Chuyên đề Các bồi dưỡng học sinh giỏi hình học lớp 7

CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC LỚP 7 CHUYÊN ĐỀ 1: GÓC TRONG TAM GIÁC Cơ sở lí thuyết Để giải tốt các bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức sau: Trong tam giác: Tổng số đô ba góc trong tam giác bằng 1800. Biết hai góc ta xác địn được góc còn lại. Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai góc trong không kề với nó. Trong tam giác cân: biết một góc ta xác định được hai góc còn lại. Trong tam giác vuông: Biết một góc nhọn, xác định được góc còn lại. Cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông có số đo bằng 300. Trong tam giác vuông cân: mỗi góc nhọn có số đo bằng 450. Trong tam giác đều: mỗi góc có số đo bằng 600. Đường phân giác của một góc chia góc đó ra hai góc có số đo bằng nhau. Hai đường phân giác của hai góc kề bù tạo thành một góc có số đo là 900. Hai đường phân giác của hai góc kề phụ tạo thành một góc có số đo là 450. Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau. Tính chất về góc so le trong, so le ngoài, đồng vị, hai góc trong cung phía, Khi giải bài toán về tính số đo góc cần chú ý: Vẽ hình chính xác, đúng với các số liệu trong đề bài để có hường chứng minh đúng. Phát hiện các tam giác đều, “nửa tam giác đều”, tam giác vuông cân, tam giác cân trong hình vẽ. Chú ý liên hệ giữa các góc của tam giác, liên hệ giữa các cạnh và các góc trong tam giác, phát hiện các cặp tam giác bằng nhau. Vẽ đường phụ hợp lí làm xuất hiệ các góc đặc biệt, những cặp góc bằng nhau. Trong các đường phụ vẽ thêm, có thể vẽ đường phân giác, đường vuông góc, tam giác đều, Có thể dùng chữ để diễn đạt mối quan hệ giữa các góc. Xét đủ các trường hợp về số đo góc có thể xảy ra (ví dụ góc nhọn, góc tù, ) (Tham khảo toán nâng cao lớp 7, tập 2 – Vũ Hữu Bình) Trong thực tế, để giải bài toán tính số đo góc ta thường xét các góc đó nằm trong mối liên hệ với các góc ở các hình đặc biệt đã nêu ở trên hoặc xét các góc tương ứng bằng nhau ... rồi suy ra kết quả. Tuy nhiên, đứng trước một bài toán không phải lúc nào cũng gặp thuận lợi, có thể đưa về các trường hợp trên ngay mà có nhiều bài đòi hỏi người đọc phải tạo ra được những "điểm sáng bất ngờ" có thể là một đường kẻ phụ, một hình vẽ phụ từ mối quan hệ giữa giả thiết, kết luận và những kiến thức, kỹ năng đã học trước đó mới giải quyết được. Chúng ta có thể xem “đường kẻ phụ”, “hình vẽ phụ” như là “chìa khoá “ thực thụ để giải quyết dạng toán này. Một số dạng toán và hướng giải quyết Dạng 1. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác đều. Bài toán 1. Cho ∆ABC có A=200 có AB=AC, lấy M∈AB sao cho MA=BC. Tính số đo AMC? Nhận xét Ta cần tìm AMC thuộc ∆ABC có A=200 mà B=C=800=200+600. Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 200 và góc 600, mặt khác MA=BC. Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiệ ở trên liên quan đến tam giác đều. Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều. Hướng giải Cách 1. (Hình 1) Vẽ ∆BDC đều (D, A cùng phía so với BC). Nối A với D. Ta có ∆ABD=∆ACD (c.c.c) => DAC=DAB=100 Lại có ∆AMC=∆CDA (c.g.c) => MCA=DAC=100 => AMC= 1800-ACM+MAC=1800-200+100=1500 Cách 2. (Hình 2) Vẽ ∆ACD đều (M, D khác phía so với AC). Ta có ∆BAC=∆ADM (c.g.c) => AMD=800 (1) => ∆MDC cân tại D, MDC=400 => DMC=700 (2) Từ (1) và (2) suy ra AMC=1500. Từ hướng giải quyết trên chúng ta thử giải Bài toán1 theo các phương án sau: Vẽ ∆ACD đều (C, D khác phía so với AB) Vẽ ∆ABD đều (B, D khác phía so với AC) Vẽ ∆AMD đều (D, C khác phia so với AB) .. Lập luận tương tự ta cũng có kết quả. Bài toán 2. Cho ∆ABC cân tại A, A=400. Đường cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho EBA=FBC=300. Tính AEF? Hướng giải Vẽ ∆ABD đều (B, D khác phía so với AC) ∆ABC cân tại A, A=400 (gt) => ABC=ACB=700 mà FBC=300 (gt) => ABF=400, BAF=400 => ∆AFB cân tại F. => AF=BF, mặt khác AD=BD, FD chung => ∆AFB=∆BFD c.c.c=> ADF=BDF=6002=300 Do AH là đường cao của tam giác cân BAC => BAE=200=FAD=600-400, AB=AD (vì ∆ABD đều), ABE=300 (gt) => ∆ABE=∆ADF (g.c.g) => AE=AF => ∆EAF cân tại A mà EAF=200 => AEF=1800-2002=800. Nhận xét Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ giả thiết 400=600-200 và mối liên hệ FA=FB được suy ra từ ∆ABE cân tại F. Với hướng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải Bài toán 2 theo các cách sau: Vẽ ∆AFD đều, F, D khác phía so với AB (H.1). Vẽ ∆BFD đều, F, D khác phía so với AB (H.2). (H.1) (H.2) Bài toán 3. (Trích toán nâng cao lớp 7 – Vũ Hữu Bình) Cho ∆ABC, B=C=450. Điểm E nằm trong ∆ sao cho EAC=ECA=150. Tính BEA? Nhận xét Xuất phát từ 150 và 750 đã biết, ta có 600=750-150 và EA=EC do ∆EAC cân tại E. Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đế việc dựng hình phụ là tam giác đều. Hướng giải Vẽ ∆AEI đều (I, B cùng phía so với AE). Ta có ∆AEC=∆AIB (c.g.c) =>IB=CE mà EI=CE (∆AEI đều) =>IB=EI => ∆EIB cân tại I. =>EIB=3600-600+1500=1500 =>IEB=150 =>BEA=BEI+IEA=750 Khai thác Chúng ta có thể giải Bài toán 3 theo cách sau: Vẽ ∆ACD đều (D, E khác phía so với AC) Một số bài toán tương tự Bài toán 3.1. Cho ∆ABC, A=1V, AB=2AC. Kẻ tia Cx//AB. Kẻ AD sao cho CAD=150, D∈Cx (B, D cùng phía so với AC). Tính ADB? Bài toán 3.2. Cho ∆ABC, A=1V, B=750, BH=2AC, H∈AB (B, H khác phía so với AC). Tính HCA? Bài toán 3.3. Cho ∆ABC AB=AC. A=α 600<α<1200. Điểm M nằm trong tam giác sao cho MAC=MCA= α-6002. Tính BMC? Bài toán 4. Cho ∆ABC, A=800, AB=AC. M là điểm nằn trong tam giác sao choMBC=100, MCB=300. Tính AMB? Nhận xét Xuất phát từ giả thiết AB=AC và liên hệ giữa góc 100 với 500 ta có 500+100=600. Từ đó nghĩ đến giải pháp dựng tam giác đều. Hướng giải Cách 1. (H.1) Vẽ ΔBDC đều (A, D cùng phía so với BC) Dễ thấy ΔBAD=ΔCAD (c.g.c) và ΔDAB=ΔCMB (g.c.g) =>BA=BM => ΔABM cân tại B, ABM=500-100=400 => AMB=700 Cách 2. (H.2) Vẽ ΔABD (D, A khác phía so với BC) => ΔABM cân tại A. Từ đó có hướng giải quyết tương tự. Bài toán 5. Cho ∆ABC, B=C=700. Kẻ tia Bx sao cho CBx=100. Trên tia Bx lấy điểm D sao cho BD=BA (A, D khác phía so với BC). Tính BCD? Nhận xét Ta thấy bài ra xuất hiện góc 700 và 100 mà 600=700-100, đồng thời với BD=BA. Điều này làm nảy sinh suy nghĩ về vẽ hình phụ là tam giác đều. Hướng giải Cách 1 Vẽ ΔBIC đều (I, A cùng phía so với BC) Ta thấy ΔBIA=ΔCIA (c.g.c) và ΔBIA=ΔBCD (c.g.c) => BCD=BIA=1800-100+BAC2=1500 Cách 2 Vẽ ∆ABE đều (E, B khác phía so với AC) Từ đây ta có cách giải quyết tương tự. Dạng 2. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền Bài toán 6. Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau. Phân tích +/ Đường cao AH, trung tuyến AM chia BAC thành ba góc bằng nhau => ∆ABM cân tại A (Đường cao đồng thời là phân giác) =>AH đồng thời là trung tuyến =>HB=HM=12BM=>HM=12MC +/ Có thể vẽ thêm đường phụ liên quan đến MAC=MAH=HAB và liên quan đến HM = HB = 12 BM = 12 MC Kẻ MK ⊥ AC tại K. Khi đó có sơ sơ đồ phân tích. AM⊥AC tại K→∆AHM=∆AKM→MK=MH→MK=12MC→C=300 →HAC=600→HAM=MAC=300→HAB=300→ BAC=900 → B=600 Hướng giải Vì MK⊥AC tại K. Xét ∆ABM có AH là đường cao ứng với BM AH là đường phân giác ứng với cạnh BM (vì BAH=HAM= 12 BAM) Nên ∆ABM cân tại đỉnh A => H là trung điểm BM =>HM=12BM=14BC Xét ∆AHM và ∆AKM có AM là cạnh huyền chung HAM=KAM (gt) => ∆AHM= ∆AKM (cạnh huyền – góc nhọn) =>HM=KM (hai cạnh tương ứng) =>KM=14BC=12MC Xét ∆MKC có MKC=900, KM = 12 MC => C=300 khi đó ta tính được B=300, A=900 Vậy B=300, A=900, C=600 Bài toán 7. Cho ∆ABC, C=300. Đường cao AH AH = 12 BC. D là trung điểm của AB. Tính ACD? Hướng giải Xét ∆AHC cóC=300, AHC=1V=>AH=12AC mà AH=12BC gt=>AC=BC => ∆ACB cân tại C => CD là phân giác => ACD=150 Nhận xét Suy nghĩ chứng minh ∆ACB cân xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ ∆AHC vuông có C=300 và AH = 12 BC. Thực sự hai yếu tố này đã giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng 300. Bài toán 8. Cho ∆ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của ∆ABC ta vẽ các tam giác đều ABD và ACE. I là trực tâm ∆ABD, H là trung điểm BC. Tính IEH? Phân tích ∆HEI là một nửa tam giác đều =>, vẽ thêm đường phụ để xuất hiện nửa tam giác đều (còn lại) => Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF Hướng giải Trên tia đối của tia HE lấy điểm F sao cho HE = HF Ta có ∆BHF=∆CHE c.g.c=>BF=CE Ta có IA = IB và AIB=1200 (vì ∆ABD đều) IAE=300+BAC+600=900+BAC Mà IBF=3600-IBA+ABC+HBF =3600-300+ABC+ECH =3600-300+ABC+ACB+600 =3600-900+1800-BAC=900+BAC => ∆IBF=∆AIE c.g.c=>IF=IE => ∆FIE cân tại I mà AIB=1200 => FIE=1200=> IEH=300 Khai thác Với cách giải này nhiều em đã phát hiện và đề xuất cách vẽ đường phụ như sau: Lấy K đối xứng với I qua H (H.1) Lấy M đối xứng với B qua I (H.2) (H.2) (H.1) Bài tập cùng dạng: Cho ∆ABC, vẽ ∆ABD, ∆ACE đều (E, D nằm ngoài tam giác). I, P lần lượt là trung điểm của AD và CE. Điểm F nằm trên BC sao cho BF = 3FC. Tính FPI? Dạng 3. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác vuông cân Bài toán 9. Cho ∆ABC, M là trung điểm của BC, BAM=300, MAC=150. Tính FPI? Phân tích Khi đọc kĩ bài toán ta thấy BAM=300, MAC=150, BM=MC, quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ Bài toán 3. Mặt khác BAC=450, điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam giác vuông cân. Hướng giải Cách 1. Hạ CK⊥AB (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK) Ta có ∆AKC vuông cân tại K (vì BAC=450) =>KA=KC Vẽ ∆ASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC) Do ∆BKC vuông tại K => KM = 12 BC = MC => ∆KMC cân tại M Dễ thấy ∆KAM=∆CSM c.g.c=> CSM=300 => ASM=600 và SAM=600 =>∆ASM đều => AS = SM = AK =>∆AKM cân tại A => MKC=MCK=900-750=150 => BCA=450-150=300 Cách 2. Lấy D đối xứng B qua AM => ∆BAD cân tại A Mà BAM=300 gt=> BAD=600=>∆ABD đều Ta có DC // MI (vì MB = MC, IB = ID), (BD∩AM=I) Mà MI⊥BD=>CD⊥BD Mặt khác xét ∆ABD có CAD=150gt, ADC=600+900=1500 =>DCA=150=> ∆ADC cân tại D => AD = CD Mà AD = BD (∆ABD đều) Vậy ∆BDC vuông cân tại D => DCB=450 =>BCA=450-DCA=450-150=300 Bài toán 10. Cho ∆ABC, A=1V, AC=3AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho AD = 2DC. Tính ADB+ACB=? Hướng giải Kẻ EK⊥AC sao cho EA = ED, E∈AD với EF = AD (B, F khác phía so với AC) Ta có ∆BAD=∆DEF (c.g.c) (*) =>BD=FD, BDF=1V=> ∆BDF vuông cân tại D => DFB=450 (1) Trên tia đối của tia AB lấy I sao cho AI = 2AB Dễ thấy ∆IBF=∆ACB (c.g.c) => ACB=IBF=EFB (2) Từ (*), (1) và (2) ta có ADB+ACB=BFD=450 Nhận xét Sau khi vẽ hình ta dự đoán ADB+ACB=450 lúc đó ta nghĩ đến việc tạo ra một tam giác vuông cân làm sao để tổng số đo của hai góc cần tìm bằng số đo góc 450. Ý nghĩ dự đoán ADB+ACB=450 xuất phát từ đâu? Phải chăng xuất phát từ ∆ABE vuông cân (E là trung điểm AD). Khi phát hiện tổng hai góc đó bằng 450 chúng ta có thể giải bài toán theo nhiều cách giải khác nhau. Bài toán 11. Cho ∆ABC vuông cân tại A, M là điểm bất kì trên đoạn AC (M khác A, C). Kẻ AF⊥BM, F∈BC. E là điểm thuộc đoạn BF sao cho EF = FC kẻ EI // BM, I∈BA. Tính AIM? Hướng giải Gọi K là giao điểm của IE và AC Xét ∆KEC có FA // EK, EF = FC (gt) => KA = AC vàK=FAC Ta có ∆ABM=∆AKI g.c.g(vì FAC=ABM) => AM = AI => ∆AIM vuông cân tại A => AIM=450 Nhận xét Đường kẻ phụ KI và KA xuất phát từ đâu? Ta thấy có hai nguyên nhân cơ bản làm nảy sinh kẻ đường phụ này: +/ Một là do IE // AF +/ Hai là EF = FC Từ đó làm xuất hiện ý nghĩ chứng minh ∆ABM=∆AKI và bài toán được giải quyết. Căn cứ vào các yếu tố giả thiết đã cho của bài toán ta có các cách vẽ hình phụ khác như sau: Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho AH = AM. Từ đó ta có cách giải quyết tương tự như trên. Dạng 4. Tính số đo góc qua việc phát hiện tam giác cân khi biết một góc. Bài toán 12. Cho ∆ABC, A=800, AC>AB. D là điểm thuộc đoạn AC sao cho DC=AB. M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC. Tính CMN? Hướng giải Trên tia đối của tia AC lấy điểm K sao cho AK = DC Nối K với B ta có ∆AKB cân tại A (vì AB = DC) => BKA=12BAC=12∙800=400 (tc góc ngoài) Mặt khác ta có MA = MD => MK = MC, BN = NC => MN là đường trung bình của ∆KBC => NMC=BKC=400 Nhận xét Vì đâu ta có kẻ đường phụ AK? +/ Thứ nhất: Ta có ∆AKB cân và biết BAC. Như vậy các góc của ∆AKB sẽ tìm được. +/ Thứ hai: Vì MA = MD dẫn đến MK = MC +/ Thứ ba: Do NB = MC Với lí do thứ hai và ba ta có được góc cần tìm bằng BKA. Vậy bài toán được giải quyết. Sau khi nêu ra các lí do cơ bản đó, ta có các đường kẻ phụ khác như sau: Lấy K đối xứng với A qua N Lấy K là trung điểm của BD Lấy K đối xứng M qua B Lấy K đối xứng D qua N Bài toán trên có thể ra dưới dạng tổng quát như sau: Giữ nguyên giả thiết và thay A=α (00<α<1800) Một số bài toán tham khảo Bài 1. Cho ∆ABC, A=600, các phân giác AD, CE cắt nhau tại F, E∈AB, D∈AC. Tính EDB? Bài 2. Cho ∆ABC, C=1000, CA = CB, điểm M nằm trong tam giác sao cho CAM=100, CBM=200. Tính AMC? Bài 3. Cho ∆ABC cân tại C, C=800, M nằm trong tam giác sao cho MAB=100, CBM=200. Tính AMC? Bài 4. Cho ∆ABC AB = AC, A= α, trung tuyến CM. trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, biết BCM=β. Tính BDC? CHUYÊN ĐỀ 2 : CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA TAM GIÁC A, Tóm tắt lý thuyết 1.Hai tam giác bằng nhau: Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau. ∆ ABC = ∆ A’B’C’ ó AB=A'B';AC=A'C';BC=B'C'A= A';B= B' ;C= C' 2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác a.Trường hợp bằng nhau thứ nhất của tam giác cạnh – cạnh – cạnh ( c.c.c ) Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB=A'B'AC=A'C'BC=B'C' ð ∆ABC = ∆ A’B’C’ (c.c.c) Nâng cao : quan hệ bằng nhau của hai tam giác có tính chất bắc cầu Nếu r ABC = r DEF; rDEF = r HIK Thì r ABC = r HIK b.Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh – góc – cạnh (c.g.c) Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. AB=A'B'B= B'BC=B'C' ð ∆ABC = ∆ A’B’C’ (c.g.c) Hệ quả : Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Nâng cao : Trong trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh, cặp góc bằng nhau phải là cặp góc xen giữa hai cặp cạnh bằng nhau. Nếu không có điều kiện đó thì hai tam giác chưa chắc đã bằng nhau. Tuy nhiên, người ta đã chứng minh được rằng : Nếu hai tam giác nhọn có hai cặp cạnh bằng nhau từng đôi một và một cặp góc tương ứng bằng nhau (không cần xen giữa) thì hai tam giác đó bằng nhau. c.Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác góc – cạnh – góc ( g.c.g ) Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. B= B'BC=B'C'C =C' ð ∆ABC = ∆ A’B’C’ ( g.c.g ) Nâng cao: Trong trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc, cặp cạnh bằng nhau phải là cặp cạnh kề với hai cặp góc bằng nhau. Nếu không có điều kiện đó thì hai tam giác chưa chắc đã bằng nhau. Tuy nhiên có thể thay điều kiện cặp cạnh kề bằng điều kiện khác như sau : Nếu hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia và có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau thì hai tam giác đó bằng nhau. d.Trường hợp bằng nhau của tam giác vuông Trường hợp 1 : hai cạnh góc vuông (cạnh – góc – cạnh) Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. Trường hợp 2 : cạnh huyền – góc nhọn (góc – cạnh - góc) Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau. A= A'=90°BC=B'C'B =B' ð ∆ABC = ∆ A’B’C’ ( cạnh huyền – góc nhọn ) Trường hợp 3 : cạnh huyền – cạnh góc vuông (cạnh – cạnh – cạnh) Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác đó bằng nhau. A= A'=90°BC=B'C'AC =A'C' ð ∆ABC = ∆ A’B’C’ ( cạnh huyền – cạnh góc vuông ) 3. Ứng dụng Chúng ta thường vận dụng các trường hợp bằng nhau của tam giác để : Chứng minh : hai tam giác bằng nhau, hai đoạn thằng bằng nhau, hai góc bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc, hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng, Tính : các độ dài đoạn thẳng, tính số đo góc, tính chu vi, diện tích, So sánh : các độ dài đoạn thẳng, so sánh các góc,. B. Các dạng bài tập Dạng 1 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Chứng minh hai góc bằng nhau dựa vào hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- cạnh – cạnh rồi suy ra hai góc tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1: Cho hai tam giác ABC có A = 400, AB = AC . Gọi M là trung điểm của BC. Tính các góc của mỗi tam giác AMB, AMC. Phân tích: Ta thấy rằng ∆ABC có AB = AC nên ∆ABC là tam giác cân và M là trung điểm của BC từ đó suy ra ∆AMB = ∆AMC theo trường hợp (c.c.c) . Cho A = 400 từ đó có thể tính được các góc còn lại dựa vào định nghĩa hai tam giác bằng nhau. Lời giải Xét ∆ AMB và ∆ AMC có : AB = AC (giả thiết) MB = MC (giả thiết) AM chung ð ∆ AMB = ∆ AMC (c.c.c) ð A1 = A2 , B = C , M1 = M2 (các góc tương ứng) Ta lại có : A1 + A2 = 400 nên A1 = A2 = 200 M1 + M2 = 1800 nên M1 = M2 = 900 Suy ra B = C = 1800 – 900 – 200 = 700 Khai thác : giả sử tam giác ABC là tam giác đều, M là trung điểm của BC Tính các góc của mỗi tam giác AMB, AMC. Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng : AM là tia phân giác của góc BAC. Phân tích : Chứng minh AM là tia phân giác của BAC thì ta cần chứng minh BAM = CAM .Muốn chứng minh hai góc này bằng nhau thì phải chứng minh rAMB = r AMC (c.c.c) Lời giải Xétr AMB và rAMC có : AB = AC (gt) AM chung MB = MC (gt) ðrAMB = r AMC (c.c.c) ð BAM = CAM Vậy AM là tia phân giác BAC (đpcm) Khai thác : c, Hãy chứng minh MN là đường trung trực của đoạn BC. b, Ba điểm A, M, N thẳng hàng. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho tam giác ABC. Vẽ cung tâm A có bán kính bằng BC, vẽ cung tâm C có bán kính bằng AB, chúng cắt nhau ở M (M và B nằm khác phía đối với AC). Chứng minh rằng AM// BC. (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 2: Cho tam giác ABC. Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với AB (D và C nằm khác phía đối với AB), AD = AB. Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc với AC (E và B nằm khác phía đối với AC), AE = AC. Biết rằng DE = BC. Tính BAC. (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 3 : Cho đoạn thẳng AB và điểm C cách đều hai điểm A và B, điểm D cách đều hai điểm A và B (C và D nằm khác phía đối với AB). a,Chứng minh rằng tia CD là tia phân giác của góc ACB. b, Kết quả ở câu a có đúng không nếu C và D nằm cùng phía đối với AB? (Trích Nâng cao và phát triển Toán 7 tập 1 – Vũ Hữu Bình) Bài 4: Cho ∆ ABC = ∆ A’B’C’ . Gọi M và M’ tương ứng là trung điểm của BC và B’C’. Biết AM = A’M’. Chứng minh rằng : a, ∆ AMB = ∆ A’M’B’ b, AMC = A'M'C' ( Bài 5 : Cho ∆ ABC. Vẽ cung tròn tâm C bán kính bằng AB, cung tròn tâm B bán kính bằng AC. Hai cung tròn trên cắt nhau tại D (A và D thuộc hai nửa mặt phẳng bờ BC) . Chứng minh CD // AB và BD // AC. ( Bài 6 : Cho góc nhọn xOy. Trên tia Ox và Oy lấy tương ứng hai điểm A và B sao cho OA = OB, vẽ đường tròn tâm A và tâm B có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm M, N nằm trong góc xOy. Chứng minh rằng : a,rOMA = r OMB và rONA = r ONB. b, Ba điểm O, M, N thẳng hàng. c, rAMN = rBMN. d, MN là tia phân giác của góc AMB. ( Bài 7 : Cho ∆ ABC có AB = AC. Gọi H là trung điểm cạnh BC. a, Chứng minh AH vuông góc với BC và là tia phân giác của góc BAC. b, Trên tia đối của HA lấy điểm K sao cho HK = HA, chứng minh rằng CK // AB. ( Bài 8 : Cho ∆ ABC có AB = AC. Gọi D và E là hai điểm trên BC sao cho BD = DE = EC. a, Chứng minh EAB = DAC. b, Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng AM là tia phân giác của góc DAE. c, Giả sử DAE = 600, có nhận xét gì về các góc của r AED. ( Bài 9 : Cho ∆ ABC, vẽ đoạn AD vuông góc với AB (C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC), AE = AC. Biết rằng DE = BC, tính BAC . ( Dạng 2 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau. Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh- góc – cạnh rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có B < 90o. Trên nửa mặt phẳng có chứa A bờ BC, vẽ tia Bx vuông góc với BC, trên tia đó lấy điểm D sao cho BD = BC. Trên nửa mặt phẳng có chứa C bờ AB, vẽ tia By vuông góc với BA, trên tia đó lấy điểm E sao cho BE = BA. Chứng minh rằng : DA = EC Phân tích: Để chứng minh DA = EC ta cần chứng minh r ABD = r EBC Lời giải: Xét r ABD và r EBC có : AB = BE ABD = EBC ( cùng bằng 900 - ABC ) BD = BC ðr ABD = r EBC ( c.g.c) ð DA = EC Khai thác : b, Chứng minh DA vuông góc với EC. Ví dụ 2: Chứng minh định lý : Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Phân tích: Để chứng minh AM = 12 BC ta phải vẽ thêm đoạn thẳng MD sao cho MD = MA, do đó AM = 12 AD. Như vậy chỉ còn phải chứng minh AD = BC. Ta cần chứng minh r ABC = rCDA từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. Lời giải : Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Xét r AMB và rDMC có: MB = MC (gt) M1 = M2 (đối đỉnh) MA = MD (do cách vẽ) ðr AMB = rDMC ( c.g.c ) ð AB = DC và A1 = D ð AB // CD ( vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Vì AC vuông góc với AB (gt) nên AC vuông góc với CD ( quan hệ giữa tính song song và vuông góc ) Xét r ABC và rCDA có: AB = CD ( chứng minh trên) A = C = 900 AC chung ð r ABC = rCDA ( c.g.c ) ð BC = AD Vì AM = 12 AD nên AM = 12 BC Khai thác : Cho r ABC, các trung tuyến BD, CE. Trên tia BD lấy điểm M, trên tia CE lấy điểm N sao cho BD = 12 BM, CE = 12 CN. Chứng minh rằng BC = 12 MN. Bài tập vận dụng: Bài 1 : Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của AC, gọi E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm M sao cho DM = DB. Trên tia đối của tia EC lấy điểm N sao cho EN = EC. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài 2 : Cho tam giác ABC có A = 500. Vẽ đoạn thẳng AI vuông góc và bằng AB ( I và C khác phía đối với AB). Vẽ đoạn thẳng AK vuông góc và bằng AC ( K và B khác phía đối với AC). Chứng minh rằng : IC = BK. IC vuông góc với BK. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7 – tập 1) Bài 3 : Tam giác ABC có A = 1000 . M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho MK = MA. Tính số đo góc ABK. Về phía ngoài của tam giác ABC, vẽ các đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB, AE vuông góc và bằng AC. Chứng minh rằng r ABK = r DAE. Chứng minh : MA vuông góc với DE. (các dạng toán và phương pháp giả Toán 7- tập 1) Bài 4 : Trên các cạnh Ox và Oy của góc xOy lấy các điểm A và B sao cho OA = OB. Tia phân giác của góc xOy cắt AB ở C. Chứng minh rằng : C là trung điểm của AB. AB vuông góc với OC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 5 : Cho tam giác ABC có A = 900, M là trung điểm của AC. Trên tia đối của MB lấy điểm K sao cho MK = MB. Chứng minh rằng : KC vuông góc với AC. AK song song với BC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 6 : Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DB lấy điểm N sao cho DN = DB. Trên tia đối của tia EC, lấy điểm M sao cho EM = EC. Chứng minh rằng A là trung điểm của MN. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 7 : Cho O là điểm thuộc đoạn thẳng AB ( không trùng haid đầu mút). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ox và Oy sao cho AOx = BOy < 900. Lấy điểm C trên tia Ox và điểm D trên tia Oy sao cho OC = OA và OD = OB. Chứng minh rằng AD = BC. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 8: Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đoạn thẳng. Lấy các điểm E trên đoạn thẳng AD, F trên đoạn thẳng BC sao cho AE = BF. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Bài 9 : Chứng minh rằng nếu hai cạnh và trung tuyến thuộc cạnh thứ ba của tam giác này bằng hai cạnh và trung tuyến của cạnh thứ ba của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau. (Nâng cao và phát triển Toán 7 – tập 1) Dạng 3 : Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc .Từ đó vận dụng để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau, các đường thẳng song song, các điểm thẳng hàng. Phương pháp: Phương pháp : chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp góc – cạnh – góc rồi suy ra hai góc, hai đoạn thẳng tương ứng bằng nhau. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC ở M, tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng BN + CM = BC. Phân tích: Gọi I là giao điểm của BM và CN. Ta có A = 600 từ đó suy ra I1 = 600, I2 = 600. Chứng minh rBIN = r BID để suy ra BN = BD(1) . Chứng minh tương tự rCIM = r CID (g.c.g) suy ra CM = CD(2) .