Chuyên đề bám sát nâng cao Tọa độ vectơ, đường thẳng

Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 1 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao TỌA ĐỘ VECTƠ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho có A (-2;3) , B (2;5). Đỉnh C nằm trên đường thẳng x - . Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác là I (1;2). Δ 3y = 5 • Tìm tọa độ C • Tìm toạ độ trọng tâm G, trực tâm H. CMR : G,H,I thẳng hàng. ( ) ( )c c c c c cG x ;y x-3y=5 x 5 3y C 5+3y ;y∈ ⇒ = + ⇒ 1. I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC IA=IC (1)Δ ⇔ ( ) ( )2 22 2 c cIA 10, IC = 6+3y + y 2 = − ( ) ( ) ( )2 22 2 2c c c c1 IA IC 6+3y y 2 10 y 2y 1 0⇔ = ⇔ + − = ⇔ + + = ( )c cy 1 x 2 C 2; 1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2. Trọng tâm G G 2x 2 73G G ; 7 3y 3 ⎧ =⎪⎪ ⎛ ⎞⇒⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ =⎪⎩ 3 Trực tâm ( ) ( ) ( ) JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG H H H 6 y 3 0AH BC AH . BC 0 H 4 x 2 4 y 5 0BH AC BH . AC 0 ⎧ ⎧ ⎧ − =⊥ =⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ − − − =⎪⊥ =⎪ ⎩⎪ ⎩⎩ ( )H H y 3 H 0;3 x 0 =⎧⇔ ⇒⎨ =⎩ ( ) ( ) JJG JJJJG JJG JJJJG 1 1 1IG ; 1;1 3 3 3 GH 2IG I,H,G thẳng hàng 2 2 2GH ; 1;1 3 3 3 ⎫⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⇒ = ⇒⎬⎛ ⎞ ⎪= − = −⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭ 2. Cho A (2;1) , B (3; -1) , C (-2; 3). Tìm điểm E oy∈ để ABEC là hình thang có 2 đáy AB và CE với K là giao điểm K của AC và BE . • Gọi ( )E 0;e oy∈ ABEC là hình thang có 2 đáy AB và CE ( )JJJG JJJGAB cùng phương CE *⇒ ( ) ( ) ( ) ( )JJJG JJJGAB 1;-2 , CE 2;e 3 thì * e 3 4 0 e 7 E 0; 7= = + ⇔ + + = ⇒ = − ⇒ − • ( ) JJJG JJJG JJJG JJJGAC cùng phương AKA,C,K thẳng hàngK AC BE ** B,E,K thẳng hàng BE cùng phương BK ⎧ ⎧⎪ ⎪= ∩ ⇔ ⇒⎨ ⎨⎪⎪ ⎩⎩ ( ) ( ) ( ) ( )JJJG JJJG JJJG JJJGk k k kAC 4; 4 , AK x 2;y 1 , BE 3; 6 ,BK x 3;y 1= − − = − − − − = − + Khi đó ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )K K KK K K K KK K x y 1 x 64 y 1 4 x 2 0 ** K 6;5 2x y 7 y 53 y 1 6 x 3 0 ⎧ ⎧ − = =− − + − = ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨− = =− + + − = ⎪ ⎩⎪ ⎩⎩ ⇒ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 2 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao 3. Cho 2 điểm A (-3;2) , B (4;3). a. Tìm diểm sao cho vuông tại M. M ox∈ MABΔ b. Gọi C là điểm nằm trên Oy và G là trọng tâm ABCΔ . Tìm toạ độ điểm C, biết G nằm trên Ox a. ( ) ( ) ( )JJJJG JJJJGM ox M m,0 MB 4 m;3 ,MA 3 m,2∈ ⇒ ⇒ = − = − − ( ) ( ) ( )( ) JJJJG JJJJG 2 M 4;0m 4 MAB vuông tại M MA.MB 0 4 m 3 m 6 0 m m 12 0 M 3;0m 3 ⎡=⎡Δ ⇔ = ⇔ − − − + = ⇔ − − = ⇔ ⇒ ⎢⎢ −= −⎣ ⎣ b. ( ) ( ) ( ) c G G A B C G G G A B C C C C oy C 0;y G ox G x ;0 13x x x x 3x 3 4 x 1G là trọng tâm ABC, ta có: G ;0 , C 0; 53 3y y y y 0 2 3 y 3y 5 ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⎧ ⎧= + + = − + =⎧ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞Δ ⇔ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎜ ⎟= + + = + + ⎝ ⎠⎩ ⎪ ⎪ = −⎩⎩ − 4. Cho các vectơ: ( ) ( ) ( )JG JJG JG a 2;3 , b 1; 2 , c 3; 5= − = − = − − a.Tìm các số m và n sao cho: JJG JG JG c m a n b= + J −b.Tìm vectơ sao cho: JJ JJGu G JJG JJG JJGa . x 15 và b . u 11= = a.Ta có: ( ) ( ) ( )JG JJG JG JJGm a 2m;3m ; n b n; 2n m a n b 2m n;3m 2n= − = − ⇒ + = − + − Vậy JG JG JJG -2m + n = -3 m 11 C m a n b 3m - n = -5 n 19 =⎧ ⎧= + ⇔ ⇔⎨ ⎨ =⎩ ⎩ b.Gọi ( )JJGu x;y ( ) JJG JJG JJG JJG JJGa . u 15 -2x + 3y =15 x = 3 u 3;7 x - 2y = -11 y = 7b . u 11 ⎧ = ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇔ ⇒ =⎨ ⎨ ⎨= − ⎩ ⎩⎪⎩ 5. Cho tứ giác ABCD, có ( ) ( ) ( ) ( )A 2;14 , B 4; 2 , C 5; 4 , D 5;8− − − . Tìm toạ độ giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 3 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao Gọi I (x ; y) là giao điểm 2 đường chéo AC , BD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 89xAI x 2;y - 14 , AC 7; 18 7 y-14 18 x 2 0AI cùng phương AC 22 với 10 x 4 y 2 0 17BI x 4;y 2 , BD 1;10BI cùng phương BD y 11 ⎧ =⎧ ⎪⎧ = + = − ⎧ + + =⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ − − + == − + = ⎪⎪ ⎩⎪ ⎪⎩ ⎩ = −⎪⎩ JJG JJJGJJG JJJG JJG JJJGJJG JJJG ⎪⇔ ⎨ 89 17 I ; 22 11 ⎛ ⎞⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 6. Cho tam giác ABC có A (1; -1) , B (5; -3) và C oy∈ , trọng tâm G của tam giác ở trên ox . Xác định tọa độ C và G . Gọi G (x ;0) , C (0; y) Trung điểm I của AB ⇒ ( ) I 3; -2 Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) JJG JJG - 3 = 3 x - 3 G 2 ; 0x = 2 IC = 3 IG y + 2 = 3 0 + 2 C 0 ; 4y = 4 ⎧ ⎧⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪⎩⎩ ⎩ 7. Cho A (1;2) , B (3; -1) và hình vuông ABCD theo chiều dương . Tìm tọa độ đỉnh C,D. ( ) ( ) ( ) (JJJG JJJG JJJG JJJJG CD CD x 6x 4AD = AB AB 2; 3 mà AD 3,2 D 4;4 và DC = AB C 6;1 y 1y 4AD AB == ⎧⎧⎧= − ⇒ = ⇒ ⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ==⊥⎩ ⎩ ⎩ ) 8. Trong mặt phẳng xOy cho đường thẳng (d) : 2x y 2 0− + = và 2 điểm A (4;6) , B (0; -4) . Tìm trên đường thẳng (d) điểm M sao cho vectơ : có độ dài nhỏ nhất. JJJJG JJJJG AM BM + Gọi ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0M x ;y d : 2x y 2 0 y 2x 2 M x ;2x 2∈ − + = ⇒ = + ⇒ + ( ) ( ) ( ) JJJJG JJJJG JJJJG JJJJG 0 0 0 0 0 0 AM x 4;y 6 Ta có: AM BM 2x 4 ; 2y 2 BM x ;y 4 ⎧ = − −⎪ ⇒ + = − −⎨ = +⎪⎩ ( ) ( )JJJJG JJJJG 2 2 20 0 0 0AM BM = 2x 4 2y 2 20x 32x 20⇒ + − + − = − + Cách 1: Đặt ( ) ( )0 0 2 0 0 0 0x x 4f = 20x 32x 20 có f' 40x 32 0 x 5 − + = − = ⇔ = 0x 4 + 5 −∞ ∞ ( )0xf ' 0 +− ( )0xf −∞ +∞ ( )0 0 0x 36 4 18 min f tại x y 5 5 5 = ⇒ =⇒ = 36 5 Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 4 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao Vậy 4 18 36 6 5M ; thì độ dài AM BM đạt giá trị nhỏ nhất 5 5 5 5 ⎛ ⎞ + = =⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJJG JJJJG Cách 2: ( )0 2 2 2 0 0 0 0 0x 8 4 9 36 36 6 5f 20x 32x 20 20 x x 1 20 x AM BM 5 5 25 5 5 5 ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + = − + = − + ≥ ⇒ + ≥ =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦ JJJJG JJJJG Khi 0 0 0 4 4 18x = 0 x y M ; 5 5 5 ⎛ ⎞− ⇔ = ⇒ = ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 4 18 5 5 Cách 3: ( ) ( )0 0 2 0 0 0 5x x 0 b 32 4f 20x 32x 20 là hàm số bậc 2, có hệ số a = 5 > 0 nên min f x x = 2a 20 5 18 4 18y M ; 5 5 5 = − + ⇔ = = − = ⎛ ⎞⇒ = ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ BÀI TẬP: • Trong mặt phẳng với hệ tọa độ trực chuẩn , cho: A(1;6) , B(-3; -4) và đường thẳng ( ): 2x- y- 1 = 0 Δ Tìm điểm M trên ( sao cho vectơ )Δ AM BM+JJJJG JJJJG có độ dài nhỏ nhất. • Cho ( ) ( ) ( ): 2x + y + 1 = 0 , M 0;3 , N 1;5Δ Tìm ( )I sao cho IM + IN min∈Δ Tìm J sao cho JM - JN max∈Δ 9. a) Cho A (2;2) , B (5; -2) . Tìm trên trục hoành điểm C để ABCΔ vuông b) Tìm trên trục hoành điểm A , cách B (2; -3) , một khoảng bằng 5 c) Tìm trên trục tung điểm C cách điểm D (-8; 13) một khoảng bằng 17 d) Tìm điểm M trên trục tung cách đều 2 điềm A (-1; 3) và B (1; 4) a. Gọi ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0C x ;0 ox AC x 2; 2 , BC x 5;2 , AB 3; 4∈ ⇒ = − − = − = −JJJG JJJG JJJG ™ 2 ABC vuông tại A AB AC AB . AC 0 C ;0 3 ⎛ ⎞Δ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ ⎜ ⎟⎝ ⎠− JJJG JJJG ™ 22 ABC vuông tại B AB BC AB.BC 0 C ;0 3 ⎛ ⎞Δ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ ⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG JJJG ™ ( ) ( ABC vuông tại C CA CB AC . CB = 0 C 1;0 , C 6;0Δ ⇔ ⊥ ⇔ ⇔ )JJJG JJJG b. Gọi ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0A x ;0 ox AB = 2 - x ; 3 , AB 5 2 - x 3 5∈ ⇒ − = ⇔ + − =JJJG ( ) ( )0 0 x 2 v x 6 A - 2;0 , A 6;0⇔ = − = ⇒ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 5 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao 0 ) + − c. Gọi ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0 0C 0;y oy : CD 8;13 y , CD = 17 13 y 8 17 y 2 v y 28 ∈ = − − ⇔ − + − = ⇒ = − =JJJG ( ) ( C 0; -2 , C 0;28⇒ d. Gọi ( ) ( ) ( ) ( )2 222 2 20 0 0M 0;y Oy . Khi đó MA = MB MA MB -1 3 y 1 4 y ∈ ⇔ = ⇔ + − = 0 7 7 y M 0; 2 2 ⎛ ⎞⇒ = ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 10. Cho điểm A (4;2) . Tìm tọa độ điểm B sao cho c. OAB là tam giác đều , ( ) oOA;OB = 60JJJG JJJG d. OAB là tam giác cân , ( ) oOA;OB = 45JJJG JJJG a. Ta có ( ) ( ) oo otg + tg 60tg Ox;OA tg + 60 1 - tg . tg 60α= α = α ( )1 1tg = tg Ox;OA = 2 2 - 3 α ⇒ + 2 3 Từ đó 0 0 1 + 2 3 1 2 3OB : y = x B x ; x 2 - 3 2 3 ⎛ ⎞ ⎛ +⇒⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜ −⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎠ Khi đó ( )2 22 20 0 01 + 2 3OA OB x + x = 20 x = 2 - 32 - 3 ⎛ ⎞= ⇔ ⇔⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ Vì ( )0 0y > 0 x = 2 - 3 B 2 - 3 ; 1 2 3⇒ ⇒ + b. Tương tự ( ) ( ) ( )oo otg + tg 45tg Ox;OB tg 45 3 OB : y = 3x1 - tg . tg 45α= α+ = = ⇒α (AB) đi qua A và vuông góc OA nên (AB) có phương trình : ( ) ( )4 x 4 2 y 2 0 2x y 10 0− + − = ⇔ + − = B là giao điểm OB và AB nên ( )y 3xB B 2x y 10 0 =⎧ ⇒⎨ + − =⎩ 2;6 = (Trong câu 2 , học sinh viết (AB) theo phương pháp hình học lớp 10) 11.Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm B(2;1) , C(6;1) a) Tìm điểm A(x;y) (x > 0; y > 0) sao cho tam giác ABC đều b) Tìm A’ đối xứng với A qua C c) Tìm tọa độ điểm D sao cho AD 3BD 4CD 0− +JJJG JJJG JJJG d) Tìm điểm M sao cho tứ giác ABCM là hình bình hành . Xác định tâm của nó. Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 6 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao a. Tam giác ABC đều ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 22 2 2 x = 4x 2 y 1 4AB BC A 4;1+2 3 AC BC y = 1 + 2 3x 6 y 1 4 ⎧ − + − = ⎧⎧ = ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨= ⎪− + − =⎩ ⎩⎪⎩ b. A’ đối xứng A qua C là trung điểm C (6;1)⇔ A A' c A' A A' A' c x + xx = x = 82A' y + y y = 1 - 2 3y = 2 ⎧⎪ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨⎪⎪ ⎩⎪⎩ c. ( ) ( ) ( )AD = x - 4; y - 1 - 2 3 , BD = x - 2; y - 1 , CD = x - 6; y - 1JJJG JJJG JJJG AD - 3BD + 4CD = 0 x = 11 , y = -1 - 3⇔JJJG JJJG JJJG d. ABCM là hình bình hành ( ) ( AM = BC , AM = x - 4; y - 1 - 2 2 , BC = 4;0⇔ JJJJG JJJG JJJJG JJJG ) . Vậy AM = BC x = 8 , y = 1 + 2 3⇔JJJJG JJJG Gọi I là tâm hình bình hành ABCM khi I là trung điểm AC A C I A C I x + x x = = 5 2 y + yy = = 1 + 3 2 ⎧⎪⎪⇔ ⎨⎪⎪⎩ ( ) I 5; 1 + 3⇒ 12. a) Cho A (3;0) và C (-4;1) là 2 đỉnh đối nhau của hình vuông . Tìm 2 đỉnh còn lại . b) Cho A (2;-1) và B (-1;3) là 2 đỉnh liên tiếp của hình vuông . Tìm 2 đỉnh còn lại . a. Gọi 1 1I ; 2 2 ⎛ −⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ là trung điểm AC, gọi ( )B a;b . Ta có: 2 2 BI AC BI . AC = 0 (Tính chất hình vuông) (I)1 1BI = AC BI = AC2 4 ⎧⊥⎧⎪ ⎪⇒⎨ ⎨⎪ ⎪⎩ ⎩ JJG JJJG ( )1 1BI = a + ; b - , AC = -7; 1 2 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ JJG JJJG Từ ( ) 2 2 2 2 1 1-7 a + + b - = 0 2 2 a = 0 , y = 4a + a = 0 (I) a = -1 , b = -3 b = 7a + 41 1 1a + + b - = 5 2 2 2 4 ⎧ ⎛ ⎞⎜ ⎟⎪ ⎧⎝ ⎠ ⎡⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎢⎣⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎩⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⇔ ) Vậy B(0;4) hoặc B(-1;-3) , D(0;4) hoặc D(-1;-3) b. Gọi C (c;d) là đỉnh đối diện A. Ta có : 2 2AB = BCAB = BC (II) AB BC AB . BC = 0 ⎧⎧ ⎪⇔⎨ ⎨⊥⎩ ⎪⎩ JJJG JJJG ( ) (AB = -3;4 , BC = c + 1; d - 3JJJG JJJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 7 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 C 3;6c = 3, d = 6c + 1 + d - 3 = 25(II) C 5;0c = -5, d = 0-3 c + 1 + 4 d - 3 = 0 ⎧ ⎧⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ −⎪⎩⎪ ⎩⎩ ⇒ ⎨ Vì ABCD là hình vuông AD = BC JJJG JJJG ™ C (3;6): ( )( ) BC = 4;3 x - 2 = 4 D (6;2 y + 1 = 3AD = x - 2; y + 1 ⎫ ⎧⎪ ⇒ ⇒⎬ ⎨⎩⎪⎭ JJJG JJJG ) ) ™ C(-5;0): ( )( ) ( ) BC = -4; -3 x - 2 = -4 D -2; -4 y + 1 = -3AD = x - 2; y +1 ⎫ ⎧⎪ ⇒ ⇒⎬ ⎨⎩⎪⎭ JJJG JJJG Vậy C (3;6) , D(6;2) hoặc C(-5;6) , D(-2; -4) 13. a) Cho có các đỉnh A(2;6) , B(-3; -4) , C(5;0) . Xác định tọa độ chân đường phân giác AD ABCΔ b) Trong mp Oxy cho có A(5;4) , B(-1;1) , C(3; -2) , M là điểm di động thỏa . Xác định để ABCΔ ( 2 2 MA + MB = 0 + > 0α β α βJJJJG JJJJG G MA + MCJJJJG JJJJG nhỏ nhất. a. ( ) ( ) ( )2 2 22AB = -5 + -10 = 5 5 , AC = 3 + -6 = 3 5 BD AB 5 5 = = DB = - DC DC AC 3 3 ⇒ JJJG JJJG , D chia BC theo tỉ k = 5 3 − (Xem kỹ các bài sau) Vậy D D 5-3 + . 5 3x = = 251 + 33 D 2; - 5 2 - 4 + . 0 33y = = -5 21 + 3 ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⇒⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎪⎪⎩ b. + Nếu 0 thì AB = - MA M nằm trên AB + Nếu 0 thì AB = MB α β⎧ β ≠⎪ β⎪ ⇒⎨ α β⎪ α ≠⎪ α⎩ JJJG JJJJG JJJG JJJJG Gọi I là trung điểm AC thì MA + MC = 2MI MA + MB⇒JJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG nhỏ nhất khi 2MIJJJG nhỏ nhất . Do I cố định nên MI nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên AB. M M M M x - 5 y - 4AM // AB = x - 2y + 3 = 0 -6 -3 ⇔ ⇒JJJJG JJJG ( )( ) M MIM AB IM . AB = 0 , I 4;1 2x + y - 9 = 0⊥ ⇒ ⇔JJJG JJJG JJJG JJJG Vậy ( )M M M M M M x - 2y + 3 = 0 x = 3 M 3;3 2x + y - 9 = 0 y = 3 ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎩⎩ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 8 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao 14. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh BC, AC, AB lần lượt là M(2;4), N(-3;0), P(2;1) a) Tìm tọa độ đỉnh của tam giác ABC b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC, chứng minh G cũng là trọng tâm của tam giác MNP . a. Ta có: A A A A x - 2 = -3 - 2 x = - 3 PA = MN ; A(-3;3) , B(7;5) , C(-3;3) y - 1 = 0 - 4 y = - 3 ⎧ ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨⎩ ⎩ JJJG JJJJG b. Gọi M là trung điểm BC. Ta có: ( ) ( )( )00 2 - -3 = 3 2 - x 1 5AM = 3GM G ; 4 - (-3) = 3 4 - y 3 3 ⎧⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇒⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩ JJJJG JJJJG GM + GN + GP = 0 JJJJG JJJG JJJG ⇒ G là trọng tâm MNPΔ 15. Cho 3 điểm A(2;3) , B(-1; -1) , C(6;0) a) Chứng tỏ tam giác ABC cân b) Tính diện tích tam giác ABC. a. Ta có: AB = 5 , AC = 5 , BC = 5 2 cân tại A ABC⇒ Δ b. Gọi H là trung điểm BC B C H B C H x + x 5x = = 5 12 2 AH BC H H ; - y + y 2 21y = = - 2 2 ⎧⎪⎪ ⎛ ⎞⇒ ⊥ ⇒ ⇒⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩ 5 2 1 25 AH = S = BC . AH = 2 2 ⇒ ⇒ 2 (đvdt). 16. Cho 3 điểm A(1;-2) , B(2;3) , C(-1;-2) a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng b) Tìm điểm D trên Oy sao cho ABCD là hình thang có cạnh đáy là AD. Tìm giao điểm I của 2 đường chéo. a. Ta có: AB = (1;5) -2 0 AB 1 5AC = (-2;0) ⎧⎪ ⇒ ≠ ⇒⎨⎪⎩ JJJG JJJG JJJG không cùng phương AC JJJG Do đó A, B, C không thẳng hàng b. ( ) ( ) ( )0 0D 0;y Oy . CB = 3;5 , AD = -1;y + 2∈ JJJG JJJG ™ ABCD là hình thang có đáy AD AD⇔ JJJG cùng phương CDJJJG ( )0 0 11 11 3 y + 2 - (-1) . 5 = 0 y = - D 0; -3 3⎛ ⎞⇔ ⇒ ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ™ Gọi I(a;b) là giao điểm 2 đường chéo AC và BD. Ta có: ( ) ( )20AC = (-2;0) , AI = a - 1; b+2 , BD = -2; - , BI = a - 2; b - 3 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG JJG JJJG JJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 9 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao I là giao điểm AC và BD AC cùng phương AIA, I, C: thẳng hàng B, I, D: thẳng hàng BD cùng phương BI ⎧⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨⎩ ⎪⎩ JJJG JJG JJJG JJG ( ) ( ) ( ) ( ) 1-2 b + 2 - 0 a - 1 = 0 a = 1 I ; -2220 22 b - 3 + a - 2 = 0 b = -23 ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩⎩ ⇒ ⇔ 17. Cho 4 điểm A(-2; -3) , B(4; -1) , C(2;1) , D(-1;0) a) Chứng minh ABCD là hình thang b) Tìm giao điểm của AB với Ox c) Tìm điểm M trên đường thẳng CD, biết . Khi đó ABMD là hình gì ? My = 2 d) Tìm giao điểm của AC và BD. a. cùng phương hay ABCD là hình thang AB = (6;2) AB = 2DC AB , CD DC = (3;1) ⎧⎪ ⇒ ⇒⎨⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG b. cùng phương ( )0(AB) Ox = N x ;0 AN∩ JJJG ABJJJG với ( ) ( )0AN = x + 2; 3 , AB = 6;2JJJG JJJG ( ) ( )0 0AN AB 2 x + 2 - 3 . 6 = 0 x = 7 N 7;0↑↑ ⇔ ⇔ ⇒JJJG JJJG c. cùng phương CD với ( )M CD CM∈ ⇔ JJJJG ( ) ( )CM = x - 2; 1 , CD = -3; -1JJJJG JJJG ( ) ( )JJJJG JJJGx - 2 1 = x = 5 M 5;2 DM = 6;2 = AB ABCD -3 -1 ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ là hình bình hành d. Tương tự trên 2 1I ; - 3 3 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 18. Cho biết A(1;1) , B(-3; -2) , C(0;1) ABCΔ a) Tìm tọa độ trực tâm H của ABCΔ b) Tìm tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ A. a. Gọi H(x;y) là trực tâm AH . BC = 0 ABC (I) BH . AC = 0 ⎧⎪Δ ⇔ ⎨⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG ( ) ( ) ( ) ( )AH = x - 1; y - 1 , BH = x + 3; y + 2 , BC = 3;3 ; AC = -1;0JJJG JJJG JJJG JJJG . Khi đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 x - 1 + 3 y - 1 = 0 x = -3 (I) H -3;5 x + 3 = 0 y = 5 ⎧ ⎧⎪⇔ ⇔⎨ ⎨−⎪ ⎩⎩ ⇒ b. Gọi A’(a;b) là chân đường cao AA’ AA' . BC = 0 (II) BA' cùng phương BC ⎧⎪⇔ ⎨⎪⎩ JJJJG JJJG JJJJG JJJG ( ) ( ) ( )AA' a - 1; b - 1 , BA' = a + 3; b + 2 , BC = 3;3JJJJG JJJJG JJJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 10 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao Khi đó ( ) ( ) ( ) ( ) 1a = 3 a - 1 + 3 b - 1 = 0 1 32(II) A' ; 3 b + 2 - 3 a + 3 = 0 3 2b = 2 ⎧⎪⎧⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩ ⎪⎪⎩ 2 ⇒ 19. Cho , biết A(4;6) , B(-4;0) , C(-1;-4) ABCΔ a) Tìm tọa độ trực tâm H , trọng tâm G , tâm I và bán kính R đường tròn ngoại tiếp ABCΔ b) Kẻ đường cao AD. Tìm tọa độ D. c) Tìm độ dài trung tuyến BE. a. ™ H (x;y) là toạ độ trực tâm H của ABCΔ , ta có: AH BC AH . BC = 0 (I) BH AC BH . AC = 0 ⎧⊥⎧ ⎪⇔⎨ ⎨⊥⎩ ⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG Mà ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) JJJG JJJG JJJG JJJGAH = x - 4; y - 6 BH = x + 4; y 3 x - 4 - 4 y - 6 = 0 x = -4 , và (I) 5 x + 4 - 10y = 0 y = 0BC = 3; -4 AC = -5; -10 ⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨ −⎪ ⎩⎩⎪⎪ ⎩⎩ ⎨ ( ) H -4; 0 , H B ABC vuông tại B⇒ ≡ ⇒ Δ ™ Trọng tâm G: A B C G A B C G x + x + x 1x = = - 1 23 3 G ; y + y + y 3 32y = = 3 3 ⎧⎪⎪ ⎛ ⎞⇒ −⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩ ™ Tọa độ tâm I(a;b) của đường tròn ngoại tiếp ABCΔ là giao điểm của 2 đường trung trực. Gọi M , N lần lượt là trung điểm AB , BC ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )M A B N B C M A B N B C 1 1x = x + x = 0 x = x + x 52 2 , M 0;3 , N ; -2 1 1y = y + y = 3 y = y + y 2 2 ⎧ ⎧⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇒ −⎨ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎩ 2 Theo bài toán ta có: ( )MI = a; b - 3MI AB MI . AB = 0 (II) mà 5NI BC NI = a + ; b + 2NI . BC = 0 2 ⎧ ⎧⎧⊥⎪ ⎪ ⎪⇔⎨ ⎨ ⎨ ⎛ ⎞⊥ ⎪⎪ ⎪ ⎜ ⎟⎩ ⎝ ⎠⎩⎩ JJJGJJJG JJJG JJGJJG JJJG ( ) ( ) ( ) ( ) JJJG JJJG 4a + 3 b - 3 = 0 3a = 3AB = -8; -6 , BC = 3; -4 . Vậy (II) I ;125 23 a + - 4 b + 2 = 0 b = 12 ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔⎨ ⎨⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎪ ⎪⎩⎝ ⎠⎩ ⇒ ™ Do vuông tại B nên ABCΔ 1 5R = AC = 2 2 5 b. Gọi D là tọa độ chân đường cao thì: làm tương tự trên AD BD AD CD ⊥⎧⎨ ⊥⎩ Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 11 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2x - 16 = 0x - 4 x + 4 + y y - 6 = 0AD . BD = 0 3x - 4 x + 1 + y + 4 y - 6 = 0 y = 3 + xAD . CD = 0 4 ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪⎩⎩⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG ( ) ( ) ( ) x = -4 , y = 0 , B -4; 0 D B= -4;0 x = 4 , y = 6 , A 4; 6 ⎡⇒ ⇒⎢⎣ ≡ Cách khác: Do vuông tại B , nên D B ABCΔ ≡ c. E là trung điểm BC nên 3E ;1 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , E I≡ , 11 5 2BE = ; 1 BE = = R 2 2 ⎛ ⎞ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG Chú ý: Học sinh làm lại bài này nếu thay tọa độ A, B, C là: A(2;2) , B(-5;1) , C(3;-5) 20. Trong mp xOy cho điểm A(2;1). Tìm tọa độ điểm B biết rằng đường thẳng AB cắt Oy tại C chia đoạn AB theo tỉ số 2 3 và đường thẳng AB cắt Ox tại D chia đoạn AB theo tỉ số 3 4 − . Gọi C(0;e) , ta có: Oy∈ JJJG JJJG BA AC B 22 - . xx - k.xCA 2 3= x = 0 = x = 323 1 - kCB 1 - 3 ⇒ ⇔ ⇒ ( ) A BD By - kyDA 3 4 4D d;0 Ox = - y = y = - B 3; -4 1 - k 3DB ⎛ ⎞∈ ⇒ ⇔ ⇒ ⎜ ⎟⎝ ⎠ JJJG JJJG 3 21. Cho 3 điểm A(-3;6) , B(1;-2) , C(6;3) a) Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ chân đường cao A’ xuất phát từ A. c) Tính tọa độ trọng tâm G, trực tâm H và tâm I đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Có nhận xét gì về điểm G, H, I ? a. và ( ) ( ) AB = 4; -8 AC = 9; -3 ⎧⎪⎨⎪⎩ JJJG JJJG 4 -8 9 -3 ≠ ⇒ A, B, C không thẳng hàng, hay chúng là 3 đỉnh của 1 tam giác b. vì ( ) ( ) BC = 5;5 BA' = a - 1;b + 2 , A'(a;b) ⎧⎪⎨⎪⎩ JJJG JJJJG ( ) ( ) a - 1 b + 2 = BC // BA' a = 3 A'(3;05 5 b = 0AA' . BC = 0 a + 3 5 + b - 6 5 = 0 ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨⎩⎪ ⎪⎩⎩ JJJG JJJJG JJJJG JJJG )⇒ c. ( ) ( )( ) ( ) HH H HH H x = 25 x + 3 + 5 y - 6 = 0AH BC AH . BC = 0 H(2;1) y = 19 x - 1 - 3 . y + 2 = 0BH AC BH . AC = 0 ⎧ ⎧ ⎧⊥ ⎧⎪ ⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨⊥ ⎪ ⎩⎪ ⎩⎪ ⎩⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 12 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao A B C G A B C G x + x + x 4x = = 4 73 3 G ; y + y + y 3 37y = = 3 3 ⎧⎪⎪ ⎛⇒⎨ ⎜⎝ ⎠⎪⎪⎩ ⎞⎟ . I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Δ ⇒ IA = IB = IC 2 2 I 2 2 I x = 1IA = IB I(1;3) y = 3IA = IC ⎧ ⎧⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨⎩⎩ . Ta lại có: IH = (1; -2) IG // IH1 2 1 1IG = ; - = (1; -2) = IH 3 3 3 3 ⎧⎪ ⇒⎨ ⎛ ⎞⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ JJJG JJG JJJGJJG JJJG hay G, H, I thẳng hàng. 22. Trong mp Oxy cho điểm A(0;4) và đường thẳng y = 8 . Tìm trên đường thẳng y = 0 điểm ( )BB x ;0 và trên đường thẳng y = 8 điểm sao cho AB = AC và tam giác ABC có diện tích bằng 24. ( CC x ;8) Với ( ) ( ) ( ) ( ) 2 B B 2 2 B C B C2 C C B x ;0 y = 0 AB = x + 16 AB = AC x - x = 0. AB = x ; -4 , AC = x ;4 C x ;8 y = 8 AC = x + 16 ⎧⎧ ∈⎪ ⎪⇒ ⇒ ⇔⎨ ⎨∈⎪ ⎪⎩ ⎩ JJJG JJJG B B C C x - 41 S = = 24 x + x = 24 x 4 2 ⇒ ⇔ Vậy ta có: 2 2 B BB C B C C C x = 6 x = -6x - x = 0 B(6;0) B'(-6;0) v v x + x = 24 x = 6 x = -6 C(6;8) C'(-6;8) ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎩ ⎩⎩ ⎩⎩ ⎨ 23. Cho 2 điểm M(1;1) , N(7;5) và đường thẳng (d): x + y – 8 = 0. a) Tìm điểm sao cho cân đỉnh P. P (d)∈ PMNΔ b) Tìm điểm sao cho vuông đỉnh Q. Q (d)∈ QMNΔ a. ( )0 0 0 0P x ;y (d) : x + y - 8 = 0∈ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 20 0 0 0 PMN cân đỉnh P PM = PN x - 1 + y - 1 = x - 7 + y - 5Δ ⇔ ⇔ 2 Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 2 00 0 0 0 x + y - 8 = 0 x = 2 P(2;6) y = 6x - 1 + y - 1 = x - 7 + y - 5 ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇒⎨ ⎨⎩⎪⎩ b. ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1Q x ;y (d) : x + y - 8 = 0. QM = 1 - x ;1 - y ,QN = 7 - x ;5 - y∈ JJJJG JJJG QMNΔ vuông đỉnh Q ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 QM QN 1 - x 7 - x + 1 - y 5 - y = 0⇔ ⊥ ⇔JJJJG JJJG Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 13 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao Ta có hệ: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 11 1 1 1 x + y - 8 = 0 x = 7 Q(7;1) y = 11 - x 7 - x + 1 - y 5 - y = 0 ⎧ ⎧⎪ ⇔ ⇒⎨ ⎨⎪ ⎩⎩ 24. Trong mp Oxy cho 3 điểm A(3;5) , B(1;2) , C(5;1) . a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tìm chân đường cao A’ của AA’ b) Xác định tọa độ tâm I đường tròn ngoại tiếp ABCΔ . Chứng minh G, H, I thẳng hàng . a. * Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: A B C G A B C G x + x + xx = = 3 83G G 3; y + y + y 38y = = 3 3 ⎧⎪⎪ ⎛ ⎞⇒⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎪⎩ ) ) * H(x;y) là tọa độ trực tâm của tam giác ABC với: ( ) ( ( ) ( AH = x - 3;y - 5 , BC = 4; -1 BH = x - 1;y - 2 , AC = 2; -4 ⎧⎪⎨⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG thỏa ( ) ( ) ( ) ( ) 17x = 4 x - 3 + y - 5 ( 1) = 0AH BC AH . BC = 0 17 197 H ; 19 7 72 x - 1 + y - 2 ( 4) = 0BH BC BH . AC = 0 y = 7 ⎧⎪⎧⎧ ⎧ −⊥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⊥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎩ ⎪⎩ JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG * A’(x;y) là chân đường cao AA’ khi: AA' BC (*) BC cùng phương BA' ⎧ ⊥⎪⎨⎪⎩ JJJJG JJJG JJJG JJJJG với: ( ) ( ) ( )AA' = x - 3;y - 5 , BC = 4; -1 , BA' = x - 1;y - 2JJJJG JJJG JJJJG (*) ( ) ( ) ( ) ( ) 37x = 4 x - 3 - y - 5 = 0AA' . BC = 0 4x - y - 7 = 0 37 997 A' ; x + 4y - 9 = 0 99 7 74 y - 2 + x - 1 = 0BC BA' y = 7 ⎧⎪⎧⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠↑↑ ⎩⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎩ ⎪⎩ JJJJG JJJG JJJG JJJJG b. * I(x;y) là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 23x = x - 3 + y - 5 = x - 1 + y - 2IA = IB 23 377 I ; 37 7 14IA = IC x - 3 + y - 5 = x - 5 + y - 1 y = 14 ⎧⎧ ⎪⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎪⎩ ⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ * ( ) ( ) ( ) ( ) JJJJG JJJJG JJJJG JJJJGJJG 8 17 19 23 37G 3; , H ; , I ; 3 7 7 7 14 4 1 1 1GH = - ; = - 12; - 1 - 12; - 17 21 21 GH 2 221 = = - GH = - HI 1 3 36 1 1 HI 12; -1 HI = ; - = 12; -1 147 14 14 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎫⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎪ ⇒ ⇒⎬⎛ ⎞ ⎪⎜ ⎟ ⎪⎝ ⎠ ⎭ G và cùng phương hay G, H, I thẳng hàng JJJJG GH⇒ JJGHI Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 14 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao 25. Trong mp Oxy cho biết A(3;1) , B(1; -3). Trọng tâm G của ABCΔ ABCΔ nằm trên Ox. Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích bằng 3. ABCΔ * G(x;0) , G là trọng tâm Ox∈ ABCΔ ( ) ( )M M2 AG = AM 3AG = 2AM 2AG = 3AM , AG = x - 3; -1 , AM = x - 3;y - 13⇔ ⇔ ⇔ JJJG JJJJG JJJG JJJJG ( ) ( ) ( ) ( ) ( )MM M M 3x = x - 13 x - 3 = 2 x - 3 3 122AG = 3AM M x - 1 ; 1 23 = 2 y - 1 y = - 2 ⎧⎧ ⎪⎪ ⎪ ⎛ ⎞⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎜ ⎟− ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎪⎩ JJJG JJJJG 2 − *Mặt khác M là trung điểm BC: ( ) ( ) B C C M C B C C C M x + x 1 + x3x = x - 1 = x = 3x - 42 2 2 C 3x - 4; 2 y + y -3 + y y = 21y = = 2 2 2 ⎧ ⎧⎪ ⎪ ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨⎩⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎩ ( ) (CA = 7 - 3x; -1 , CB = 5 - 3x; -5JJJG JJJG ) ( ) ( ) ( )JJJG JJJG ABC 1S = 3 3 = det CA;CB 6 = -5 7 - 3x + 5 - 3x 2x - 5 = 1 x = 3 v x = 22Δ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ Vậy C(2;2) v C(3;2) 26. có diện tích = 3. A(3;1) , B(1; -3) ABCΔ a) Tìm C biết C Oy∈ C(0; -2) , (0; -8)→ b) Tìm C biết trọng tâm G Oy∈ C(5;2) , (2;2)→ 27. Cho 2 điểm A(3; -2) , B(4;3) . Hoành độ điểm M trên trục hoành sao cho tam giác MAB vuông tại M . Gọi M(x;0) trên trục hoành, ta có: ( ) ( )AM = x - 3; 2 và BM = x - 4; - 3JJJJG JJJJG Tam giác AMB vuông tại M ( ) ( ) 2 AM . BM = 0 x - 3 x - 4 - 6 = 0 x - 7x + 5 = 0 x = 1 v x = 6⇔ ⇔ ⇔ ⇔JJJJG JJJJG 28. Cho hình thoi ABCD biết A(3;1) , B(-2;4) và giao điểm I của 2 đường chéo nằm trên Ox. Hãy xác định tọa độ điểm C và D. Gọi ( ) ( ) ( )0 0I x ;0 Ox AI = x - 3; -1 , BI = x + 2; -4∈ ⇒ JJG JJG 0 . I là giao điểm 2 đường chéo hình thoi ( ) ( ) ( ) ( AI BI x - 3 x + 2 + (-1)(-4) = 0 x = -1 , x = 2 I -1;0 hoặc I' 2;0⇔ ⊥ ⇔ ⇔ ⇒JJG JJG ) Nguyễn Phú Khánh – ĐàLạt 15 Chuyên Đề Bám Sát Nâng Cao ) * ( ) ( ) ( ) C I A C I A D I B D I B x = 2x - x = -5 I là trung điểm AC C -5; -1 y = 2y - y = -1 I 1;0 x = 2x - x = 0 I là trung điểm BD D 0; -4 y = 2y - y = -4 ⎧ ⎧⇔ ⇒⎪ ⎨⎪ ⎩− ⎨ ⎧⎪ ⇔ ⇒⎨⎪ ⎩⎩ * ( ) ( ) (I 2;0 C 1; -1 , D 6; -4⇒ 29. a) Tìm diện tích hình thoi biết cạnh dài là 5 10 và 2 đỉnh đối diện là ( ) (A 3; -4 , C 1;2) b) Tìm đường cao hình thoi biết cạnh dài là 5 2 , 2 đỉnh đối diện là B (4;9) , D (-2;1) a. ( ) 2 2AC = -2;6 AC = (-2) + 6 = 2 10⇒JJJG . Theo tính chất hình thoi , 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường ( ) ( )2 22 2 2 AI = 10 và BI = BA - AI = 5 10 - 10 = 240