Chuyên đề Các phép toán vectơ

Chuyên đề : Các phép toán vectơ A . Các phép toán véctơ: 1. Phép cộng véctơ: Định nghĩa: Tổng của hai véctơ là một véctơ được xác định như sau: + Từ một điểm O tùy ý trên mặt phẳng dựng véctơ . + Từ điểm A dựng véctơ + Khi đó véctơ gọi là véctơ tổng hợp của hai véctơ : Qui tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C bất kì, ta luôn luôn có: Qui tắc hình bình hành: D B C A Tứ giác ABCD là hình bình hành Qui tắc trung điểm: Với điểm M tuỳ ý và I là trung điểm của AB ta luôn có: G là trọng tâm của tam giác ABC : (Với mọi điểm M) Tính chất: - Giao hoán: - Kết hợp: - Cộng với không: - Cộng với véctơ đối: 2. Phép trừ véctơ: Với Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm O, A, B bất kì ta có: 3. Phép nhân một véctơ với một số thực: a. Định nghĩa: là một véctơ: - Với thì véctơ sẽ cùng phương với và sẽ: + Cùng hướng với nếu k>0. + Ngược hướng với nếu k<0. + Có độ dài - b. Tính chất: ",; "k, hẻR, ta có: 1) k() = kk 2) (h k) = hk 3) h(k) = (hk) 4) 1. = ; (-1) = -. B : Các dạng toán thường gặp DẠNG 1 : Dựng tổng vectơ VÀ TÍNH ĐỘ DÀI CỦA VEC TƠ Ví dụ: 1 : Cho ABC . Dựng tổng vectơ : a) + - 2 b) + - Giải a ) – Dựng = ; = - 2 - Lấy N là trung điểm của AB - Dựng hình bình hành BNEM, AESQ Khi đó ta có : + - 2 = + + = + + Q = + = S A N E B C M b) - Lấy M là trung điểm của AB . Dựng = - Dựng = ; = - - Dựng hình bình hành CNFE - Dựng = - Dựng hình bình hành APSQ Khi đó ta có : + - = + + = + + = + = + = Q A S M P E B C F N Ví dụ 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính: ; . Giải ABCD là hình vuông nên = A B Hay - = - = + - - = 2 Vậy = = 2 AB = 2a D C - - - = + - ( + ) = + - ( - ) = 2 Vậy = = 2 AB = 2a DẠNG 2 : CHỨNG MINH ĐẳNG THỨC VEC TƠ DẠNG 2 : CHỨNG MINH ĐẳNG THỨC VEC TƠ *Phương pháp: Ta có thể sử dụng 1 trong các phương pháp sau : Biến đổi 1 vế thành vế còn lại Biển đổi đẳng thức cần c/m tương đương với một đẳng thức hiển nhiên đúng Biển đổi đẳng thức vectơ cho trước về tới 1 đẳng thức cần c/m Tạo dựng các hình phụ Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F Lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung diểm của EF . Chứng minh: a) + = + b) + + + = A E B c) + + + = 4 Giải : O a) + = + + + = + + ( + ) D F C = + ( Vì + = ) b) E là trung điểm của AB nên + = 2 F là trung điểm của CD nên + = 2 + + + = 2 + 2 Mà O là trung điểm của è nên + = Vậy + + + = c) Ta có + + + = ( + ) + ( +) + (+ ) +(+ ) = 4 + ( + + + ) = 4 ( Do + + + = ) Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm; H là điểm đối xứng với B qua G. CM: a. ; b. M là trung điểm của BC. C/m: Giải a) G là trung diểm của BH nên : A + = 2 H = + ) ( Vì = ) G B M C Xét tứ giác AGCH có AG // HC và AG = HC nên AGCH là hình bình hành = - = - b) Ta có Vậy DẠNG 3 : PHÂN TÍCH MỘT VEC TƠ THành tổ hợp VEC TƠ * Phương pháp :Ta có thể sử dụng 1 trong các phương pháp sau : Từ giả thiết xác định dược tính chất hình học rồi từ đó khai triển vectơ cần biểu diễn bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của 2 vectơ cùng gốc. Từ giả thiết thiết lập được mối liên hệ vectơ giữa các đối tượng , Rồi từ đó khai triển biểu thức này bằng phương pháp xen điểm hoặc hiệu của 2 vectơ cùng gốc. Chú ý : Trong một vài trường hợp cần sử dụng cơ sở trung gian. Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD tâm O.Hãy tính các vectơ sau theo và a) với I là trung diểm của BO b) với G là trọng tâm của OCD Giải: a) I là trung điểm của BO nên ta có = (*) A B Mặt khác O là tâm của hình bình hành ABCD nên O I = G Thay vào (*) ta được = D K b) Lấy K là trung điểm của CD . G là trọng tâm của OCD nên (1) Xét ACD có OA = OC , KD = KC OK là đường trung bình của ACD OK = 2 (2) Từ (1) và (2) ta suy ra Mặt khác O là tâm của hình bình hành ABCD nên Ta có : + = Ví dụ 2 : Cho ABC. Gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA,AB a) C/m : b) Đặt , . Tính , , theo và Giải a) Theo quy tắc cộng hình bình hành , ta có : A 2 2 C1 B1 2 2 + 2 + 2 B C = ()+()+() = A1 b) Ta có : = 2 = 2 = 2 = 2 Vậy 2 = 2 = - = - = ) Dạng 4 : Xác định vị trí của 1 điểm thoả mãn 1 vectơ cho trước * Phương pháp : Xác định điểm M : Để ý điểm cố định A Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước vè dạng không đổi Ví dụ 1 : Cho ABC Xác định điểm M sao cho Xác định điểm O sao cho Giải : a) Ta có 3 = - 3 = = Vậy M nằm trong đoạn AB sao cho BM = AB b) Ta có ) = 2 + 2.2 = với I là trung điểm của AC , K là trung điểm của BC + 2 = - 2 Vậy O nằm trong đoạn IK sao cho OI = 2 OK Ví dụ 2 : Cho hình bình hành ABCD, M là điểm tuỳ ý . Trong mỗi trường hợp hãy tìm số k và điểm cố định I , J , K sao cho các đẳng thức vectơ sau thoả mãn với mọi điểm M : a) (1) A B b) (2) O c) (3) D C Giải a) Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M , do đó đúng với M I . Khi đó : Xác định được điểm I Khi đó + () = 3 Vậy k = 3 b) Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M , do đó đúng với M J . Khi đó : Xác định được điểm J Khi đó : ( = 2 Vậy k= 2 c) Vì (1) thoả mãn với mọi điểm M , do đó đúng với M K . Khi đó : Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD , ta có + + + = + ( + + + ) = 2 K là trọng tâm của ADC Khi đó : + ( = 6 Vậy k = 6 DẠNG 5 : Chứng minh 3 điểm thẳng hàng * Phương pháp : Muốn c/m 3 điểm A , B, C, ta cần c/m : Với k R Để chứng minh được điều này ta có thể áp dụng một trong hai phương pháp: + Cách 1: áp dụng các quy tắc biến đổi véctơ. + Cách 2: Xác định hai véctơ trên thông qua tổ hợp trung gian. Ví dụ 1 : Cho ABC , Mvà N xác định bởi 3 , G là trọng tâm của ABC a) C/m M, G, N thẳng hàng b) Tính theo và . Biết AC cắt GN tai P , Tính Giải : A a) Ta có 3 3 ( P G N B C M (*) G là trọng tâm của ABC nên Thay vào (*) t a được Vậy = M, G, N thẳng hàng b) Gọi E là trung điểm của BC , ta có EC = EB =CN 2 = (**) Gọi P’ là điểm thuộc đường thẳng GN và thoả mãn : Từ (**) ta có A , C , P’ thẳng hàng Vậy P’ là giao điểm của AC và GN P’ P = 4 DẠNG 6: Chứng minh 1 biểu thức VECTƠ Không phụ thuộc vào điểm di động * Phương pháp : Khai triển biểu thức vectơ để c/m biểu thức vectơ đó bằng 1 vectơ không đổi Ví dụ : Cho ABC. a) Cho M là điểm bất kì . C/m : không phụ thuộc vào vị trí M b) Gọi D là điểm sao cho = . CD cắt AB tại K. C/m : và Giải a) Ta có = ( = ( không đổi vì A , B ,C cố định ) Do đó không phụ thuộc vào vị trí của điểm M D A b) Gọi E là điểm đối xứng của C qua B F Ta có K Với = = = E B C ACED là hình bình hành Gọi F là trung điểm của AE , K là trọng tâm của ACE Ta có : AK = AB DẠNG 7: CHỨNG MINH 2 điểm trùng nhau *Phương pháp : Để chứng minh M và M' trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai hướng: Cách 1: Chứng minh Cách 2: Chứng minh với O là điểm tuỳ ý. Ví dụ : Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm. Giải Gọi G1 , G2 lần lượt là trọng tâm của ANP và CMQ , O là 1 điểm bất kì . Ta có : 1 (1) M B 2 A Mặt khác : Q N = (2) D P C = (3) Từ (1) , (2) , (3) ta suy ra 1 = 2 G G1 Vậy hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm DẠNG 8: CHứNG MINH ĐƯờNG THẳNG ĐI QUA ĐIểM Cố ĐịNH * Phương pháp : Ta sử dụng các kết quả đã biết sau : a) Cho trước 2 điểm A , B và 2 số thực , thoả mãn + 0. Nếu có thì đường thảng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm I thoả mãn : Đặc biệt : Khi = 0 thì I là trung điểm của AB b) Cho trước 3 điểm A, B, C và 2 số thực , , thoả mãn ++ 0. Nếu có thì đường thảng MN sẽ cắt đường thẳng AB tại điểm I thoả mãn : Đặc biệt : Khi = = 0 thì I là trọng tâm của ABC Ví dụ Cho tứ giác lồi ABCD . Điểm M trong mặt phẳng thoả mãn : a) C/m MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi b) Gọi P là trọng tâm của ABN . C/m MP luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi. Giải : a) Gọi I là điểm thoả mãn : Tồn tại duy nhất 1 điểm I – cố định Từ giả thiết ta có : = ( 1 + 2 -3 + 4 ) = 4 Vậy MN luôn đi qua điểm I cố định khi M thay đổi b) P là trọng tâm của ABN nên Ta có : ( ) = + ) = Gọi J là điểm thoả mãn Tồn tại duy nhất 1 điểm J– cố định Từ đó ( ) = ( + 1 – 1 + ) = 2 Vậy MP luôn đi qua điểm J cố định khi M thay đổi. DẠNG 9 : Tìm quỹ tích điểm M thoả mãn đặc tính K *Phương pháp: Đối với các bài toán quỹ tích, học sinh cần nhớ một số quỹ tích cơ bản sau: - Nếu với A, B cho trước thì M thuộc đường trung trực của đoạn AB. - Nếu với A, B, C cho trước thì M thuộc đường tròn tâm C, bán kính bằng . - Nếu thì + M thuộc đường thẳng qua A song song với BC nếu + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và cùng hướng nếu + M thuộc nửa đường thẳng qua A song song với BC và ngược hướng nếu Ví dụ 1 Cho ABC . Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn điều kiện sau : = Giải : Ta có : ABC là tam giác nên A B Không có điểm M nào thoả mãn Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là tập hợp rỗng Ta có : với E là trung điểm của AB với F là trung điểm của AC Khi đó = ME = MF Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là đường trung trực của EF Gọi I là điểm thoả mãn hệ thức: Tồn taị duy nhất 1 điểm I Khi đó : 3 = ( 3 + 2 – 2) Mặt khác = = MI = BC M thuộc đường tròn tâm I , bán kính bằng BC Ví dụ 2 Cho lục giác đều ABCDEF . Tìm tập hợp các điểm M sao cho : + nhận giá trị nhỏ nhất Giải A B Gọi P là trọng tâm của ABC Q là trọng tâm của DEF F C Ta có = E D Do đó : + = = 3.( MP + MQ) 3PQ Dấu = xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn PQ Vậy tập hợp các điểm M cần tìm là mọi điểm thuộc đoạn PQ kể cả P và Q