Chuyên đề Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng

Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 1 MỤC LỤC MỤC LỤC ............................................................................................................. 1 MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 2 NỘI DUNG............................................................................................................ 3 I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT.................................... 4 II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi........................................................ 9 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong c/m các BĐT có điều kiện............. 9 2. Kỹ thuật tách-ghép Côsi............................................................ 13 III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min .............................. 15 KẾT LUẬN.......................................................................................................... 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................... 21 Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 2 MỞ ĐẦU Bất đẳng thức là một trong những nội rất hay nhưng khá khó của Toán học. Nó thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà Toán học lớn, và cũng từ đó nhiều bất đẳng thức hay gắn liền với tên tuổi của những nhà Toán học nổi tiếng được ra đời như BĐT Bunhiacopski, BĐT Becnuli, BĐT Schur,Trong đó nổi bật hơn cả mà chúng không thể không nhắc đến, đó là bất đẳng thức Cauchy (Côsi), bởi vì BĐT Côsi là một bất đẳng thức đơn giản, gần gủi nhưng lại là một bất đẳng thức mạnh và có sự ứng dụng rộng rãi trong Toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học tự nhiên khác. Trong chương trình Toán học phổ thông, vấn đề bất đẳng thức được xem là một nội dung hóc búa nhất. Khi nghiên cứu, tìm hiểu và học tập nội dung này hầu hết chúng ta đều e ngại và không thật sự cảm thấy thích thú với nó. Tuy nhiên, bài toán bất đẳng thức lại là một bài toán hầu như góp mặt đầy đủ trong các kì thi HSG cũng như trong các kì thi tuyển sinh Đại học. Như thế, chẳng lẽ khi gặp một bài toán BĐT trong một kì thi nào đó chúng ta lại bỏ qua và dễ dàng đầu hàng nó hay sao? Để giúp cho người học có cái nhìn thiện cảm và không còn e ngại vấn đề này nhiều toán học cũng như những người làm toán đã nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo và hình thành nên những phương pháp chứng minh bất đẳng thức. Khi nghiên cứu và khai thác BĐT Côsi, tôi thấy tâm đắc với hai kỹ thuật chứng minh BĐT đặc sắc, đó là kĩ thuật “chọn điểm rơi” và kỹ thuật “tách-ghép Côsi”. Với hai kỹ thuật này chúng ta có thể vận dụng để chứng minh được rất nhiều bất đẳng thức mà thoạt nhìn chúng ta sẽ tưởng rất khó khăn. Với mong muốn trao đổi kiến thức chuyên môn cũng như kinh nghiệm học toán và dạy toán cùng đồng nghiệp, trong chuyên đề “Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng” này, tôi trình bày chi tiết hai kỹ thuật chứng minh trên và thể hiện một cách cụ thể hai kỹ thuật đó qua các ví dụ và bài toán. Hy vọng đây là một tài liệu chuyên môn có giá trị. Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 3 NỘI DUNG  Trước hết ta nhắc lại bất đẳng thức (BĐT) Côsi cho hai số không âm: Định lý 1: Cho hai số thực không âm a và b, ta có: 2 2 a b ab  (1) Đẳng thức xảy ra a b  (Việc chứng minh BĐT này là khá đơn giản). BĐT (1) còn có nhiều cách biểu diễn khác như sau: 2 2 2 2 2 2 2 (2) ( ) (3) 2 (4) 2 a b ab a ba b a bab             BĐT Côsi cho ba số không âm: Định lí 2: Với ba số thực không âm a, b và c ta có: 3 (5) 3 a b c abc   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  Chứng minh: Chứng minh (5) có nhiều cách. Sau đây là một số cách chứng minh sáng tạo Cách 1: Sử dụng BĐT cho hai cặp số không âm ( , )a b và 3( , )c abc ta được: 3 3 3 3 3 3 2 2 4 . 4 3 3 3 a b c abc ab c abc ab c abc abc a b c abc a b c abc                   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  Cách 2: Trước hết ta chứng minh BĐT Côsi cho bốn số a, b, c, d không âm. Ta có 4 ( ) ( ) 2 ( )( ) 2 2 .2 4 a b c d a b c d a b c d ab cd abcd             4 (*) 4 a b c d abcd    Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c d   Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 4 Bây giờ, ta đặt 3 a b cd   . Ta có 4 4 4 4 3 3 4 3 3 4( ) 4 3 3 3 3 3 3 3 3 a b c a b ca b c abc a b c a b c a b c a b cabc abc a b c a b c a b c a b cabc abc abc                                            Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c   Tổng quát: Cho n số thực không âm 1 2, ,..., .na a a Ta có 1 2 1 2... (6)n n n a a a a a a n        Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 2 na a a      . (BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n).  Một số chú ý khi sử dụng BĐT Côsi: i) Khi áp dụng BĐT Côsi thì các số phải không âm. ii) BĐT Côsi thường được áp dụng khi trong bất đẳng thức cần chứng minh có tổng và tích. iii) Điều kiện xảy ra dấu “=” là các số bằng nhau. SAU ĐÂY CHÚNG TA XÉT MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA BĐT CÔSI I. Ứng dụng của BĐT Côsi trong chứng minh BĐT.  Ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh: ( )( 1) 4a b ab ab   Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: 2 1 2 a b ab ab ab       . Suy ra ( )( 1) 2 .2 4a b ab ab ab ab    . Đẳng thức xảy ra 1. 1 a b a b ab        Ví dụ 2: Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh: 1 1( ) 4.a b a b        Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số không âm ta có: 2 1 1 2 a b ab a b ab         . Suy ra 1 1 2( ) 2 . 4a b ab a b ab         . Đẳng thức xảy ra .a b  Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 5 Nhận xét: BĐT sau còn được viết lại dưới dạng sau: 1 1 4 (I) a b a b    hoặc 1 1 1 1 (I') 4a b a b       . Các BĐT này có rất nhiều ứng dụng trong việc chứng minh các BĐT. Sau đây chúng ta xét một số ứng dụng đó:  Bài toán 1.1: Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c            Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 1 4 4 4 2 ( )p a p b p a p b p a b c             Tương tự, ta cũng có: 1 1 4 p b p c a     và 1 1 4 p c p a b      Cộng các BĐT này vế theo vế, ta được: 1 1 1 1 1 12 4 1 1 1 1 1 12 p a p b p c a b c p a p b p c a b c                            Đẳng thức xảy ra 1 1 1 a b c p a p b p c            đều (đpcm).  Bài toán 1.2: Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 3 3 3 2 2 2a b b c c a a b c a b c a b c               Giải. Áp dụng BĐT (I) ta có: 1 1 4 2 3 2 2 4 2 2a b a b c a b c a b c           Tương tự, ta có: 1 1 2 3 2 2b c a b c a b c        và 1 1 2 3 2 2c a a b c a b c        Cộng ba BĐT trên ta có đpcm.  Bài toán 1.3: Cho , , 0.x y z  Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4x y z x y z x y z x y z                Giải. Áp dụng BĐT (I’) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 ( ) ( ) 4 16x y z x y x z x y x z x y z                       Tương tự ta có: 1 1 1 2 1 2 16x y z x y z          và 1 1 1 1 2 2 16x y z x y z          Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 6 Cộng các BĐT này ta được: Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .x y z   Bài toán 1.4: Cho a, b dương và 1.a b  Chứng minh: 2 2 1 1 1 3 a b a b     Giải. Ta có 2 21 1 1 1 1 1( 2) 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 a bVT a b a a b b a b a b                        Mặt khác, theo BĐT (I’) ta có: 1 1 4 4 1 1 2 3a b a b        Do đó, 4 11 3 3 VT      Đẳng thức xảy ra 1 2 a b   (đpcm).  Ví dụ 3: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 1 1 1( ) 9.a b c a b c          Giải. Áp dụng BĐT cho ba số dương ta có: 3 3 3 3 3 1 1 1 1( ) 3 .3 91 1 1 13 a b c abc a b c abc a b c abc a b c abc                     Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b c  Nhận xét: BĐT trên còn được viết lại dưới các dạng sau: 1 1 1 9 (II) a b c a b c      hoặc 1 1 1 1 1 (II') 9a b c a b c         . Từ các BĐT (I) và (II) ta có thể tổng quát thành BĐT sau: “Cho n số thực dương 1 2, ,..., .na a a Ta có 2 1 2 1 2 1 1 1 (III) n n n a a a a a a             . Đẳng thức xảy ra 1 2 .na a a      ” Bất đẳng thức (III) được sử dụng nhiều trong các bài toán chứng minh BĐT. Sau đây là một số ứng dụng của nó.  Bài toán 1.5: Cho ba số thực dương , , .a b c Chứng minh rằng: 3 2 a b c b c c a a b       1 1 1 1 4 4 4 2 2 2 16 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 7 Chú thích: BĐT này có tên gọi là BĐT Nesbit cho ba số dương. Có nhiều cách để chứng minh BĐT này, sau đây là một số cách Cm có sử dụng BĐT Côsi. Cách 1: Biến đổi vế trái của BĐT cần chứng minh như sau:   1 1 1 3 1 1 1( ) 3 1 1 1 1( ) ( ) ( ) 3 2 a b cVT b c c a a b a b c b c c a a b a b b c c a b c c a a b                                                  Do đó áp dụng BĐT (II) cho ba số , ,a b b c c a   ta có 1 39 3 2 2 VT     Đẳng thức xảy ra .a b b c c a a b c        BĐT được chứng minh. Cách 2: Đặt , ,X b c Y c a Z a b      . Lúc đó ta có: o 1 ( ) 2 a b c X Y Z     o ; ; 2 2 2 Y Z X Z X Y X Y Za b c        Do đó 1 3 2 X Y Z X Z YVT Y X X Z Y Z                          . Mà theo BĐT Côsi ta có 2, , 0.x y x y y x     Suy ra 1 3(2 2 2 3) 2 2 VT      (đpcm).  Bài toán 1.6: Cho , , 0a b c  và 1.a b c   Chứng minh rằng: 3 1 1 1 4 a b c a b c        Giải. Ta có 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 1 1 1 1 a b cVT a b c a b c                      Áp dụng BĐT (II) ta có: 1 1 1 9 9 1 1 1 3 4a b c a b c            Do đó 9 33 4 4 VT     Đẳng thức xảy ra khi 1 3 a b c    Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát sau: “Cho n số thực dương 1 2, ,..., na a a và 1 1 n i i a   . Khi đó, ta có: 1 2 1 21 1 1 1 n n a a a n a a a n           ” Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 8 BĐT này được chứng minh theo cách của bài toán trên kết hợp với việc sử dụng BĐT (III).  Bài toán 1.7: Cho ba số dương a, b, c sao cho 2 2 2 3a b c   . Chứng minh rằng: 1 1 1 3 1 1 1 2ab bc ca       Giải. Ta có 2 2 2 3.ab bc ca a b c      Áp dụng BĐT (II), ta có: 2 2 2 1 1 1 9 9 9 3 1 1 1 3 3 3 3 2ab bc ca ab bc ca a b c                 Bất đửng thức được chứng minh.  Bài toán 1.8: Cho x, y, z là ba số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z x y z       Giải. Trước hết ta có 2 2 1 1 1( )VT x y z x y z            (Hd: Sử dụng pp véctơ) Do đó 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( ) 1 1 118( ) 80( ) 162 80 82 VT x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                                           Suy ra 82VT  . Đẳng thức xảy ra khi 1 3 x y z     Bài toán 1.9: Cho , , 0a b c  và 1.a b c   Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 1 30. a b c ab bc ca       Giải. Áp dụng BĐT (II), ta có: 1 1 1 9 . ab bc ca ab bc ca      Suy ra 2 2 2 2 2 2 1 9 1 1 1 7 VT a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca                   Mặt khác, ta có: 21 1 7( ) 21 3 3 ab bc ca a b c ab bc ca           Tiếp tục áp dụng BĐT (II), ta có: Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 2( ) 1 1 1 9 9 ( ) a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca a b c                            Do đó 9 21 30VT    . Đẳng thức xảy ra 1 3 a b c     II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi trong chứng minh BĐT. 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện.  Bài toán 2.1: Cho a, là các số dương sao cho 1.a b  Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 2 1 2 a b  , b) 4 4 1 8 a b  , c) 8 8 1 128 a b  Giải. Các BĐT này có thể chứng minh như sau: a) Áp dụng BĐT (2), ta có: 2 2 2 ( ) 1 2 2 a ba b    b) Áp dụng BĐT (2) hai lần liên tiếp, ta có: 22 2 2 2 4 4 ( ) ( ) 12 2 2 8 a b a ba b          c) Áp dụng BĐT ở b), ta có:   2 24 4 8 8 1 18 2 2 128 a b a b          Nhận xét:  Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng quát sau: “Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 2 n n na b   , với mọi *n ” BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n.  Nếu thay giả thiết 1a b  bằng giả thiết a b   , ta có các BĐT sau: a’) 2 2 2 2 a b   b’) 4 4 4 8 a b   c’) 8 8 8 128 a b   Và, ta cũng có BĐT tổng quát sau: 2 2 2 2 12 n n n na b      Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trường hợp số mũ của a và b là số chẵn. Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa 1a b  , ta hãy xét các BĐT sau: a) 3 3 1 4 a b  b) 5 5 1 16 a b  c) 9 9 1 256 a b  Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 10 Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .a b Do đó nếu 1a b  thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi 1 2 a b  . Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau: a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 13 . 2 2 4 1 3 14 ( ) 6. 2 4 21 1 13 . 2 2 4 1 12 2 4 a a a b a b b b a b                                                       Đẳng thức xảy ra 1 2 a b    b) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 5 5 5 5 4 5 5 4 5 5 5 5 5 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 15 . 2 2 2 2 2 1 18. 5( ) 2 21 1 1 1 15 . 2 2 2 2 2 1 1 18. 10. 2 2 2 2 a a a b a b b b a b a b                                                                                                              1 16 Đẳng thức xảy ra 1 2 a b   . c) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 99 8 9 9 8 8 9 9 99 8 9 8 9 9 9 9 9 9 9 1 1 19 . 2 2 2 1 116. 9( ) 2 21 1 19 . 2 2 2 1 1 1 116. 18. 2 2 2 2 256 ht ht a a a b a b b b a b a b                                                                                              Đẳng thức xảy ra 1 2 a b    Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 11 Tổng quát: Ta có bài toán sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a b   . Khi đó ta có *1 1 ( ) . Hay , . 2 2 n n n n n n n n a ba b a b n          Đẳng thức xảy ra 2 a b    ” Chứng minh. 1 1 ( 1) 1 ( 1) . 2 2 2 2( 1). ( ) 2 2 . 2 2 2 2( 1). 2 . 2 2 nn n n n n n ht n n nn n n n ht n n n n n a na a b n n a b b nb a b n n a                                                                                                      12 2 2 n n n nb           Bây giờ ta thử tăng thêm một biến ở vế trái. Khi đó với , , 0; .a b c a b c     Ta hãy xét cá BĐT sau: a) 2 2 2a b c A   b) 3 3 3a b c B   c) n n na b c N   Với kĩ thuật tương tự như trên ta hoàn toàn có thể chỉ ra được 2 3 1 3 9 3 n n A B N               Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn: Bài toán: Cho k số thực dương 1 2, ,..., ka a a thỏa 1 2 .ka a a       Chứng minh rằng: 1 2 1 n n n n k na a a k         . Hay 1 2 1 2 nn n n k na a a a a a k k                  với mọi *.n Đẳng thức xảy ra khi nào? Chứng minh. Áp dụng BĐT Côsi, ta có: Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 12 1 1 1 ( 1) 1 2 2 ( 1) 1 ( 1) . . . n n n n n ht n n n n n ht n n n n k k n ht a na k k k a na k k k a na k k k                                                                                                           1 1 1 1 2 1 1 1 ( 1). . ( 1). n nk k n i i i i n n n nk k n n n n n i i k n i i a k n n a k k a k n kn a a a a k k k k k                                                             Hay *1 2 1 2 , . n nn n n k ka a a a a a n k k k                          (IV) Đẳng thức xảy ra 1 2 ka a a k         . BĐT (IV) được sử dụng rất nhiều trong chứng minh các BĐT. 2. Kĩ thuật tách-ghép Côsi.  Bài toán 2.2: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a c         Giải. Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 2 2 2 . 4 4 a b c a b c a b c b c         Tương tự, ta có: 2 2 & . 4 4 b c a c a bb c c a a b         Cộng các BĐT trên ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a b c a b c b c c a a c a b c a b c b c c a a c                     Đẳng thức xảy ra .a b c   Nhận xét:  Trong bài toán trên, tại sao chúng ta lại ghép 2 ? 4 a b c b c    Mục đích của việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì VP của BĐT là một biểu thức Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 13 không chứa biến ở mẫu. Nhưng tại sao lại ghép 2a b c với 4 b c chứ không phải là hay 2 b cb c  ,điều này xuất phát từ điều kiện để BĐT xảy ra đó là .a b c   Nếu 1abc  thì 3a b c   nên BĐT trở thành 2 2 2 3 2 a b c b c c a a c        Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng minh BĐT.  Bài toán 2.3: Cho , , 0 & 1.a b c abc  Chứng minh rằng 3 3 3 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 a b c a b b c c a          Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có: 3 3 3 1 1 1 1 33 ( 1)( 1) 8 8 ( 1)( 1) 8 8 4 a a b a a b a a b a b             Tương tự ta có: 3 1 1 3 ( 1)( 1) 8 8 4 b b c b b c        và 3 1 1 3 ( 1)( 1) 8 8 4 c c a c c a        Cộng ba BĐT ta được: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4 2( ) 3 2.3 3 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4 4 a b c a b c a b c a b b c c a a b c a b c abc a b b c c a                                Đẳng thức xảy ra .a b c    Bài toán 2.4: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 4 4 4 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c         Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta cho bốn số dương ta có: 4 4 4 2 2 4 2 ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 a b b c a a b b c a a b c a b c a             Tương tự, ta có: 4 4 4 2 2 4 4 4 2 2 4 2 ; ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 4 2 . ( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4 b c c a b b c c a b b c a b c a b c a a b c c a a b c c a b c a b c                         Cộng các BĐT trên ta được: 2( ) 2 2 a b c a b cVT a b c a b c VT            Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 14 4 4 4 2 2 2Hay ( ) ( ) ( ) 2 a b c a b c b c a c a b a b c         . Đẳng thức xảy ra .a b c    Bài toán 2.5: Cho , , 0x y z  và 1xyz  . Chứng minh rằng: 3 3 3x y z x y z     Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm, ta có: 3 331 1 3. 3x x x    . Tương tự ta có: 3 3 3 3331 1 3. 3 & 1 1 3. 3y y y z z z        Cộng các BĐT này ta được: 3 3 3 6 3( )x y z x y z      Mặt khác: 33 3 2( ) 6x y z xyz x y z        Do đó 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3( ) 6 2( ) . x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z                       Đẳng thức xảy ra 1.x y z    Nhận xét:  Xuất phát từ 33x x nên ta áp dụng BĐT Côsi cho ba số có dạng 3x a a  . Do đẳng thức xảy ra khi 1x y z   nên 1.a   Tổng quát, ta có bài toán sau: “Cho k số thực 1 2, ,..., ka a a không âm và có tích bằng 1. Chứng minh rằng: 1 2 1 2 , . m m m n n n k ka a a a a a m n               ” Giải. Với mỗi 1,i k . Ta áp dụng BĐT Côsi cho m số, gồm n số mia và ( )m n số 1, ta có: ( ) ( ) 1 1 .m m m mn nmi i i i i m nn na m n a a m a m a                  . Cho i chạy từ 1 đến k rồi lấy tổng hai vế các BĐT đó, ta được: 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )( ) m m m n n n n n n k k kn a a a k m n n a a a m n a a a                       Mà 1 2 1 2 1 2. ... ( )( ) ( ) n n n n n n n n nk k k ka a a k a a a k m n a a a m n k                Do đó 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( )m m m n n nk k m m m n n n k k n a a a n a a a a a a a a a                         Đẳng thức xảy ra 1 2 1.ka a a       BĐT được chứng minh.  Bài toán 2.6: Cho a, b và c là ba số dương sao cho 1abc  . Chứng minh rằng: Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 15 1 1 1 27 1 1 1 8 a b c a b c                        Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho hai số dương ta có: 1 1 1 1 34 1 3 3 3 1 2 4 4 2 a a a a a aa           . Tương tự ta có: 1 3 1 3& 1 2 1 2 b b c c b c       . Nhân các BĐT này vế theo vế, ta được: 1 1 1 27 27 1 1 1 8 8 a b c abc a b c                         Đẳng thức xảy ra 1.a b c    BĐT được chứng minh. III. Ứng dụng của BĐT Côsi trong bài toán Max-Min.  Bài toán 3.1: Cho ba số dương x, y, z thỏa 1.x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1A x y z x y z       Giải. Theo BĐT Côsi ta có: 1 1 1 1 11 1 9 8 1 1 1 8 9 x y z x y z x y z x y z                        Và 1 2 1 2 1 2, , 9 3 9 3 9 3 x y z x y z        Từ đó ta có: 1 1 1 8 1 1 1 2 2 2 8 10 9 9 9 9 3 3 3 A x y z x y z x y z                                  Đẳng thức xảy ra 1 3 x y z    Vậy min 10A  đạt được khi 1 3 x y z     Bài toán 3.2: Cho ba số dương x, y, z thỏa 1.xyz  Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 3 3 3 3 31 1 1x y y z z xP xy yz zx          Giải. Áp dụng BĐT Cối cho ba số dương ta có: 3 3 3 3 3 33 1 31 3 3 x yx y x y xy xy xy         . Tương tự, ta có: 3 3 3 31 3 1 3, y z z x yz zxyz zx       Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 16 Cộng các BĐT trên ta được: 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 33 3 3. x y y z z xP xy yz zx xy yz zx xy yz zx xyz                  Đẳng thức xảy ra 1.x y z    Vậy min 3 3P  đạt được khi 1.x y z    Bài toán 3.3: Cho ba số , ,x y z thỏa 0.x y z   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 3 4 3 4 3 4x y zA       Giải. Ta có 84 43 4 1 1 1 4 4 4 3 4 4 4 2 4x x x x x x          Tương tự ta có: 8 83 4 2 4 , 3 4 2 4y y z