: . Tính và theo t. Bước 2: Viết lại nguyên hàm theo biến t: . Bước 3: Tính nguyên hàm theo biến t và chuyển lại theo biến x. Ví dụ: Tính: Giải: Đặt và Ta có: Vậy . b/ Phương pháp tính nguyên hàm từng phần: Công thức Tính theo các bước sau: Bước 1: Phân tích . Đặt . Bước 2: Áp dụng công thức: Bước 3: Tính tiếp để được kết quả. Ví dụ: Tính: Giải: Đặt Ta có: Vậy . Chú ý: * Cách đặt u, dv cho một số dạng tìm nguyên hàm thường gặp: ( là đa thức) Dạng nguyên hàm Đặt u Đặt dv -------------------™˜&™˜------------------- B. BÀI TẬP Tính các nguyên hàm sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -------------------™˜&™˜------------------- Phaàn hai : TÍCH PHAÂN A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn . Hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn .Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x). Kí hiệu: . Vậy: Ta gọi là dấu tích phân; a là cận dưới; b là cận trên; là hàm số dưới dấu tích phân; là biểu thức dưới dấu tích phân. Chú ý: a) . . b) Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến: . 2. Các tính chất của tích phân: Tính chất 1: . Tính chất 2: . Tính chất 3: . 3. Phương pháp tính tích phân: a/ Phương pháp đổi biến số: Áp dụng định lí: “ f(x) liên tục trên . Giả sử có đạo hàm liên tục trên sao cho và . Khi đó .” Tính theo các bước sau: Bước 1: Đổi biến – đổi cận Đặt t theo x: . Tính và theo t. x a b t u(a) u(b) Đổi cận: Bước 2: Thay tất cả theo biến t, tính ra kết quả. Ví dụ: Tính: Giải: Đặt . x 0 t 1 4 Đổi cận: Ta có: Vậy . b/ Phương pháp tính tích phân từng phần: Công thức Tính theo các bước sau: Bước 1: Phân tích . Đặt . Bước 2: Áp dụng công thức: Bước 3: Tính tiếp để được kết quả. Ví dụ: Tính: Giải: Đặt Ta có: Vậy . Ghi nhớ: Để tính tích phân, việc quan trọng là tìm đúng một nguyên hàm. Tùy vào hàm số mà ta có thể tìm trực tiếp nguyên hàm bằng cách biến đổi hàm số hoặc dùng pp đổi biến hoặc dùng pp tích phân từng phần. -------------------™˜&™˜------------------- B. BÀI TẬP Bài 1. Tính các tích phân sau: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 2. Tính các tích phân sau: (pp đổi biến) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài 3. Tính các tích phân sau: (pp tích phân từng phần) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -------------------™˜&™˜------------------- Phaàn ba : ÖÙNG DUÏNG CUÛA TÍCH PHAÂN TRONG HÌNH HOÏC A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Diện tích hình phẳng. 1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi: Diện tích của hình phẳng (H) là: Chú ý: * Nếu f(x) không đổi dấu trên thì: . * Để tính diện tích này ta cần tìm hoành độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hàm số f(x) và Ox bằng cách giải pt: , sau đó chia đoạn ra thành các đoạn nhỏ để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng . Giải: pt: . Diện tích hình phẳng cần tìm là: hoặc: 2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hai hàm số và Diện tích của hình phẳng (H) là: Chú ý: * Để tính diện tích này ta cần tìm hoành độ giao điểm (nếu có) của đồ thị hàm số f(x) và g(x) bằng cách giải pt: , tìm các nghiệm, sau đó chia ra thành các đoạn nhỏ để khử dấu giá trị tuyệt đối. Vi dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số : và . Giải: pt: . có đồ thị (C1); có đồ thị (C2) Diện tích hình phẳng cần tìm là: II. Thể tích khối tròn xoay. Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số:, trục Ox và 2 đường thẳng quay xung quanh Ox tạo thành khối tròn xoay có thể tích là: