Chuyên đề 7: Phương trình lượng giác các công thức lượng giác

TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 40- Ths. Nguyễn Văn Bảy CHUYÊN ðỀ 7: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT: I. Caïc cung liãn quan: 1. Cung âäúi nhau: 2. Cung phuû nhau 3. Cung buì nhau sin(–α) = – sinα sin 2 pi  − α    = cosα sin( αpi − ) = sinα cos(–α) = cosα cos 2 pi  − α    = sinα cos( αpi − ) = – cosα tan(–α) = – tanα tan 2 pi  − α    = cotα tan( αpi − ) = – tanα cot(–α) = – cotα cot 2 pi  − α    = tanα cot( αpi − ) = – cotα II. Caïc hàòng âàóng thæïc læåüng giaïc: 1. Caïc hàòng âàóíng thæïc 2. Caïc tênh cháút sin2α + cos2α = 1 xkx sin)2sin( =+ pi tanα .cotα = 1 xkx cos)2cos( =+ pi αα 2 2 tan1cos 1 += xkx tan)tan( =+ pi αα 2 2 cot1sin 1 += xkx cot)cot( =+ pi (k ∈ Z) III. Caïc cäng thæïc læåüng giaïc: 1. Cäng thæïc cäüng: bababa sinsincoscos)cos( −=+ bababa sinsincoscos)cos( +=− abbaba cossincossin)sin( +=+ abbaba cossincossin)sin( −=− ba baba tan.tan1 tantan)tan( ∓ ± =± 2. Cäng thæïc nhán âäi: aaa 22 sincos2cos −= 1cos2 2 −= a a2sin21−= TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 41- Ths. Nguyễn Văn Bảy aaa cossin22sin = a a a 2tan1 tan22tan − = 3. Cäng thæïc nhán ba aaa cos3cos43cos 3 −= aaa 3sin4sin33sin −= 4. Cäng thæïc haû báûc: 2 2cos1 cos 2 a a + = 2 2cos1 sin 2 aa −= 5. Cäng thæïc biãún âäøi täøng thaình têch 2 cos 2 cos2coscos bababa −+=+ 2 sin 2 sin2coscos bababa −+−=− 2 cos 2 sin2sinsin bababa −+=+ 2 sin 2 cos2sinsin bababa −+=− 6. Cäng thæïc biãún âäøi têch thaình täøng: [ ])cos()cos( 2 1 coscos bababa ++−= [ ])cos()cos( 2 1 sinsin bababa +−−= [ ])sin()sin( 2 1 cossin bababa ++−= 7. Một số công thức giúp hạ bậc các biểu thức lượng giác: • )2sin2 11)(cos(sin)cossin1)(cos(sincossin 33 xxxxxxxxx −+=−+=+ • 3 3 1sin x cos x (sin x cos x)(1 sin x cos x) (sin x cos x)(1 sin 2x) 2 − = − + = − + • 4 4 2 2 2 2 2 21sin x cos x (sin x c x) 2sin x cos x 1 sin 2x 2 os+ = + − = − • 6 6 2 2 4 4 2 2sin x cos x (sin x c x)(sin x cos x sin x cos x)os+ = + + − TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 42- Ths. Nguyễn Văn Bảy 231 sin 2x 4 = − 8. Bảng giá trị lượng giác các cung có số ño từ 0 ñến pi : 00 0(rad) 300 6 pi 450 4 pi 600 3 pi 900 2 pi 1200 3 2pi 1350 4 3pi 1500 6 5pi 1800 pi sin 0 2 1 2 2 2 3 1 2 3 2 2 2 1 0 cos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1 2 2 2 3 1 tan 0 3 1 1 3 || 3 1 3 1 0 cot || 3 1 3 1 0 3 1 1 3 || PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học, cao ñẳng, câu hỏi phương trình lượng giác luôn có mặt và chiếm tỷ trọng1/10 tổng số ñiểm của bài thi. Những bài phương trình lượng giác thường gây không ít khó khăn ñối với nhiều em học học sinh. Có lẽ lí do mà các em thường cảm thấy khó khăn khi giải các phương trình lượng giác là có quá nhiều công thức biến ñổi lượng giác nên không biết sử dụng công thức nào ñể biến ñổi và ñưa phương trình ñã cho về dạng thường gặp. Sau ñây là một vài kinh nghiệm nho nhỏ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải một phương trình LG, hướng tới kì thi tuyển sinh ðại học sắp ñến. ðể giải ñược một phương trình lượng giác các em cần: 1) Nắm vững các công thức nghiệm của các phương trình lượng giác cơ bản. 2) Nhận dạng và giải ñược các phương trình lượng giác thường gặp: +Phương trình bậc nhất theo sin và cos. + Phương trình bậc hai theo một hàm số LG. + Phương trình ñẳng cấp ñối với sin và cos + Phương trình ñối xứng. 3) Thuộc các công thức lượng giác. 4) Khi tiến hành giải một phương trình lượng giác các em nên: TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 43- Ths. Nguyễn Văn Bảy + Tìm cách ñưa về các phương trình LG thường gặp. + Nếu các cung khác nhau thì tìm cách ñưa về cùng một cung. + Nếu cung có dạng       ± 2 pikx hoặc       ± 4 pikx thì tìm cách làm mất phần      ± 2 pik và      ± 4 pik này. + Dùng các công thức hạ bậc và hằng ñẳng thức sin2a + cos2a = 1 khi trong ñề có lũy thừa chẵn hoặc có biểu thức ñối xứng của sin2nx và cos2nx . + Dùng các công thức biến ñổi ñưa phương trình về dạng tích. Sau ñây là các ví dụ minh họa: TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 44- Ths. Nguyễn Văn Bảy PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CĂN BẢN A. TOÏM TÀÕT LÝ THUYẾT: 1. Caïc phæång trçnh LG cå baín:    +−= += ⇔= pipi pi 2 2 sinsin kax kax ax    +−= += ⇔= pi pi 2 2 coscos kax kax ax pikaxax ==⇔= tantan pikaxax +=⇔= cotcot 2. Caïc phæång trçnh âàûc biãût: pi pi 2 2 1sin kxx +=⇔= pi21cos kxx =⇔= pikxx =⇔= 0sin pi pi kxx +=⇔= 2 0cos pi pi 2 2 1sin kxx +−=⇔−= pipi 21cos kxx +=⇔−= Chú ý: Nếu m không phải là giá trị lượng giác của cung ñặc biệt thì ta có thể sử dụng công thức sau ñể biểu biễn nghiệm của phương trình lượng giác. x arcsin m k2 sin x m ( 1 m 1) x arcsin m k2 = + pi = ⇔ − < < = pi − + pi x arccosm k2 cos x m ( 1 m 1) x arccosm k2 = + pi = ⇔ − < < = + pi tgx m x arctan m k= ⇔ = + pi cot gx m x arccot m k= ⇔ = + pi B. BAÌI TÁÛP MINH HỌA: Loại 1: Phương trình có số mũ lớn. • Dùng công thức hạ bậc: 2 1 cos2acos a 2 + = và 2 1 cos2asin a 2 − = TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 45- Ths. Nguyễn Văn Bảy • Dùng hằng ñẳng thức: sin2x + cos2x = 1 Ví dụ 1: Giaûi phöông trình: 8 8 1sin cos cos 4 0 8 + + =x x x Giải : Ta coù: 2 8 8 4 4 2 4 4 2 4 2 4 1 1 sin cos (sin cos ) 2sin .cos 1 sin 2 sin 2 2 8 11 sin 2 sin 2 8   + = + − = − −    = − + x x x x x x x x x x Do ñoù: 2 4 2 4 2 2 4 2 2 1 1(1) 1 sin 2 sin 2 cos4 0 8 8sin 2 sin 2 (1 2sin 2 ) 0 8 8 sin 2 1 sin 2 10sin 2 9 0 sin2 1 2 2sin 2 9 ( ) ⇔ − + + = ⇔ − + + − =  = ⇔ − + = ⇔ ⇔ = ± ⇔ = + = x x x x x x x x x x x k x pi pi loaïi ( ) 4 2 x k kpi pi⇔ = + ∈ℤ Ví dụ 2: Giaûi phöông trình: 2 2 2sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = Giải 1 cos 2 1 cos 4 1 cos 62 2 2sin sin 2 sin 3 2 2 2 2 2 21 cos 4 cos 6 cos 2 0 2cos 2 2cos 4 .cos 2 0 2cos 2 (cos 4 cos 2 ) 0 4cos 2 .cos3 .cos 0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − + + = ⇔ + + = ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔ + = ⇔ = 2cos 0 cos 2 0 2 2 cos3 0 3 2 x k x x x k x x k pi pi pi pi pi pi  = + =   ⇔ = ⇔ = +   =   = +  ⇔ 2 ( ) 4 2 6 3 x k k x k Z k x pi pi pi pi pi pi  = +   = + ∈    = +  TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 46- Ths. Nguyễn Văn Bảy Loại 2: Phân tích ñề, tìm mối quan hệ giữa các biểu thức, dùng các công thức biến ñổi nhóm thành tích: Ví dụ 1: Giaûi phöông trình: sinx + sin2x + sin3x = 0 Giải Ta coù phöông trình 2sin 2 cos sin 2 0 sin 2 (2cos 1) 0 2sin 2 0 2 ( )21 22cos 232 3 x x x x x k x kx x k x kx x k pi pi pi pipi pi ⇔ + = ⇔ + =  == =  ⇔ ⇔ ⇔ ∈  = ± += −  = ± +   ℤ Ví dụ 2: ðề thi tuyển sinh ñại học khối D – năm 2004 Giải phương trình: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx Giải: (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = 2sinx.cosx – sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = (2cosx – 1)sinx ⇔ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) – (2cosx – 1)sinx = 0 ⇔ (2cosx – 1)[(2sinx + cosx) – sinx] = 0 ⇔ (2cosx – 1)(sinx + cosx) = 0 ⇔ cosx = 2 1 ∨ cosx = – sinx ⇔ cosx = cos 3 pi ∨ cotx = –1 ⇔ x = ± 3 pi + k2pi ∨ cotx = cot( – 4 pi ) ⇔ x = ± 3 pi + k2pi ∨ x = – 4 pi + kpi (k ∈ Z) TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 47- Ths. Nguyễn Văn Bảy C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi phæång trçnh: 1) 13 sin x cos x cos x + = 2) 1cot )sin(cos2 2cottan 1 − − = + x xx xx 3) x x x x sin21 2cos cos21 2sin − − = − − 4) 2 2 2 3 sin x sin 2x sin 3x 2 + + = 5) xxx 2cossincos 24 =− 6) 2cos x t anx(cot x sin 2x) 4 pi  − = −    7) 1 sin x cos x tan x 0+ + + = 8) 12 tan x cot 2x 2sin 2x sin 2x + = + 9) 2 2 2sin x cos 2x cos 3x= + 10) 2 2 2 2 3 cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2 + + + = Bài 2. Giải các phương trình: a) 2 2 2 2sin 3 cos 4 sin 5 cos 6− = −x x x x (KHỐI A – 2002) b)cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 trên ñoạn [0; 14]. (KHỐI D – 2002) c) 2 2 2sin ( ) tan cos 0 2 4 2 − − = x x x pi (KHỐI D – 2003) d) (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin− + = −x x x x x (KHỐI D– 2004) e) 1 sin cos sin 2 cos 2 0+ + + + =x x x x (KHỐI B – 2005) Bài 3. Giải phương trình: a) cot sin (1 tan .tan ) 4 2 + + = x x x x (KHỐI B – 2006) b) cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 (KHỐI D – 2006) c) (1+ sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = 1+ sin2x (KHỐI B – 2007) TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 48- Ths. Nguyễn Văn Bảy d) 2sin22x + sin7x = sinx (KHỐI D – 2007) Bài 4. Giải phương trình: a) 1 1 74sin( )2sin 4sin( ) 3 + = − − x x x pi pi (KHỐI A – 2008) b) 3 3 2 2sin 3cos sin cos 3sin cos− = −x x x x x x (KHỐI B – 2008) c) 2sinx (1 + cos2x) + sin2x = 1 + cos2x (KHỐI D – 2008) d) sin 2 cos2 3sin cos 1 0− + − − =x x x x (KHỐI D – 2010) e) sin2x + 2cosx – sinx – 1 = 0 (KHỐI D – 2011) f) sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx (KHỐI B – 2011) PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A. TOÏM TÀÕT LÝ THUYẾT: Daûng: 0 c bsinx x asin 2 =++ Âàût t = sinx (– 1≤ t ≤ 1) 0 c bcosx x acos 2 =++ Âàût t = cosx (– 1≤ t ≤ 1) 0 c btgx x atg 2 =++ Âàût t = tgx 0 c bcotx x acot2 =++ Âàût t = cotx Khi âoï phæång trçnh tråí thaình: at2 + bt +c = 0. B. BAÌI TÁÛP MINH HỌA: Ví dụ 1 : Giải phương trình : 2sin22x – (2 + 3 )sin2x + 3 = 0 Nhận xét: ðây là phương trình bậc hai theo hàm số sin2x Giải : ðặt t = sin2x, | t | ≤ 1. Ta có phương trình : 2t2 – (2 + 3 )t + 3 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = 2 3 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 49- Ths. Nguyễn Văn Bảy + Với t = 1, ta có: sin2x = 1 ⇔ 2x = 2 pi + k2pi ⇔ x = 4 pi + kpi + Với t = 2 3 , ta có sin2x = 2 3 ⇔ sin2x = sin 3 pi )( 3 6 Zk kx kx ∈       += += ⇔ pi pi pi pi Ví dụ 2: Giải phương trình: 4cosx + cos2x – 5 = 0 Nhận xét: Phương trình này chưa có dạng phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác. Tuy nhiên, nếu thay cos2x bởi 2cos2x – 1 thì phương trình ñã cho trở thành phương trình bậc hai theo hàm số cosx. Giải: Ta có: 4cosx + cos2x – 5 = 0 ⇔ 4cosx + (2cos2x – 1) – 5 = 0 ⇔ 2cos2 x + 4cosx – 6 = 0 ðặt t = cosx, | t | ≤ 1. Ta có phương trình : 2t2 + 4t – 6 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = –3(loại) Với t = 1, ta có : cosx = 1 ⇔ x = k2pi (k ∈ Z). Ví dụ 3 : ðề thi tuyển sinh ñại học khối A – năm 2005 : Giải phương trình : 2 2cos 3x cos2x cos x 0− = Nhận xét: Trong phương trình có chứa cos23x và cos2x. Ta hạ bậc hai biểu thức này sau ñó dùng công thức biến ñổi tích thành tổng. Giải 2 2 (1 cos6 )cos2 1 cos2cos 3 cos2 cos 0 0 2 2 1 cos6 cos2 1 0 (cos8 cos4 ) 1 2 x x x x x x x x x x − − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ + − TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 50- Ths. Nguyễn Văn Bảy 2cos8 cos4 2 0 2cos 4 cos4 3 0 cos4 1 4 2 ( )3 2cos4 ( ) 2 x x x x x k x k x k Z x VN pi pi ⇔ + − = ⇔ + − = = ⇔ ⇔ = ⇔ = ∈  = −  C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi các phæång trçnh: 1) )1sin2(sincos43 2 +=− xxx 2) cos2x – 7sinx + 8 = 0 3) xxxx 2cossin212cos3sin +=+ 4) cos3x + 1 = sin2x 6) sin4x + cos4x + sin3xcosx = 2 1 sin4x Bài 2. Giải các phương trình: a) 4 4 3cos sin cos( )sin 3 0 4 4 2  + + − − − =    x x x x pi pi (KHỐI D – 2005) b) 6 62(cos x sin x) sin x cos x 0 2 2sin x + − = − (KHỐI A – 2006) c) (1 sin x cos2x)sin x 14 cos x 1 tan x 2 pi  + + +    = + (KHỐI A – 2010) d) (sin 2 cos2 )cos 2cos2 sin 0+ + − =x x x x x (KHỐI B – 2010) TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 51- Ths. Nguyễn Văn Bảy PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COS A. TOÏM TÀÕT LÝ THUYẾT: Daûng: Asinx + Bcosx + C = 0 ( A2 + B2 ≠0) Phæång phaïp giaíi: Chia hai vãú cho 22 BA + . Âæa phæång trçnh vãö daûng: 222222 cossin BA C x BA B x BA A + −= + + + (1) Âàût: 22cos BA A + =α ⇒ 22 sin BA B + =α Khi âoï (1) tråí thaình: 2222 )sin(cossincossin BA C x BA C xx + −=+⇔ + −=+ ααα (2) Phæång trçnh (2) âaî biãút caïch giaíi. ** Chuï yï: + Nãúu giaï trë cuía 22 BA A + laì: 1 2 , 3 2 , 2 2 thç cosα láön læåüt laì cos 3 pi , cos 6 pi vaì cos 4 pi hoüc sinh khäng âæåüc âàût 2 2 A c A B os= α + . + Âiãöu kiãûn(3) coï nghiãûm laì : 222 CBA ≥+ Ví dụ 1 : Giải phương trình :sin 2x 3 cos 2x 2+ = − (1) Giải: Ta có: (1) ⇔ 1 3 2 2sin 2x cos2x sin 2x.cos cos 2xsin 2 2 2 3 3 2 pi pi + = − ⇔ + = − TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 52- Ths. Nguyễn Văn Bảy       ++=+ +−=+ ⇔−=+⇔−=+⇔ pi pi pi pi pi pipi pipipi 2 43 2 2 43 2 ) 4 sin() 3 2sin( 2 2) 3 2sin( kx kx xx )( 24 11 24 7 Zk kx kx ∈       += +−= ⇔ pi pi pi pi Ví dụ 2 : Giải phương trình : xxx cos22cos2sin3 −=− (1) Giải: Phương trình (1) ⇔ xxxxxx cos6 sin2cos 6 cos.2sincos2cos 2 12sin 2 3 −=−⇔−=− pipi )( 32 26 2 26 ) 2 sin() 6 sin() 2 sin() 6 sin(cos) 6 sin( Zkkx kxx kxx xxxxxx ∈+−=⇔       +++=− +−−=− ⇔ −−=−⇔+−=−⇔−=−⇔ pi pi pi pi pi pi pi pipi pipipipipi C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN: Baìi 1: Giaíi phæång trçnh: 1) 0) cos 1 cos2(22cos2sin =−+−− x xxxtgx 2) 31sincos2 cossin2cos 2 = −+ − xx xxx 3) x x xg 2sin 2cos12cot1 2 − =+ 4) xx xxxxx cos2 1 2cos1 5coscos4cos2sin4sin3 3 = + −+− TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 53- Ths. Nguyễn Văn Bảy ( ) ( ) 2 6 6 2 5) s (1 2 3 cos ) 1 2 sin sin cos 2 2 16) 3 tan cot 2 4 cos2 7)8 cos sin 6cos2 2cos 2 sin 2 8) 2sin3 cos cos4 1 2sin 2 inx x xx x x x x x x x x x x x x x   + + = +    + + = − − = + = + Bài 2. Giải phương trình: a) 2cos2 1cot 1 sin sin 2 1 tan 2 − = + − + x x x x x (KHỐI A – 2003) b) (1 2sin )cos 3(1 2sin )(1 sin ) − = + − x x x x (KHỐI A – 2009) c) 3sin cos sin 2 3cos3 2(cos4 sin )+ + = +x x x x x x (KHỐI B – 2009) d) 3cos5 2sin3 cos2 sin 0− − =x x x x (KHỐI D – 2009) e) sin x c x sin sin x cot x2 1 2 os2 2 x 2 1 + + = + (KHỐI A – 2011) TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 54- Ths. Nguyễn Văn Bảy PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP THEO SIN VÀ COS A. TOÏM TÀÕT LÝ THUYẾT: 1. Phương trình ñẳng cấp bậc hai: D x Ccos Bsinxcosx x Asin 22 =++ ( 0222 ≠++ CBA ) (1) Phæång phaïp giaíi: + Kiểm tra xem x = 2 pi + kpi có thoả pt (1) hay không, nếu thoả mãn thì nhận nghiệm này. + Xét x ≠ 2 pi + kpi. Chia hai vãú (1) cho cos2x ta âæåüc ptrçnh tæång âæång: 0 C Btgx x Atg2 =++ Phæång trçnh naìy âaî biãút caïch giaíi. 2. Phương trình ñẳng cấp bậc ba: A.sin3x + Bsin2x.cosx + C.sinx.cos2x + D cos3x + E sinx + Fcosx = 0. Cách giải phương trình này tương tự như cách giải phương trình ñẳng cấp bậc hai. B. BAÌI TÁÛP MINH HỌA: Ví dụ 1 : Giải phương trình : 0coscossin)31(sin3 22 =−−− xxxx (1) Giải Ta có x = 2 pi + kpi không thoả phương trình (1). Chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ta ñược phương trình tương ñương: TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 55- Ths. Nguyễn Văn Bảy )( 6 4 6 tantan ) 4 tan(tan 3 1 tan 1tan 01tan)31(tan3 2 Zk kx kx x x x x xx ∈       += +−= ⇔       = −= ⇔      = −= ⇔=−−− pi pi pi pi pi pi Ví dụ 2 : Giải phương trình : 3cos)32(2sinsin3 22 =−−− xxx (1) (1) ⇔ 2 2 2 23 sin x sin 2x (2 3)cos x 3(sin x cos x)− − − = + 0cos2cossin20cos22sin 22 =−−⇔=−−⇔ xxxxx ⇔ – 2cosx(sinx + cosx) = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ sinx + cosx = 0 ⇔ cosx = 0 ∨ tanx = – 1 ⇔ x = 2 pi + kpi ∨ x = – 4 pi + kpi (k ∈ Z). Ví dụ 3 : Giải phương trình : cos3x – 4sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 (1) Giải Ta có: x = 2 pi + kpi không thoả phương trình (1). Chia hai vế phương trình (1) cho cos3x ta ñược phương trình tương ñương: 1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx. x2cos 1 = 0 ⇔ 1 – 4tan3x – 3tan2x + tanx( 1 + tan2x) = 0 ⇔ 3tan3x + 3tan2x – tanx – 1 = 0 TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 56- Ths. Nguyễn Văn Bảy ⇔ (tanx + 1)(3tan2 –1) = 0 ⇔ tanx = –1 ∨ tanx = ± 1/ 3 ⇔ tanx = tan(– 4 pi ) ∨ tanx = tan(– 6 pi ) ∨ tanx = tan 3 pi ⇔ x = – 4 pi + kpi ∨ x = – 6 pi + kpi ∨ x = 3 pi + kpi (k ∈ Z) C. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN: Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh: 1) 03cos3cos3sin)31(3sin3 22 =−−+ xxxx 2) 033cos3sin3sin3 2 =−+ xxx 3) cos3x – 4 sin3x – 3cosxsin2x + sinx = 0 4) 3 3 2 sin x 2cos x cos x cos x sin 2x + = + Bài 2. Giải các phương trình 1) 3cos4x – sin22x + sin3x(2sin3xcos2x – sin5x) = 0 2) 0sincos3cos3cossin33cos 32 =+−+− xxxxxx 3) 0cossin3sincos 23 =−+ xxxx TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 57- Ths. Nguyễn Văn Bảy PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG A. TOÏM TÀÕT LÝ THUYẾT: Daûng 1: 0 C Bsinxcosx )cosA(sinx =+++ x ( 022 ≠+ BA ) (5) Phæång phaïp giaíi: Âàût: t = sinx + cosx = 2 cos(x 4 pi ) ( )| t | 2≤ ⇒ sinxcosx = 2t 1 2 − Thãú vaìo pt (5) vaì âæa vãö daûng: at2 + bt + c = 0. Daûng 2: A(sinx cos x) Bsinxcosx C 0− + + = ( 022 ≠+ BA ) (6) Phæång phaïp giaíi: Âàût: t = sinx – cosx = 2 sin(x – 4 pi ) ( )| t | 2≤ 21 t sin x cos x 2 − ⇒ = Thãú vaìo pt (6) vaì âæa vãö daûng: at2 + bt + c = 0. Ví dụ 1 : Giải phương trình : (sinx + cosx) – sin2x – 1 = 0 (1) Giải Pt (1) ⇔ sinx + cosx + 2sinxcosx – 1 = 0 Âàût: t = sinx + cosx = 2 cos(x – 4 pi ) ( )| t | 2≤ 21 t sin x cos x 2 − ⇒ = Ta có phương trình: t2 + t – 2 = 0 ⇔ t = 1 ∨ t = – 2(loại) Với t = 1 ta có : TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 58- Ths. Nguyễn Văn Bảy 2 cos(x – 4 pi ) = 1 ⇔ cos(x – 4 pi ) = 2 2 ⇔ cos(x – 4 pi ) = cos 4 pi ⇔ x – 4 pi = 4 pi + k2pi ∨ x – 4 pi = – 4 pi + k2pi ⇔ x = 2 pi + k2pi ∨ x = k2pi (k ∈ Z). Ví dụ 2 : Giải phương trình :2(sinx – cosx) – 5sinxcosx + 2 = 0 (1) Giải Âàût: t = sinx – cosx = 2 cos(x + 4 pi ) ( )| t | 2≤ 21 t sin x cos x 2 − ⇒ = Ta có phương trình: 2t + 5. 21 t 2 − + 2 = 0 ⇔ 5t2 – 4t – 9 = 0 ⇔ t = –1 ∨ t = 5 9 (loại) Với t = – 1 ta có : 2 cos(x + 4 pi ) = – 1 ⇔ cos(x + 4 pi ) = – 2 2 ⇔ cos(x – 4 pi ) = cos 3 4 pi ⇔ x – 4 pi = 4 3pi + k2pi ∨ x – 4 pi = – 3 4 pi + k2pi ⇔ x = pi + k2pi ∨ x = – 2 pi + k2pi (k ∈ Z) Ví dụ 3: Giải phương trình: sinx + cos3x + sin2x = 1 + 2cos2xcosx Giải (1) ⇔ sinx + cos3x + sin2x = 1 + cosx + cos3x TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 59- Ths. Nguyễn Văn Bảy ⇔ sinx – cosx + 2sinxcosx – 1 = 0 Âàût: t = sinx – cosx = 2 sin(x – 4 pi ) ( )| t | 2≤ 21 t sin x cos x 2 − ⇒ = Ta ñược phương trình: t + (1 – t2) – 1 = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 1 + Với t = 0, ta có : sin(x – 4 pi ) = 0 ⇔ x = 4 pi + kpi + Với t = 1, ta có:     += += ⇔=− pipi pi pi pi 2 2 2 2 1) 4 sin( kx kx x Vậy phương trình có nghiệm là: x k2 2 x k2 (k ) x k 4 pi = + pi  = pi + pi ∈  pi = + pi  ℤ Ví dụ 4: Giải phương trình: 4cos3x + 1 = 3cosx – sin3x(1 – 2cos3x) (1) Giải: (1) ⇔ cos3x + 3cosx + 1 = 3cosx – sin3x + 2sin3xcos3x ⇔ sin3x + cos3x – 2sin3xcos3x + 1 = 0 Âàût: t = sin3x + cos3x = 2 sin(3x + 4 pi ) ( )| t | 2≤ ⇒ sin3xcos3x = 2t 1 2 − Ta ñược phương trình: t – (t2 – 1) + 1 = 0 ⇔ t2 – t – 2 = 0 ⇔ t = –1 ∨ t = 2 (loại) + Với t = – 1, ta có : TÀI LIỆU LUYỆN THI ðẠI HỌC K64, H2/11 - LÊ ðÌNH LÝ - ðÀ NẴNG Dð: 0906.22.2526-www.toantrunghoc.edu.vn - 60- Ths. Nguyễn Văn Bảy x k2 1 sin(x ) 34 x k22 2 = pi pi  − = − ⇔ pi  = + pi  Vậy phương trình có nghiệm là: ( ) x k2 k3 x k2 2 = pi  ∈pi  = + pi  ℤ B. BAÌI TÁÛP TỰ LUYỆN: Baìi 1. Giaíi caïc phæång trçnh: 1) x x xx 4sin ) 4 2(cos4 2cos 1 2sin 1 2 pi − =+ 2) x xx xx 2sin1 )2sin31(2cos cossin − − =+ 3) 2)sin1)(cos1( =++ xx 4) 0cossin cossin12cossin =+++++ xx xx xx Bài 2: Giải các phương trình: ( ) 3 3 2 3 3 4 4 2 3 3 1) 2sin s 2cos cos 2 2) tan (1 sin ) 1 0 13) sin (1 sin 4 ) 4 4 4) 4cos (sin 2 sin 4 1) 1 2 2 4 5) 4 sin sin3 cos3 3sin 2 6 3 2 inx os os os os os os os − = − + − + − = pi  + + = +    + + = + + + = + + x x x c x x x c x x c x x x x x c x c x x x c x x x c x