Chuyên đề 3: Tính chất chia hết – Ước và bội

Chuyên đề 3: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI Tiết 13: TÍNH CHẤT CHIA HẾT – ƯỚC VÀ BỘI A. KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1) Định nghĩa: Cho hai số tự nhiên a và b (b ). a là bội của b b là ước của a. 2) Tính chất: 1/ Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó. 2/ Nếu 3/ Số 0 chia hết cho mọi số b khác 0. 4/ Bất cứ số nào củng chia hết cho 1. 5/ Nếu a m và b m thì 6/ Nếu tổng của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chia hết cho m thì số còn lại cũng chia hết cho m. 7/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m. 8/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. 9/ Nếu Hệ Quả: Nếu Nếu B.Ví dụ: Ví dụ 1:Chứng minh rằng: a) chia hết cho 11. b) Chia hết cho 9 với a > b. Giải: a) Ta có = (10a +b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b) 11 Vậy 11. b) Ta có : = (10a + b) – (10b + a) = 9a – 9b = 9 (a – b) 9 Chú ý : Nếu Ví dụ 2: Tìm n N để: a) n + 4 n b) 3n + 7 n Giải: a) n + 4 n , n n => 4 n => n Ư(4) = b) 3n + 7 n; 3n n => 7 n => n Ư(7) = C/ BÀI TẬP: Cho 2) CMR Nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số số gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11. 3) Cho số Chứng minh rằng số Giải: Mà : 7.143 và 2) Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: .( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N) Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: 3) Tiết 14: LUYỆN TẬP 1) CMR tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. 2) CMR Tổng của 5 số chẳn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng của 5 số lẽ liên tiếp thì không chia hết cho 10. 3) Tìm n N để: a) 27 – 5n n b) n + 6 n + 2 c) 2n + 3 n – 2 d) 3n + 1 11 – 2n 4) Cmr nếu 5) Cho 6) Cho 10 k – 1 19 với k > 1 CMR: 102k – 1 19 7) Cho n là số tự nhiên. CMR: a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2. b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho cả 2 và 3. 8) Chứng minh rằng nếu Giải: 1) Gọi ba số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2 . Ta phải chứng minh: n + (n + 1) + (n + 2) 3 Thật vậy ta có: n + (n + 1) + (n + 2) = 3n + 3 3 Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp đó là: n, n + 1, n + 2, n + 3. Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4. Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. 2) Gọi 5 số chẵn liên tiếp là: 2n; 2n + 2; 2n + 4; 2n + 6; 2n + 8 với n là số tự nhiên. Ta có: 2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 + 2n + 8 = 10n + 20 = 10(n + 2) 10 Gọi 5 số lẽ liên tiếp là: 2n + 1; 2n + 3; 2n + 5; 2n + 7; 2n + 9 với n là số tự nhiên. Ta có: 2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 + 2n + 9 = 10n + 25 = 10(n + 2) + 5 10. 3) a) 27 – 5n n ; 5n n => 27 n => n Ư(27) = nhưng 5n < 27 nên n < 6 Vậy n b) n + 6 n + 2 => n + 2 + 4 n + 2, mà n +2 n + 2 => 4 n + 2 => n + 2 => n c) 2n + 3 n – 2 => 2(n – 2) + 7 n -2 => 7 n - 2 => n – 2 => n d*) 3n + 1 11 – 2n (n 2(3n + 1) + 3(11 – 2n) 11 – 2n => 35 11 – 2n => 11 – 2n nhưng vì n < 6 nên n Vậy : 6) Ta có: 102k – 1 = 102k – 10k + 10k -1 = 10k(10k – 1) + (10k – 1) Do 10k - 1 19 nên 10k(10k – 1) + (10k – 1) 19 Vây 102k – 1 19 7) a/ (n + 10 ) (n + 15 ) Khi n chẵn => n = 2k (k N). Ta có: (n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 10)( 2k + 15) = 2(k + 5)(2k + 15) Chia hết cho 2. Khi n lẽ => n = 2k + 1 (k N). Ta có: :(n + 10 ) (n + 15 ) = (2k + 1 + 10)(2k +1 + 15) = (2k + 11)(2k + 16) = 2(2k + 11 )(k + 8) chia hết cho 2. Vây (n + 10 ) (n + 15 ) Chia hết cho 2. b/ Đăt. A = n (n + 1)(n + 2) + Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẳn và một số lẽ, số chẳn chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2. + Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (1) Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2 Khi n = 3k + 1 => A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (2) Khi n = 3k + 2 => A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3. (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho cả 2 và 3. 8) Ta có Mà: Suy ra: Vậy: Tiết 15: CÁC DẤU HIỆU CHIA HẾT A/ LÝ THUYẾT: B/ Ví du: Ví dụ1:Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, chia hết cho 5 và cho 27. biết rằng hai chữ số ở giữa của nó là 97. Giải: Gọi n là số phải tìm. Vì n chia hết cho 5 và cho 27 nên n phải tận cùng bằng 0 hoặc 5 và chia hết cho 9, do đó ta có số n = . Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 5) 9 => * = 6. Thử lại 6975 không chia hết cho 27. Khi: n = 9 => (* + 9 + 7 + 0) 9 => * = 2. Thử lại 2970 chia hết cho 27. Vây số 2970 là số phải tìm. Ví dụ 2: Cho số tự nhiên bằng ba lần tích các chữ số của nó. CMR: b chia hết cho a. Giả sử b = ka (k N) CM: k là ước của 10. Giải: a) Theo đề bài ta có: = 3ab => 10a + b = 3ab (1) => 10a + b a => b a b) Do b = ka nên k < 10. Thay b = ka vào (1), ta có: 10a + ka = 3a.ka => a(10 + k) = 3ak. a => 10 + k = 3ak => 10 + k k => 10 k Vậy k là ước của 10. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với n N thì số 92n – 1 chia hết cho cả 2 và 5. Giải: Có: 92n – 1 = (92)n – 1 = 81n - 1 = ….1 - 1 = …0 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5. C/ BÀI TẬP: 1) Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho: a/ Số chia hết cho 5; cho 25; cho125. b/ Số chia hết cho 2, cho4, cho 8. Giải: 1) a/ 5 ; 25 ; 125 b/ ; Tiết 16: LUYỆN TẬP 1) Cho n N, chứng minh rằng: a/ 5n – 1 4 b/ n2 + n + 1 không chia hết cho 4. c/ 10n - 1 9 d/ 10n + 8 9 2) Chứng minh rằng: a/ 1028 + 8 72 b/ 88 + 220 17 3/ CMR với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n + 6 không chia hết cho 5. 4) CMR: a/ 94260 – 35137chia hết cho 5. b/ 995 - 984 + 973 - 962 chia hết cho 2 và 5. Giải: 1) a/ + Với n = 0, ta có: 50 – 1 = 1 – 1 = 0 4 + Với n = 1, ta có: 51 -1 = 5 – 1 = 4 4. + Với n > 1, ta có: 5n = …5 nên 5n – 1 = …5 – 1 = … 4 4 Vậy với n N, 5n – 1 4 . b/ Ta có n2 + n = n( n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tích chẳn, do đó n2 + n + 1 là số lẽ nên không chia hết cho 4. c/ Ta có 10n - 1 = 100…0 – 1 = 99…..9 9 n chữ số 0 n chữ số 9 d/ Ta có: 10n + 8 = 100…0 + 8 = 100…08 9 n chữ số 0 n-1 chữ số 0 2) a/ Ta có: 1028 + 8 = 100…0 + 8 = 100……08 9 (1) 28 chữ số 0 27 chữ số 0 Số 1028 + 8 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8 (2) Mặt khác (8;9) = 1. Vậy 1028 + 8 chia hết cho 72. b/ 88 + 220 = (23)8 + 220 = 2 24 + 2 20 = 220(24 + 1) = 220. 17 17 vây 88 + 220 chia hết cho 17. 3) Với mọi số tự nhiên n thì n 2 + n = n(n + 1) đây là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên tận cùng bằng 0; 2; 6. Do đó n 2 + n + 6 tận cùng bằng 6; 8; 2 nên không chia hết cho 5. 4) a/ 94260 – 35137= 9424.15 – 35137= ….615 - …1 = …6 - …1 = …5 5 b/ 995 - 984 + 973 - 962 = …9 - …6 + ….3 - …..6 =….0 Số này có chữ số tận cùng bằng 0 nên chia hết cho cả 2 và 5.