Chuyên đề 7: Bất đẳng thức

Chuyên đề 7: BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Số thực dương, số thực âm: Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu Chú ý: Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề "" Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề "" II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có: 2. Định nghĩa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: 2. Tính chất 2: Hệ quả 1: Hệ quả 2: 3. Tính chất 3: 4. Tính chất 4: Hệ quả 3: Hệ quả 4: 5. Tính chất 5: 6. Tính chất 6: 7. Tính chất 7: 8. Tính chất 8: Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : Nếu a và b là hai số không âm thì : IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : 1. Định nghĩa: 2. Tính chất : 3. Với mọi ta có : V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : a > 0, b > 0, c > 0 VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2,...an ta có : Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Cho bốn số thực a,b,x,y ta có : Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx Tổng quát : Cho hai bộ số và ta có : Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng c) Bất đẳng thức cơ bản: Cho hai số dương a,b ta luôn có: Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. với mọi số thực a,b,c 2. với mọi a,b Ví dụ 2: Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b , chứng tỏ rằng: Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu x>0 thì 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : Ví dụ6: Cho x,y,z và xyz=1. Chứng minh rằng : Ví dụ 7: Cho x, y, z > 0 và x+y+z=xyz. Chứng minh rằng : Ví dụ 8: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : Ví dụ 9: Cho ba số dương x,y,z thỏa mãn . Chứng minh rằng : Ví dụ 10: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi x > 0 Ví dụ 3: Chứng minh bất đẳng thức: với mọi Ví dụ 4: Với , chứng minh BÀI TẬP RÈN LUYỆN I.BiÕn ®ỉi t­¬ng ®­¬ng,®¸nh gi¸ Bµi 1: CMR "a. Bµi 2: CMR " x,y,z. Bµi 3: CMR (x-2)(x-4)( x-6)(x-8) + 16 ³ 0 "x. Bµi 4: Cho a,b,c tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1. CMR abc + 2( 1 + a + b + c + ab + bc + ca) ³ 0 Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR 1) NÕu ab ³ 1 th× . 2) NÕu a,b,c ³ 1 th× . Bµi 6: Cho a,b,c tho¶ m·n . CMR . Bµi 7: Cho a+b ³ 0. CMR . Bµi 8: Cho a,b,c > 0. CMR . Bµi 9: CMR . Bµi 10: CMR 1. a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a( b + c + d + e ) "a,b,c,d,e 2.a2 + b2 + c2 + d2 ³ a( b + c + d) "a,b,c,d. Bµi 11.Cho x>0 CMR Bµi 12.Cho a,b>0 CMR . Bµi 13.Cho a,b>0 vµ (Nh©n chÐo vµ ph©n tÝch). Bµi 14.Cho a,b,c>0 vµ a,b,c 1,CMR (AD bµi 13 vµ ababc). Bµi 15. II.BÊt ®¼ng thøc C«si Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR a4 + b4 + c4 ³ ab3 + bc3 +ca3 3a3 + 7b3 ³ 9ab2 Bài 2: Cho x , y,z > 0 tháa m·n xyz = 1. CMR Bµi 3: Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n x + y + z = 1. a) CMR : . b) T×m GTNN cđa : A = . Bµi 4: Cho a,b,c,m,n,p > 0. CMR: a) b) Bµi 5: Cho a,b,c > 0. CMR: a) (BÊt ®¼ng thøc Nesbit) b) NÕu abc = 1 th× : . Ba× 6. Cho a,b0,CMR. Bµi7.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau . Cho thªm ®k :a+b=1 CMR Bµi 8:Cho a,b,c lµ ba c¹nh cđa mét tam gi¸c,CM c¸c B§T sau: Bµi 9.Cho a,b,c>0,CM c¸c B§T sau Bài 9: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng Khi nµo đẳng thức xảy ra? Bài 10: Chứng minh rằng với mọi x, ta có: Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 11: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng : Bài 12: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức , chứng minh rằng: Bµi 13.(Kü thuËt co si ng­ỵc dÊu). Cho a,b,c>0 vµ a+b+c=3 CMR: Cho a,b,c,d>0,CMR Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR Cho a,b,c>0 tho¶ m·n a+b+c=3,CMR Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR Cho a,b,c,d>0 CMR Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR Cho a,b,c0 tho¶ m·n a+b+c=3 CMR Bµi 14(Kü thuËt thªm bít trong B§T COSI) Cho a,b,c>0 CMR (Thªm (a+b)/4..hoỈc COSI ng­ỵc ) Cho a,b,c>0 CMR(Thªm a,b,c) Cho a,b,c>0 CMR(Thªm b+c) Cho a,b,c>0 vµ abc=1,CMR (Thªm(1+b)/8+(1+c)/8) Cho a,b,c,d>0 tho¶ m·n a+b+c+d=4,CMR (Thªm (b+c+d)/9..) Cho a,b,c>0 CMR (Thªm a,b,c) Cho a,b,c>0 CMR Cho a,b,c>0 CMR (Thªm ab,bc,ca) Cho a,b,c>0 CMR(Thªm ) Cho a,b,c>0 CMR III.BÊt ®¼ng thøc BunhiacèpSki Bµi 1: Cho a,b,c > 0. CMR: a) b) c) Bµi 2 : Cho a,b,c ³ tho¶ m·n a+b+c = 1. CMR: Bµi 3 : CMR : a) víi x,y ³ 1 b) víi 0 < ca,b Bµi 4 : Cho a,b,c > 0. CMR: a) ( a + b )4 8(a4 + b4) ; b) c) víi 2a + 3b ³ 7 d) víi ab + bc + ca = abc Bµi 5: Cho x,y > 0. T×m GTNN: a) A = víi x + y = 1 b) B = x + y víi c) C = d) D = IV.BÊt ®¼ng thøc vỊ trÞ tuyƯt ®èi: Bµi 1: Cho CMR: Bµi 2: CMR : Bµi tËp thªm : Bµi 1: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a + b = c .CMR Bµi 2: CMR Bµi 3: T×m GTNN cđa biĨu thøc: A = víi x > 0 ; B = víi x > 0 ; C = biÕt r»ng x,y,z > 0 vµ x + y + z 1 Bµi 4: Cho x,y > 0 tho¶ m·n x2 + y3 ³ x3 + y4 . CMR Bµi 5:Cho x,y,z > 0 tho¶ m·n xyz( x + y + z) = 1.T×m GTNN P = (x+y)(x+z) Bµi 6: Cho a,b,c > 0.CMR: a) b) (a + 1) (b + 1) (a + c) (b + c) ³ 16abc c) Bµi 7: Cho a,b,c Ỵ[-1,1] tho¶ m·n a + b + c = 0.T×m GTLN,GTNN cđa P = a2 + b4 + c6 Bµi 8: Cho a,b,c > 0 tho¶ m·n a+b+c = 1.T×m GTNN P = Bµi 9: CMR: a) b) c) Bµi 10.CMR víi mäi a,bR ta cã,dÊu “=” s¶y ra khi nµo? Bµi 11: CMR: V.BÊt ®¼ng thøc dïng tÝnh ch¸t tØ sè A.T/C:Cho ba sè d­¬ng a,b,c NÕu NÕu NÕu cho thªm d>0 th× NÕu B.Bµi tËp Cho a,b,c>0,CMR Cho a,b,c,d>0 CMR Cho a,b,c,d>0 CMR Kh«ng lµ sè tù nhiªn Cho a,b,c,d>0 CMR Bµi tËp cđng cè : CMR : víi a,b,c > 0 bÊt k× ta cã : a) b) c)