Chuyên đề 3: Tính chất chia hết – Ước và bội

Chuyeõn ủeà 3: TÍNH CHAÁT CHIA HEÁT – ệễÙC VAỉ BOÄI Tieỏt 13: TÍNH CHAÁT CHIA HEÁT – ệễÙC VAỉ BOÄI A. KIEÁN THệÙC Cễ BAÛN: 1) ẹũnh nghúa: Cho hai soỏ tửù nhieõn a vaứ b (b ). a laứ boọi cuỷa b b laứ ửụực cuỷa a. 2) Tớnh chaỏt: 1/ Baỏt cửự soỏ naứo khaực 0 cuừng chia heỏt cho chớnh noự. 2/ Neỏu 3/ Soỏ 0 chia heỏt cho moùi soỏ b khaực 0. 4/ Baỏt cửự soỏ naứo cuỷng chia heỏt cho 1. 5/ Neỏu a m vaứ b m thỡ 6/ Neỏu toồng cuỷa hai soỏ chia heỏt cho m vaứ moọt trong hai soỏ aỏy chia heỏt cho m thỡ soỏ coứn laùi cuừng chia heỏt cho m. 7/ Neỏu moọt trong hai soỏ a vaứ b chia heỏt cho m, soỏ kia khoõng chia heỏt cho m thỡ a +b khoõng chia heỏt cho m vaứ a - b khoõng chia heỏt cho m. 8/ Neỏu moọt thửứa soỏ cuỷa tớch chia heỏt cho m thỡ tớch chia heỏt cho m. 9/ Neỏu Heọ Quaỷ: Neỏu Neỏu B.Vớ duù: Vớ duù 1:Chửựng minh raống: a) chia heỏt cho 11. b) Chia heỏt cho 9 vụựi a > b. Giaỷi: a) Ta coự = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vaọy 11. b) Ta coự : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9 Chuự yự : Neỏu Vớ duù 2: Tỡm n N ủeồ: a) n + 4 n b) 3n + 7 n Giaỷi: a) n + 4 n , n n => 4 n => n ệ(4) = b) 3n + 7 n; 3n n => 7 n => n ệ(7) = C/ BAỉI TAÄP: Cho 2) CMR Neỏu vieỏt theõm vaứo ủaống sau moọt soỏ tửù nhieõn coự hai chửừ soỏ soỏ goàm chớnh hai chửừ soỏ aỏy vieỏt theo thửự tửù ngửụùc laùi thỡ ủửụùc moọt soỏ chia heỏt cho 11. 3) Cho soỏ Chửựng minh raống soỏ Giaỷi: Maứ : 7.143 vaứ 2) Goùi soỏ tửù nhieõn coự hai chửừ soỏ laứ: .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N) Khi vieỏt theõm soỏ coự hai chửừ soỏ aỏy vieỏt theo thửự tửù ngửụùc laùi ta ủửụùc soỏ: 3) Tieỏt 14: LUYEÄN TAÄP 1) CMR toồng cuỷa ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 3, coứn toồng cuỷa boỏn soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 4. 2) CMR Toồng cuỷa 5 soỏ chaỳn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 10, coứn toồng cuỷa 5 soỏ leừ lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 10. 3) Tỡm n N ủeồ: a) 27 – 5n n b) n + 6 n + 2 c) 2n + 3 n – 2 d) 3n + 1 11 – 2n 4) Cmr neỏu 5) Cho 6) Cho 10 k – 1 19 vụựi k > 1 CMR: 102k – 1 19 7) Cho n laứ soỏ tửù nhieõn. CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia heỏt cho 2. b/ n(n + 1) (n + 2) chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 3. 8) Chửựng minh raống neỏu Giaỷi: 1) Goùi ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp ủoự laứ: n, n + 1, n + 2 . Ta phaỷi chửựng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3 Thaọt vaọy ta coự: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3 Goùi boỏn soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp ủoự laứ: n, n + 1, n + 2, n + 3. Ta coự: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 khoõng chia heỏt cho 4 vỡ 4n chia heỏt cho 4 coứn 7 khoõng chia heỏt cho 4. Vaọy toồng cuỷa ba soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ chia heỏt cho 3, coứn toồng cuỷa boỏn soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp thỡ khoõng chia heỏt cho 4. 2) Goùi 5 soỏ chaỹn lieõn tieỏp laứ: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 vụựi n laứ soỏ tửù nhieõn. Ta coự: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Goùi 5 soỏ leừ lieõn tieỏp laứ: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 vụựi n laứ soỏ tửù nhieõn. Ta coự: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10. 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n ệ(27) = nhửng 5n < 27 neõn n < 6 Vaọy n b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, maứ n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2 => n c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2 => n d*) 3n + 1 11 – 2n (n 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n => 11 – 2n nhửng vỡ n < 6 neõn n Vaọy : 6) Ta coự: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 neõn 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 Vaõy 102k – 1 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chaỹn => n = 2k (k N). Ta coự: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia heỏt cho 2. Khi n leừ => n = 2k + 1 (k N). Ta coự: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia heỏt cho 2. Vaõy (n + 10 ) (n + 15 ) Chia heỏt cho 2. b/ ẹaờt. A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp coự moọt soỏ chaỳn vaứ moọt soỏ leừ, soỏ chaỳn chia heỏt cho 2 neõn A chia heỏt cho 2. + Trửụứng hụùp: n = 3k (k N) thỡ n chia heỏt cho 3 neõn A chia heỏt cho 3. (1) Trửụứng hụùp: n khoõng chia heỏt cho 3 thỡ n = 3k + 1 hoaởc n = 3k + 2 Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia heỏt cho 3 neõn A chia heỏt cho 3. (2) Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia heỏt cho 3 neõn A chia heỏt cho 3. (3) Tửứ (1), (2) vaứ (3) suy ra: A chia heỏt cho 3. Vaọy A chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 3. 8) Ta coự Maứ: Suy ra: Vaọy: Tieỏt 15: CAÙC DAÁU HIEÄU CHIA HEÁT A/ LYÙ THUYEÁT: B/ Vớ du: Vớ duù1:Tỡm soỏ tửù nhieõn coự 4 chửừ soỏ, chia heỏt cho 5 vaứ cho 27. bieỏt raống hai chửừ soỏ ụỷ giửừa cuỷa noự laứ 97. Giaỷi: Goùi n laứ soỏ phaỷi tỡm. Vỡ n chia heỏt cho 5 vaứ cho 27 neõn n phaỷi taọn cuứng baống 0 hoaởc 5 vaứ chia heỏt cho 9, do ủoự ta coự soỏ n = . Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 5) 9 => * = 6. Thửỷ laùi 6975 khoõng chia heỏt cho 27. Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 0) 9 => * = 2. Thửỷ laùi 2970 chia heỏt cho 27. Vaõy soỏ 2970 laứ soỏ phaỷi tỡm. Vớ duù 2: Cho soỏ tửù nhieõn baống ba laàn tớch caực chửừ soỏ cuỷa noự. CMR: b chia heỏt cho a. Giaỷ sửỷ b = ka (k N) CM: k laứ ửụực cuỷa 10. Giaỷi: a) Theo ủeà baứi ta coự: = 3ab => 10a + b = 3ab (1) => 10a + b a => b a b) Do b = ka neõn k < 10. Thay b = ka vaứo (1), ta coự: 10a + ka = 3a.ka => a(10 + k) = 3ak. a => 10 + k = 3ak => 10 + k k => 10 k Vaọy k laứ ửụực cuỷa 10. Vớ duù 3: Chửựng minh raống: vụựi n N thỡ soỏ 92n – 1 chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 5. Giaỷi: Coự: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0 Soỏ naứy coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0 neõn chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 5. C/ BAỉI TAÄP: 1) Thay caực chửừ x, y baống chửừ soỏ thớch hụùp ủeồ cho: a/ Soỏ chia heỏt cho 5; cho 25; cho125. b/ Soỏ chia heỏt cho 2, cho4, cho 8. Giaỷi: 1) a/ 5 ; 25 ; 125 b/ ; Tieỏt 16: LUYEÄN TAÄP 1) Cho n N, chửựng minh raống: a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 khoõng chia heỏt cho 4. c/ 10n - 1 9 d/ 10n + 8 9 2) Chửựng minh raống: a/ 1028 + 8 72 b/ 88 + 220 17 3/ CMR vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ n 2 + n + 6 khoõng chia heỏt cho 5. 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia heỏt cho 5. b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia heỏt cho 2 vaứ 5. Giaỷi: 1) a/ + Vụựi n = 0, ta coự: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4 + Vụựi n = 1, ta coự: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4. + Vụựi n > 1, ta coự: 5n = …5 neõn 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4 Vaọy vụựi n N, 5n – 1 4 . b/ Ta coự n2 + n = n( n + 1) ủaõy laứ tớch cuỷa hai soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp neõn tớch chaỳn, do ủoự n2 + n + 1 laứ soỏ leừ neõn khoõng chia heỏt cho 4. c/ Ta coự 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9 n chửừ soỏ 0 n chửừ soỏ 9 d/ Ta coự: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9 n chửừ soỏ 0 n-1 chửừ soỏ 0 2) a/ Ta coự: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9 (1) 28 chửừ soỏ 0 27 chửừ soỏ 0 Soỏ 1028 + 8 coự taọn cuứng baống 008 neõn chia heỏt cho 8 (2) Maởt khaực (8;9) = 1. Vaọy 1028 + 8 chia heỏt cho 72. b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17 vaõy 88 + 220 chia heỏt cho 17. 3) Vụựi moùi soỏ tửù nhieõn n thỡ n 2 + n = n(n + 1) ủaõy laứ tớch cuỷa hai soỏ tửù nhieõn lieõn tieỏp neõn taọn cuứng baống 0; 2; 6. Do ủoự n 2 + n + 6 taọn cuứng baống 6; 8; 2 neõn khoõng chia heỏt cho 5. 4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0 Soỏ naứy coự chửừ soỏ taọn cuứng baống 0 neõn chia heỏt cho caỷ 2 vaứ 5.