Chuyên đề bất phương trình căn thức

BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC _ Nhìn chung các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ cũng tương tự như phương trình vô tỷ. Tuy nhiên, trong một số trường hợp cũng có điểm khác biệt. _ Giải bất phương trình vô tỷ là một trong những bài toán không có công thức giải tổng quát, không có qui trình mang tính chất thuật toán. _ Việc phân ra thành các phương pháp giải riêng biệt chỉ mang tính chất tương đối, tùy quan điểm từng người làm toán. _ Mỗi bất phương trình có thể giải bằng nhiều phương pháp khác nhau nên người làm toán cần cân nhắc nên giải theo phương pháp nào cho hiệu quả. Mặt khác, có những bất phương trình không phải phương pháp nào cũng giải được, nó có những nét đặc thù riêng nên người làm toán cần phải linh hoạt trong việc tìm ra phương pháp giải. I)Phương pháp biến đổi tương đương : 1) 2) Bài 1. Giải bất phương trình : > x – 5 G: Bpt Bµi 2: Gi¶i BPT: a) §S: x≥1/4 b) §K - BiÕn ®«Ø bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng - KÕt hîp §K ta cã nghiÖm cña BPT lµ . c) . §K: - Thùc hiÖn phÐp nh©n liªn hîp ta thu ®­îc BPT . - KÕt hîp §K thu ®­îc nghiÖm C¸ch 2: - XÐt 2 TH: Víi Víi Bài 3: (KD-2002) Giải bất phương trình Giải: Bpt Bài 4: a)(Dự bị 2002) Giải bất phương trình Giải: ĐK: x≥3 Kết hợp Đk ta được 3≤x≤4. b) (CĐ KT 2002) . ĐS: c) (CĐ điều dưỡng 2004) . ĐS:4≤x≤5 d) (ĐH Hùng Vương 2004) . ĐS:x≤-3 e) (CĐ KTKT Thái Bình 2004) . ĐS: x=-1; 1≤x≤3 Bài 5: a) Giải bất phương trình: + 2 (*) Giải. Đk: . nếu x < 1: (*) + 2 đúng. . nếu x = 1: (*) đúng. . nếu x = 4: không thỏa mãn (*). . nếu x > 4: (*) + 2 vô nghiệm. Vậy nghiệm của (*) là x (; 1] b) Đk: Ta có x=1 là nghiệm của bpt Với x<1 : Ta có : Suy ra x < 1 bpt vô nghiệm . +) Xét : Ta có : Suy ra : , bất pt luôn đúng . Vậy nghiệm của bpt là : c) Điều kiện: Nhận xét x = 3 là nghiệm của bpt : +) Xét : : +) Xét : Suy ra : là nghiệm của bpt . Kết luận : Nghiệm của bpt đã cho là : Đk:: Khi đó : Vậy nghiệm của bpt là : e) Kết luận : g) Đk: Nhận xét : x = 0 là nghiệm của bpt +) Xét : Kết luận : II. Đặt ẩn phụ (hữu tỉ hóa, lượng giác hóa): Bài 1: Giải bất phương trình + 2 3x + 4 (*) Giải. (*) – 3x + 11 + 2 – 15 0 Đặt t = ... ĐS : Bài 2 : Giải bất phương trình x + < x (1) trong đoạn [0; 1] Giải. Trong đoạn [0; 1], cả hai vế không âm nên: (1) 1 + 2x < (1 – ) (2) Đặt t = x, 0 t  ; (2) trở thành: – 2t – 1 > 0 so sánh với điều kiện 0 t ta thấy phương trình đã cho vô nghiệm. Bài 3 : Giải bất phương trình ( + 1) + ( + 1) + 3x > 0 (1) Giải. TXĐ: x – 1 _ nếu x 0: VT 2 > 0 bất phương trình nghiệm đúng x 0 _ nếu – 1 x 0 Đặt t = , ta được: – 3t + 2 > 0 Nhận xét x [– 1; 0) t < 1 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là – 1 x Bài 4 : §K: - Víi §k ®ã - §Æt . - §S: x≤-3 hoÆc x≥1. Bài 5: Giải bpt sau : Bài giải : Đặt : ( Do Khi đó : ( do t> 0 ) Kết luận : -9 < x < 4 Bài 6 : Đk:: Đặt : Khi đó : Kết luận : Bài 7: Giải các bpt sau : Giải: 1.Đặt : Khi đó : 2.Đặt : Khi đó : 3.Đặt : Ta được : III. Phương pháp đánh giá (dùng đạo hàm): Nhận xét. Xét hàm số f(x), x D. Đặt M = , m = . f(x) có nghiệm x D M . f(x) đúng với x D m . f(x) có nghiệm x D m . f(x) đúng với x D M Bài 1 : Giải bất phương trình: + < 9 Giải. Xét f(x) = + – 9, x f ’(x) = + > 0, x >  ; f(11) = 0, < 0 f(x) < 0 x < 11 Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là x < 11. Bài 2: Giải bất phương trình: > 2 + Giải. đk: – 2 x 4 Xét f(x) = – – 2 f ’(x) 0, x (– 2; 4) f(1) = 0 f(x) > 0 4 x > 1 Bài 3:Giải bất phương trình: < 2x + 9 Giải. đk: (1) Với điều kiện đó ta có: = = 2x + 2 + Vậy bất phương trình đã cho có thể viết thành < hay x < Kết hợp với (1) ta được tập nghiệm là:[; ) \ {0} Bài 4: Giải bất phương trình + (x – 3) Giải. đk: x 1 Nhận xét: + (x – 3) + , x 1( Bunhia) Do đó + (x – 3) Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhất x = 5. Bài 5: Tìm m để bất phương trình (1) có nghiệm. Giải: Đặt . Bất phương trình trở thành:(2) (1)có nghiệm ó(2) có nghiệm t≥0 ó có ít nhất 1 điểm của ĐTHS y= với t≥0 không ở phía dưới đường thẳng y=m. Xét y= với t≥0 có t 0 + y’ - 0 + | + 0 - y Từ Bảng biến thiên ta có m≤. Bài 6: Cho bất phương trình . Tìm a để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x[-2;4]. Giải: Đặt . Bất phương trình trở thành: .(2) (1)ghiệm ó (2) có nghiệm mọi t[0;3] óđường thẳng y=a nằm trên ĐTHS y=t2-4t+10 với t[0;3] y’=2t-4; y’=0ót=2 t 0 2 3 y’ | - 0 + | y 10 7 6 Vậy m≥10. Bài 7 : Tìm m để bất pt có tập nghiệm là [-2 ;4]. ĐK -2 Đặt . YCBT ó tìm m để f(x)≤m nghiệm đúng với mọi x thuộc [-2 ;4] ó. Ta có . Ta có x -2 4 f’ - f Vậy IV. Phương pháp đồ thị: _ Giả sử phải tìm x thỏa mãn: f(x) < g(x) ta làm như sau: + Vẽ đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x) trên cùng một hệ trục tọa độ + Tìm phần đồ thị y = f(x) nằm dưới đồ thị y = g(x), chiếu lên trục Ox ta được tập nghiệm. Bài 1: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: – > m Giải. Đặt u = 0, v = 0 Ta được: Nhìn trên đồ thị ta thấy điều kiện của m là m < . Bài 2: Cho bất phương trình: – 6x + m + 2 Tìm m để tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn với độ dài l thỏa mãn: 2 l 4. Giải. Xét đồ thị hàm số y = , y 0. Ta có: có đồ thị là nửa đường tròn nằm phía trên trục hoành với tâm tại (3; 0), bán kính bằng 3. Còn đồ thị hàm y = – 6x + m + 2 là parabol có đỉnh nằm trên đường thẳng x = 3 Độ dài đoạn nghiệm l = 2 parabol đi qua điểm (2; 2) 2 = 4 – 12 + m + 2 m = 2 + 6 Độ dài đoạn nghiệm l = 4 parabol đi qua điểm (1; ) = 1 – 6 + m + 2 m = 3 + Vậy điều kiện của m là 3 + m 6 + 2 Bài 3: Tìm m để : có tập nghiệm là x Giải : Do x thuộc [ 0 ; 3] nên 2x + 1 > 0. Bất phương trình tương đương : Khảo sát hàm số f(x) = + Tập xác định : x + suy ra hàm số đồng biến trên [0;3] + Vậy để : Bài 4 :Xác định m để phương trình : có nghiệm. Giải : Xét f(x) = Tập xác định D = R. x = Lập bảng biến thiên suy ra Vậy để bất phương trình : có nghiệm minf(x) < m