Chuyên đề Bất đẳng thức

Chuyên đề 5: BẤT ĐẲNG THỨC TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Số thực dương, số thực âm: • Nếu x là số thực dương, ta ký hiệu x > 0 • Nếu x là số thực âm, ta ký hiệu x < 0 • Nếu x là số thực dương hoặc x= 0, ta nói x là số thực không âm, ký hiệu 0≥x • Nếu x là số thực âm hoặc x= 0, ta nói x là số thực không dương, ký hiệu 0≤x Chú ý: • Phủ định của mệnh đề "a > 0" là mệnh đề " 0≤a " • Phủ định của mệnh đề "a < 0" là mệnh đề " " 0≥a II. Khái niệm bất đẳng thức: 1. Định nghĩa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b nếu a-b là một số dương, tức là a-b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b> ⇔ − > • Nếu a>b hoặc a=b, ta viết . Ta có: ba ≥ 0b-a ≥⇔≥ ba 2. Định nghĩa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B≥ " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B≤ được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : • Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. • Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng III. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c >⎧ ⇒ >⎨ >⎩ 2. Tính chất 2: a b a c b c> ⇔ + > + Hệ quả 1: a b a c b c> ⇔ − > − Hệ quả 2: a c b a b c+ > ⇔ > − 3. Tính chất 3: a b a c b d c d >⎧ ⇒ + > +⎨ >⎩ 4. Tính chất 4: nếu c > 0 nếu c < 0 ac bc a b ac bc >⎧> ⇔ ⎨ <⎩ Hệ quả 3: a b a b> ⇔ − < − Hệ quả 4: nếu c > 0 nếu c < 0 a b c ca b a b c c ⎧ >⎪⎪> ⇔ ⎨⎪ <⎪⎩ 19 5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d > >⎧ ⇒ >⎨ > >⎩ 6. Tính chất 6: 1 10 0a b a b > > ⇔ < < 7. Tính chất 7: nn baNnba >⇒∈>> *,0 8. Tính chất 8: n baNnba >⇒∈>> n *,0 Hệ quả 5: Nếu a và b là hai số dương thì : 22 baba >⇔> Nếu a và b là hai số không âm thì : 22 baba ≥⇔≥ IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trị tuyệt đối : 1. Định nghĩa: nếu x 0 ( x ) nếu x < 0 ≥⎧= ∈⎨−⎩ x x R x 2. Tính chất : 2 20 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤ 3. Với mọi ta có : Rba ∈, • a b a b+ ≤ + • a b a b− ≤ + • . 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥ • . 0a b a b a b− = + ⇔ ≤ V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì : • a > 0, b > 0, c > 0 • b c a b c− < < + • c a b c a− < < + • a b c a b− < < + • a b c A B C> > ⇔ > > VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Cho hai số không âm a; b ta có : 2 a b ab+ ≥ 20 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b Cho ba số không âm a; b; c ta có : 3 3 + + ≥a b c abc Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c Tổng quát : Cho n số không âm a1,a2,...an ta có : 1 2 1 2 ... . ...n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức : Ta thường sử dụng các phương pháp sau 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví dụ: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. với mọi số thực a,b,c 2 2 2a b c ab bc ca+ + ≥ + + 2. với mọi a,b 2 2 1a b ab a b+ + ≥ + + 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: a) Cho hai số dương a và b thoả mãn 3a 2b 1+ = . Chứng minh: 1ab 24 ≤ b) Cho hai số dương a và b thoả mãn ab 1= . Chứng minh: 4a 9b 12+ ≥ Ví dụ 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 4 5=+ yx . Chứng minh rằng: 5 4 14 ≥+ xx Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: x y y z z x 8 y z z x x y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ Ví dụ 4: Cho ba số dương a, b, c . Chứng minh rằng : 9≥++++++++ c cba b cba a cba Ví dụ 5: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3b c c a a b a b c a b c + + ++ + ≥ + + + ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM GTLN & GTNN CỦA MỘT HÀM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y (x 2)(3 x)= + − với 2 x 3− ≤ ≤ Ví dụ 2: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn xyz 1= . Tìm GTNN của biểu thức P (x 1)(y 1)(z 1)= + + + Ví dụ 3: Tìm GTNN của các hàm số a) y x 5 x 3= + + − b) y x 1 x 2 2x 5= + + − + − Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2S 10x 5y 10xy 10x 14= + − − + với x, y∈\ ------------------------------------Hết----------------------------------- 21 TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN ĐỀ SỐ 1: Câu 1: Giátrị nhỏ nhất của hàm số 2 1y 2x , x 0 x = + > là (A) 3 (B) 1 (C) 2 2 (D) 33 3 Câu 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 1y 3x , x 0 x = + > là (A) 2 2 (B) 1 (C) 4 (D) 33 4 Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số 5y x , x 2 x 2 = + >− là (A) 2 1+ (B) 2 1− (C) 5 2 2− (D) 5 2+ Câu 4: Giá trị nhỏ nhất của hàm số x 3y x , x 1 x 1 += + >+ − là (A) 2 2 5+ (B) 2 2 5− (C) 2 2 (D) 2 2− Câu 5: Giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2S 4 5x 2y 2xy 8x 2y= − − + + + với là x, y∈\ (A) (B) 9− 1 9 (C) 1 9 − (D) 9 ---------------------------Hết------------------------- 22