Chuyên đề Các dạng toán phương trình quy về bậc hai cổ điển

www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3  Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) với a+b=c+d và m ≠ 0 Cách giải: Phương trình (1) được viết lại: [x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc đó phương trình (1) được viết lại như sau: (t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t  x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120  (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120  (x2 +5x +4)(x 2 +5x+6)=120 Đặt t = x2 +5x Lúc đó phương trình được viết lại: (t+4)(t+6)=120  t2 +10t-96 =0  t=6, t=-16 Với t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6 Với t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP 1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 3. (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8 4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 5. (16(x2 -1)(x 2 +8x+15)=105 Tìm m để phương trình sau 6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 8. (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4  Dạng 2: mxax2 +bx+c + nx ax2 +dx+c =k Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau: m ax+b+ c x + n ax+d+ c x =k (2.1) Đặt t= ax+ c x lúc đó phương trình (2.1) được viết lại: m t+b + n t+d =k (2.2) Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t 1, t 2 rồi từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình ax+ c x = t 1 , ax+ c x = t 2 Ví dụ: giải phương trình 4x 4x2 -8x+7 + 3x 4x2 -10x+7 =1 (2.3) Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5 4 4x-8+ 7 x + 3 4x-10+ 7 x =1 (2.4) Đặt t = 4+ 7 x khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là 4 t-8 + 3 t-10 =1 Quy đồng mẫu thì ta có phương trình t2 -25t +144=0. Phương trình này có hai nghiệm t 1=16, t 2=9 Với t 1=16 ta có phương trình 4x+ 7 x =16  4x2 -16x +7=0  x 1 = 7 2 , x 2 = 1 2 Với t 2 =9 ta có phương trình 4x + 7 x =9  4x 2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x 1 = 7 2, x 2 = 1 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 2x 3x2 -x+1 + x 3x2 -4x+1 = 3 2 2. 2x 2x2 -5x+3 + 13x 2x2 +x+3 =6 3. 2x x2 +8x+5 + 6x x2 +x+5 =1 4. 3x x2 -4x+1 - 2x x2 +x+1 = 8 3 Cho phương trình sau 2x x2 +8x+5 + 6x x2 +x+5 =m www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6 Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau: 5. Phương trình đã cho có nghiệm 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 10. Với giá trị nào của m thì phương trình 3x x2 -4mx+1 + 2x x2 +mx+1 =1 có 4 nghiệm dương phân biệt x 1, x 2, x 3, x 4 thoả mãn x 1+x 2+x 3+x 4 = 14  Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình cùng họ hàng với dạng toán trên. 1 x2 +9x+20 + 1 x2 +11x+30 + 1 x2 +13x+42 = 1 18 (*) Giải như sau: Ta thấy (*) được viết lại: 1 (x+4)(x+5) + 1 (x+5)(x+6) + 1 (x+6)(x+7) = 1 18  1 x+4 - 1 x+5 + 1 x+5 - 1 x+6 + 1 x+6 - 1 x+7 = 1 18  1 x+4 - 1 x+7 = 1 18  x 2 +11x-26 =0  x 1= 2, x 2= -13 Tương tự giải phương trình sau: 1 x2 +3x+2 + 1 x2 +5x+6 + + 1 x2 +(2n-1)x+n 2 -n = k Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's). www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 7  Dạng 3 (x+a) 4 + (x+b) 4 =c (3) Cách giải: Đặt t= x+ a+b 2 lúc đó phương trình (3) được viết lại như sau:       t+ a-b 2 4 +       t- a-b 2 4 =c  2t4 +3(a-b) 2 t 2 + (a-b)4 8 -c=0 Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ t suy ra giá trị của x Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3) 4 = 272 Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được viết lại là: (t-1)4 +(t+1) 4 =272  t4 +6t 2 -135=0 Đặt X=t 2  0 khi đó ta có X2 +6X-135=0  X=9, X=-15<0 (loại) Khi X=9  t2 =9  t 1=3, t 2=-3  x 1= 1, x 2 = -5 Vậy phương trình có hai nghiệm là x 1=1,x 2=-5 BÀI TẬP Giải phương trình sau: 1. (x-2)4 + (x-4) 4 =2 2. (x+4)4 + (x+6) 4 =82 3. (x+3)4 + (x+5) 4 =2 Tìm m để phương trình (x+1)4 +(x+5) 4 =m 4. có nghiệm 5. có 2 nghiệm phân biệt 6. có 4 nghiệm phân biệt 7. có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x+1)4 +(x+m) 4 =82 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 8  Nhân đây tôi cũng muốn mở rộng dạng toán này thông qua ví dụ sau: Ví dụ: Giải phương trình: (x-2)6 + (x-4) 6 =64 Đặt t=x-3 khi đó phương trình viết lại như sau: (t+1)6 + (t-1) 6 =64  t 6 +15t 4 +15 2 -31=0 Đặt X=t2  0 lúc đó phương trình viết lại như sau: X3 +15X 2 +15X-31=0  (X-1)(X2 +16X+31)=0  X 1=1, X 2=-8+ 33 <0( loại) X 3=-8- 33<0(loại) Với X=1  t2 =1  t 1=1, t 2=-1  x 1=4, x 2=2 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là: x 1=4, x 2=2 Tương tự giải phương trình sau: 1. (x-1)6 +(x-2) 6 =1 2. (x+2)6 + (x+4)6 =64 3. Tìm m để phương trình (x-1)6 + (x-3) 6 =m có nghiệm NGHIỆM CỦA ĐỜI ANH Lối vào tim em như một đường hàm số Uốn vòng vèo như đồ thị hàm sin Anh tìm vào tọa độ trái tim Mở khoảng nghiệm có tình em trong đó Ôi mắt em phương trình để ngỏ Rèm mi mịn màng nghiêng một góc anpha Mái tóc em dài như định lí Bunhia Và môi em đường tròn hàm số cos Xin em đừng bảo anh là ngốc Sinh nhật em anh tặng trái cầu xoay Và đêm Noel hình chóp cụt trên tay Anh giận em cả con tim thổc thức Mãi em ơi phương trình không mẫu mực Em là nghiệm duy nhất của đời anh. Mục đích sống ở trên đời là sống có mục đích. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 9  Dạng 4: af2 (x) + bf(x)g(x) + cg2 (x) =0 (4) Với dạng này ta xét hai trường hợp: TH1: g(x)=0 , gọi x= x o là nghiệm của phương trình g(x)=0 Lúc đó nếu f(x o)=0 thì x=x o là nghiệm của phương trình (4) đã cho. Ngược lại nếu f(x o)≠ 0 thì kết luận nghiệm của phương trình g(x)=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. TH2: g(x)≠ 0, ta chia cả hai vế của phương trình (4) đã cho g(x).Khi đó ta có: a      f(x) g(x) 2 + b      f(x) g(x) +c =0 (4.1) Đặt t= f(x) g(x) khi đó phương trình (4.1) đã cho trở thành at2 +bt +c=0 (4.2) Giải phương trình này ta tìm được t Giả sử t=t o là nghiệm của phương trình (4.2) Khi đó nghiệm của phương trình (*) đã cho là nghiệm của phương trình f(x) g(x) =t o  f(x)=t og(x) Ví dụ:Giải phương trình: (x2 +6) 2 -8x(x 2 +6)+7x 2 =0 Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.Khi đó với x≠ 0 ta chia hai vế của phương trình cho x2 . Lúc đó phương trình được viết lại như sau (x2 +6) 2 x2 -8 (x2 +6) x +7=0 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 10 Đặt t= (x2 +6) x khi đó phương trình đã cho được viết lại như sau: t2 -8t+7=0  t 1=1, t 2=7 Khi t 1=1 thì ta có phương trình x 2 - x +6 =0 (Vô nghiệm) Khi t 2=7 thì ta có phương trình x 2 -7x+6 =0  x 1 =1, x 2 =6 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x 1=1, x 2 =6 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. (x+3)2 - x 2 -x+6 = 2(x-2) 2 2. 2(x2 +x+1) 2 -7(x-1) 2 =13(x 3 -1) 3. 4x + 6 x = 9 x 4. 2(x-1)2 + 3(x 2 -1)=5(x+1) 2 5. 2010 2x -3.4002 x +2.4 x =0 6. 3.16 x +2.81 x =5.36 x 7. 2.4 1 x +6 1 x =9 1 x 8. Giải và biện luận các phương trình sau: a. 2(x2 +x+1) 2 +(m-1)(x 3 -1) +(x-1) 2 =0 b. 49 x - 4.21 x +m.9 x =0 9. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt x 1, x 2 thoả mãn 2< x 1 x 2  5    2+ 5 2x +    5-2 2x + m = 0 - Không gì gần sát cái đúng bằng cái sai. (Albert Einstein's) www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 11  Dạng 5 m x+a + m x+b - m x+c - m x+d = n (5) Trong đó a+c = b+d = p và giả thiết phương trình đã cho là xác định. Vói loại này ta có phương pháp giải như sau: Đưa phương trình về dạng: m x+a - m x+c + m x+b - m x+d =n quy đồng ta được: m(c-a) x2 +px+ac + m(d-b) x2 +px+bd =n Khi đó đặt t=x2 +px ta được phương trình có dạng k t+ + h t+ =n Phương trình trên thì các bạn có thể giải được dễ dàng nhờ phương pháp quy đồng rồi từ đó có thể suy ra nghiệm của (1) Ví dụ: Giải phương trình 1 x+3 + 1 x+4 - 1 x+5 - 1 x+6= 59 420 (5.1) Theo cách làm như đã hướng dẫn ta có phương trình (5) tương đương với phương trình sau: 3 x2 +9x+18 + 1 x2 +9x+20 = 59 420 Đặt t = x2 +9x khi đó ta có phương trình sau 3 t+18 + 1 t+20 = 59 420 Giải phương trình trên ta có nghiệm là -1152 59 , 10 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 12 Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho là: 1, -10, -9 2 + 3 1121 118 , -9 2 - 3 1121 118 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 1 x+2 + 1 x+5 - 1 x+4 - 1 x+7 = 29 252 2. 4 x2 -3 + 4 x2 -5 - 4 x2 +7 - 4 x2 +9 = 43 36 3. Giải và biện luận phương trình sau: 3 x2 +1 + 3 x2 +2 - 3 x2 +3 - 3 x2 +4 =m (5.2) 4. Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt mà hai nghiệm ấy phải thuộc [-2, 2], khi nào thì (5.2) có 4 nghiệm phân biệt. - Ai đó ví người theo nghề giáo như những người chèo đò cần mẫn đưa khách sang sông. Bao thế hệ người đến rồi đi và chỉ có người lái đò ở lại... Thầy cô là thế, luôn miệt mài với công việc của mình để dìu dắt bao thế hệ trí thức, luôn sẵn sàng cho đi những gì tinh túy nhất cuộc đời mình mà không mong nhận lại điều gì... - Đừng khóc vì những gì đã mất mà hãy cười với những gì đang có. - Mọi sáng tạo và cái mới chỉ có thể tới được trên cơ sở cách nhìn nhận mới, cách nghĩ mới, không theo lối mòn cũ. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 13  Dạng 6* x4 =ax2 +bx+c (6) trong đó a, b,c là hằng số. Với dạng này ta có phương pháp giải như sau: Chọn giá trị mR sao cho m thoả mãn (2m+a)x2 +bx +c+m 2 = (x+) 2 (6.1) Thực chất để xảy ra (6.1) thì điều kiện cần và đủ là b2 -4(2m+a)(c+m 2 )=0 Từ đó giải phương trình này theo m thì ta có thể tìm được giá trị m cần tìm. Ta có x4 =ax 2 +bx+c  x4 +2mx 2 +m 2 =(2m+a)x 2 +bx +c+m 2 Với cách chọn giá trị m như trên ta có thể đưa về dạng (x2 +m) 2 = (x+) 2  (x2 -x-+m)(x 2 +x++m)=0 Đây là phương trình tích nên bạn có thể giải được dễ dàng Ví dụ: Giải phương trình: x4 =6x 2 - 37x +3 (6.2) Trước hết ta cần chọn giá trị m sao cho 37-4(2m+6)(m2 +3)=0 Phương trình này có một nghiệm thực duy nhất là m=- 5 2 Như đã trình bày trong phần cách giải (6) ta có x4 -5x 2 + 25 4 = x 2 - 37x+ 37 4        x2 - 5 2 2 =       x- 37 2 2        x2 +x- 5 2- 37 2       x2 -x+ 37 2 - 5 2 =0 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 14 , , ,  1 2 11 2 37 2   1 2 11 2 37 2  1 2 11 2 37 2  1 2 11 2 37 2 Giải phương trình tích này ta có các nghiệm là: Chú ý đối với phương trình x4 =6x 2 +bx+3 thì ta chọn giá trị m cần chọn là m= (b2 -64) 1 3 2 -1 BÀI TẬP Giải phương trình sau 1. x4 = 6x 2 + 56x+3 2. x4 =x 2 +2x- 19 5 3. Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm phân biệt x4 = 6x 2 + (8m 3 +64) x +3 (6.3) 4. Khi nào thì phương trình (6.3) có 2 nghiệm dương phân biệt nằm thuộc vào [-2, 2] - Thế giới quá rộng lớn. Những con người bé nhỏ cứ đi mãi, đi mãi trên khắp các con đường. Thế rồi tình cờ, hai trong số họ gặp nhau. Nói với nhau vài câu rồi rời đi. Giúp đỡ nhau tí chút để trở thành bạn bè. Hay nhiều hơn nữa, họ ở lại bên nhau, nương tựa, nâng đỡ tâm hồn nhau. Bao nhiêu phương án có thể xảy ra. Tôi chợt hiểu, để tìm thấy một người khiến thật tâm mình rung động, yêu thương không tính toán, trao gửi hết tất cả bí mật mới khó khăn và thiêng liêng làm sao... (Dạt vòm – Phan Hồn Nhiên) www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15 ,5 1  1 5  Dạng 7 a(ax2 +bx+c)2 +b(ax2 +bx+c) +c=x (7) Đặt t= ax2 +bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau:   ax2 +bx+c=t at2 +bt+c=x Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2 +3x-4) 2 +3(x 2 +3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2 +3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau:   x2 +3x-4=t t2 +3t-4=x (7.2) Giải hệ (7.2) bằng cách lấy phương trình thứ nhất trừ phương trình thứ hai khi đó ta có (x2 -t 2 )+4(x-t)=0  (x-t)(x+t+4)=0 Với t=x thì ta có các nghiệm là Với t=-x-4 thì các nghiệm là 0, 4 Vậy phương trình (7.1) có 4 nghiệm là 0, 4, 5-1, - 5-1 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. (x2 +4x+2) 2 +4(x 2 +4x+2)=x-2 2. (x2 -4x+3) 2 -4x 2 +15x-9=0 Cho phương trình (x2 +5x+m) 2 +5x 2 +24x+6m=0 3. Giải phương trình khi m=-12 4. Giải phương trình khi m=-22 5. Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho. 6. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt. Cho phương trình sau: www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 16 2m(2mx2 +3x+m) 2 +6mx 2 +8x+4m=0 7. Giải phương trình khi m=- 2 3 8. Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho chỉ có hai nghiệm phân biệt. 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm (x2 -2x+2) 2 +2(1-m)(x 2 -2x+2)+m 2 -2m+4=0 Yêu Toán nhất Tặng IMO-48 lần đầu tiên tổ chức tại Việt Nam 7/2007 (Tôi chỉ trích dẫn) Bạn ơi, Toán học là gì? Đó là thủ thuật, đó là tinh khôn! Là tư duy lôgic, ma lanh, Giúp cho đời những giải pháp nhanh, Rút ngắn thời gian và đầu tư công của, Để thu về cuộc sống optimal! Chính vì thế mà ta đã yêu! Yêu, yêu nhất suốt đời ta là Toán! Toán cho ta một bầu trời trí tuệ, Một kho tàng chìa khóa để tư duy. Hệ thống công thức, định lý Toán là một loài hoa, Nở rộ hàng ngày và đẹp mãi trong ta. Song đặc biệt chúng không bao giờ tàn lụi, Chỉ có đẹp thêm, đẹp thêm, tràn đầy sức sống! Nay Toán yêu của ta có thêm Tin cộng lực Dù yêu Tin, ta vẫn yêu Toán nhất trên đời! Hà Nội, 30/7/2007 - Thành công có 99% là mồ hôi và nước mắt. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17  Dạng 8: ax2 +bx+c= px2 +qx+r trong đó aq=bp≠ 0 và giả thiết biểu thức trong căn là không âm Với loại này ta có cách giải như sau: Viết phương trình đã cho dưới dạng: a.       x2 + b ax+ c a = p x 2 + q px+ r p (8.1) Khi đó đặt t = x2 + b ax= x 2 + q p x (do aq=bp≠ 0) Phương trình (8.1) được viết lại là: a p       t+ c a = t+ r p (việc giải phương trình này đã dễ dàng hơn rồi bạn nhỉ !). Tiến hành giải phương trình này ta được t rồi từ đó suy ra nghiệm x của phương trình đã cho Ví dụ Giải phương trình sau x2 -3x+2= 2x 2 -6x+28 (8.2) Đặt t= x2 -3x khi đó phương trình đã cho viết lại như sau: t+2= 2 t+14    t+20 (t+2)2 =2(t+14)  t 1=4, t 2=-6 Khi t=4 thì ta có x2 -3x =4  x 1=-1, x 2=4. Khi t=-6 thì ta có x2 -3x=-6  phương trình không có nghiệm thực. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thực là -1, 4 BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1. 2x2 -3x+2= 4x 2 -6x+28 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 18 2. x2 -7x +2= 2x 2 -14x+84 Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x 2 -21x+85 =0 3. Giải phương trình khi m=19 4. Giải và biện luận theo m nghiệm của phương trình. Cho phương trình 6x2 -12x+5= 2x 2 -4x+m (8.3) 5. Giải phương trình khi m= 85, m=2. 6. Giải phương trình khi m= 119 72 7. Tìm giá trị m để phương trình (8.3)chỉ có hai nghiệm mà hai nghiệm đó đều dương. 8. Tìm giá trị của m để phương trình (8.3) có bốn nghiệm phân biệt. - Cuộc đời làm nhà giáo là hiến dâng sức lực, trí tuệ, tài năng, sức sống cho lớp lớp học sinh. Đó là một cuộc đời nặng nhọc, mòn mỏi trái tim, là những đêm không ngủ, là những sợi tóc bạc. Đó là một cuộc sống vất vả nhất nhưng vui tươi nhất, là một sáng tạo đầy hồi hộp. Chúng ta sáng tạo ra con người và chính vì thế đó là một niềm hạnh phúc lớn lao, một hạnh phúc chân chính. Lao động của chúng ta là lao động không có gì so sánh nổi, là lao động từ năm này qua năm khác, là sự nghiệp trăm năm trồng người. Bởi vậy, nghề giáo là những nghề cao quý. Để trở thành một nhà giáo ưu tú phải có một tình yêu vô hạn đối với lao động, có năng lực chuyên môn, có tinh thần sáng khoái, có trí tuệ sáng suốt, có tâm hồn cao đẹp để những lời giảng vang lên không phải là những âm thanh trống rỗng mà chính là nguồn mạch nuôi lớn tâm hồn và trí tuệ học sinh. - Hồn tôi mãi mãi cháy bỏng, hồn tôi mãi mãi vun xới và nâng niuNếu có kiếp sau, tôi xin được làm thầy giáo dưới bầu trời Việt Nam. (Những lời trên là của thầy trưởng Khoa Văn trường ĐHSP Huế trong dịp kỉ niệm ngày nhà giáo Việt Nam(20-11-2009) www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 19  Dạng 9      1 f(x)+a 2 +      1 f(x)+b 2 = c (9) Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không. Với loại này ta đặt X= f(x)+ a+b 2 và = b-a 2 khi đó phương trình đã cho được viết lại như sau:      1 X- 2 +      1 X+ 2 = c Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: cX4 -2(c 2 +1)X 2 + c 4 -2 2 =0 (9.1) Phương trình (9.1) là một phương trình trùng phương theo X mà bạn có thể giải được dễ dàng . Khi tìm được X = X 0 là nghiệm thì dựa vào cách đặt X ta đưa phương trình đã cho về dạng: f(x) + a+b 2 =X 0 Lúc này bạn có thể tìm được x dễ dàng bằng cách giải phương trình trên. Lưu ý: Dạng phương trình      k f(x)+a 2 +      k f(x)+b 2 =c ta luôn đưa về được dạng phương trình (9) Ví dụ: Giải phương trình:      1 sin(x)-1 2 +      1 sin(x)-2 2 = 40 9 (9.2) Đặt t=sin(x)- 3 2 khi đó phương trình (9.2) viết lại như sau: www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 20      1 t+ 1 2 2 +      1 t- 1 2 2 = 40 9  18t 2 + 9 2 = 40t 4 -20t 2 + 5 2  40t4 -38t 2 -2= 0  t 1=-1, t 2=1 Với t=-1 sin(x)= 1 2  x= (-1) k  6 + k (kZ) Với t=1  sin(x)= 5 2 ( vô nghiệm) Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là x= (-1)k  6 + k (kZ) BÀI TẬP Giải các phương trình sau: 1.      1 x2 -3 2 +      1 x2 -2 2 = 5 4 2.      3 2cos2 (x)-2 2 +      3 2sin2 (x)+1 2 =40 3.      4 e2x +1 2 +      4 e2x +3 2 =5 4.      3 x+4 x-2 2 +      3 x+4 x-6 2 =10 Cho phương trình      12 x2 -3x+5 2 +      12 x2 -3x+6 2 =m (9.3) 5. Giải phương trình khi m=25. 6. Biện luận số nghiệm của phương trình (9.3). - Bạn và tôi cùng chung mục đích, lý tưởng thì ắt phải đi chung trên một con đường...rồi cuối cùng sẽ gặp nhau. - Đừng sợ hãi khi bạn phải đối đầu với một đối thủ mạnh hơn, mà phải vui mừng vì bạn đã có cơ hội chiến đấu hết mình. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 21  Dạng 10 (Phương trình phản phương) ax4 +bx 3 +cx 2  bx+a=0 (a≠ 0) (10) Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 khi đó ta được ax2 +bx+c  b x + a x2 =0  a       x 1 x 2 +b       x 1 x +c 2=0 Đặt t= x  1 x khi đó ta có phương trình mới at2 +bt +c 2=0 (10.1) Việc giải phương trình (10.1) là dễ dàng, tìm được t sau đó dựa vào cách đặt t ta suy ra x. Ví dụ: Giải phương trình x4 -4x 3 +x 2 +4x+1= 0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Với x≠ 0, thì ta chia hai vế của phương trình cho x2 khi đó ta có       x- 1 x 2 -4       x- 1 x +3=0 Đặt t=x- 1 x lúc đó ta có phương trình t2 -4t+3=0  t 1=1, t 2 =3 Với t=1 thì ta có phương trình www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 22 x2 -x-1=0  x 1= 1+ 5 2 , x 2= 1- 5 2 Với t=3 thì ta có phương trình x2 -3x-1=0  x 3= 3+ 13 2 , x 4= 3- 13 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm x 1= 1+ 5 2 , x 2= 1- 5 2 , x 3= 3+ 13 2 , x 4= 3- 13 2 BÀI TẬP Giải phương trình 1. 9x4 -9x 3 -52x 2 -9x+9=0 2. x4 + 2x 3 -6x 2 -2x+1=0 3. x4 +10x 3 +26x 2 +10x+1=0 Cho phương trình x4 +5x 3 +mx 2 +5x+1=0 (10.2) 4. Giải phương trình khi m=-12. 5. Giải và biện luận số nghiệm của phương trình. 6. Cho phương trình sau x4 - (m+1)x 3 +(m+2)x 2 - (m+1)x+1=0 Tìm m để phương trình có nghiệm. 7. Cho phương trình sau x4 +mx 3 +x 2 +mx +1=0 Tìm m để phương trình có ít nhất hai nghiệm âm khác nhau. 8. Biết phương trình x4 -bx 3 - cx 2 - bx+1=0 có nghiệm Chứng minh rằng: b2 +(c+2) 2 >3 Con đường phía trước vẫn còn nhiếu khó khăn , nhưng quan trọng ta có bản lĩnh đề vượt qua hay không ? Chính niềm đam mê sẽ góp thêm sức mạnh cho ta www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 23  Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4 +bx 3 +cx 2  dx+k=0 (11) trong đó kb 2 =ad 2 Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba. Với loại này ta có cách giải như sau Trước hết để thuận tiện ta đặt = d b = k a Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11). Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình (11) cho x2 thì thu được phương trình sau: ax2 +bx +c  d x + k x2 =0  a       x2 + 2 x2 +b       x  x +c =0  a       x  x 2 +b       x  x +c  2a=0 Đặt t= x   x khi đó ta có phương trình bậc hai at2 +bt+c  2a=0 Việc giải phương trình này ta có thể thực hiện dễ dàng. Tìm được t từ đó ta tìm được x dựa vào cách đặt t. Ví dụ: Giải phương trình: x4 +x 3 -8x 2 +2x+4=0 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 24 Tiến hành chia hai vế của phương trình đã cho cho x2 khi đó ta thu được:       x2 + 4 x2 +       x+ 2 x -8=0 Đặt t= x+ 2 x lúc đó ta sẽ có được phương trình là: t2 +t-12=0  t 1 =3, t 2=-4 Với t=3 thì ta có phương trình x2 -3x+2=0  x 1 =1, x 2=2 Với t= -4 thì ta có phương trình x2 +4x+2=0  x 3 =-2+ 2 , x 4=-2- 2 Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thực là: x 1 =1, x 2=2, x 3 =-2+ 2 , x 4=-2- 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1. 4x4 +2x 3 -8x 2 +3x+9=0 2. x4 + x 3 -8x 2 -3x+9=0 Cho phương trình x4 +x 3 +mx 2 +2x+4=0 3. Tìm m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 4. Tìm m để phương trình có một số lẻ nghiệm. Cho phương trình 9x4 +3x 3 -2m 2 x 2 +4x+16=0 5. Giải phương trình khi m=4 6. Giải phương trình khi m= 12-2 3