Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7

Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. A/ PHẦN MỘT Với tinh thần giúp đỡ học sinh nắm được các phương pháp chứng minh và có kỹ năng chứng minh ba điểm thẳng hàng trong toán 7, là một giáo viên dạy toán bản thân đã tìm tòi, học hỏi đưa ra một số phương pháp cơ bản để giúp học sinh thực hiện có hiệu quả khi gặp các dạng Toán chứng minh này . Chuyên đề là một số phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng và một số dạng toán đi đôi với các phương pháp nhằm góp phần giúp cho học sinh cũng như giáo viên trong quá trình học tập và giảng dạy. B/ PHẦN HAI CHUYÊN ĐỀ: “ CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG – HÌNH HỌC 7 ” I/ Lý do chọn chuyên đề : Chúng ta biết rằng, đối với học sinh học toán lớp 7, vì phải bắt đầu đối mặt với một lượng lớn các kiến thức hình học, nên việc giải các bài toán hình học nhiều em còn lúng túng, chưa nắm được phương pháp. Đặc biệt là chứng minh ba điểm thẳng hàng, phần lớn các em đều gặp khó khăn đối với dạng toán này, học sinh không biết lâp luận trình bày như thế nào ? Dâu hiệu nhận biết phần chứng minh này ra sao? Với những trăn trở và suy nghĩ như trên nay tôi viết chuyên đề này. Tôi cũng chỉ mong giải quyết được một phần những bức xúc trên và giúp cho học sinh định dạng có hướng giải quyết các vấn đề khi gặp dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học 7. II/ Phạm vi chuyên đề: Trong chuyên đề này tôi xin đề cập đến việc: + Các phương pháp cơ bản "chứng minh ba điểm thẳng hàng". + Các bài tập thực hành ( đi đôi với các phương pháp) III/ Nội dung chuyên đề: 1. Dạng 1:Sử dụng hai góc kề bù A. Kiến thức cơ bản: Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. 4 3 2 1 I D K C B A x D M C B A M C BA 0CAM MAB 180  ⇒ C, A, B thẳng hàng B. Bài tập: Ví dụ 1: ( Bài tập 55 trang 80 SGK Hình học 7). Cho hình vẽ: Chứng minh ba điểm B, D, C thẳng hàng. Bài giải: KD là đường trung trực của AC  DA = DC  ADC cân tại D  1 2ˆ ˆD =D (1) DI là đường trung trực của AB DA = DB  ABD cân tại D  3 4ˆ ˆD =D (2) Từ (1) và (2) suy ra 1 2 3 4ˆ ˆ ˆ ˆD +D =D +D Ta có: DK // AI (cùng vuông góc với AC) Mà 0I=90 suy ra 0IDK 90  01 4 2 3ˆ ˆ ˆD +D =D +D =90  01 2 3 4BDC=D +D +D +D =180 Vậy ba điểm B, D, C thẳng hàng. Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB. Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng. Bài giải: Xét AMB và CMD Có: AB = DC (gt). 0BAM=DCM=90 MA = MC (M là trung điểm AC) Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. a A B C AC B a Suy ra: AMB=DMC Mà 0AMB+BMC=180 (kề bù) nên 0BMC+CMD=180 . Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng. *Bài tự luyện: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và CD. Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng. 2. Dạng 2: Sử dụng tiên đề Ơclít và hệ quả. A.Kiến thức cơ bản: + Tiên đề Ơclit : “ Qua một điểm ở ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó” CB // a CA // a + Hệ quả: “ Qua điểm A ngoài đường thẳng a, kẻ được duy nhất một đường thẳng vuông góc với a. B.Bài tập: * Sử dụng tiên đề: Ví dụ 3: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho D là trung điểm AN. Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng. Bài giải: => A, B, C thẳng hàng AC  a BC  a => A, B, C thẳng hàng Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. M N O C D B A N M E B C D A  Xét AOD và COB có: + OA = OC (gt) + AOD=COB (hai góc đối đỉnh) + OD = OB (gt) Nên AOD = COB (c.g.c) Suy ra: DAO=OCB. Do đó: AD // BC. Nên DAB=CBM (đồng vị)  Xét DAB và CBM có : AD = BC (AOD = COB) DAB=CBM AB = BM ( gt) Nên DAB = CBM (c.g.c). Suy ra ABD=BMC . Do đó BD // CM. (1) Lập luận tương tự ta được BD // CN. (2) Từ (1) và (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm M, C, N thẳng hàng. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung điểm BD và N là trung điểm EC. Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng. Giải:  Xét ∆AMD và ∆CMB có: AM = MC (gt) AMD=CMB (đ/đ) MB = MD (gt) Nên ∆AMD = ∆CMB (c – g – c) Suy ra ADM=MBC ⇒ AD // BC (1)  Tương tự chứng minh được ∆ANE = ∆BNC Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. H D KE C B A D C O BA Suy ra AEN=BCN ⇒ AE // BC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. *Sử dụng hệ quả: Ví dụ 5: Cho ∆ABC, trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. Vẽ AH ⊥ BC (H  BC), AK ⊥ ED. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng. Bài giải: Xét ∆ADE và ∆ABC ta có: +AE = AC (gt) + AD = AB (gt) + DAE=BAC (đ/đ) Nên ∆ADE = ∆ABC (c – g – c)  D=B ( hai góc tương ứng)  DE // BC Mà AK DE (gt)  AK  BC Mà AH  BC (gt) Vậy ba điểm K, A, H thẳng hàng. Dạng 3: +Tính chất của đường trung trực của đoạn thẳng. +Tính chất đường phân giác của một góc. A. Kiến thức cơ bản: + Ba điểm cùng thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì chúng thẳng hàng. OA =OB CA = CB ⇒ O, C, D thẳng hàng. DA = DB Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. KL O 21 H O CB A N M CB A + Một góc trong chỉ có một đường phân giác. + OL phân giác của O + OK phân giác của O ⇒ O, L, K thẳng hàng. B.Bài tập: Ví dụ 6: Cho ∆ABC cân tại A, AH là phân giác của góc BAC ( H ∈ BC). Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB và qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại O. Chứng minh A, H, O thẳng hàng. Bài giải:  Ta có: ∆ABO = ∆ACO (Cạnh huyền – góc nhọn) Nên OB = OC hay O thuộc trên đường trung trực của BC(1)  ∆ABC cân tại A(gt) mà AH là phân giác nên cũng là trung trực của BC. Hay A thuộc trên đường trung trực của BC (2) H thuộc trên đường trung trực của BC(3) Từ (1), (2), (3) suy ra A, H, O thẳng hàng. Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB = AC. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MB = MC. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng. Bài giải: Ta có: AB = AC (gt) MB = MC (gt) NB = NC ( gt) Hay A, M, N cùng thuộc trên đường trung trực của BC. Vậy A, M, N thẳng hàng. Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. 2 1 y x D A B C O M G CB A K H CB A Ví dụ 8: Cho góc xOy .Trên hai cạnh Ox và Oy lấy lần lượt hai điểm B và C sao cho OB = OC. Vẽ đường tròn tâm B và tâm C có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm A và D nằm trong góc xOy. Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng. Bài giải:  Ta có ΔBOD = ΔCOD (c-c-c) Nên: BOD=COD Hay OD là phân giác của xOy (1)  Ta có ΔBOA = ΔCOA (c-c-c) Nên: BOA=COA Hay OA là phân giác của xOy (2) Từ (1) và (2) suy ra O, D, A thẳng hàng. Dạng 4: Giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, ba đường trung trực, ba đường phân giác trong tam giác. A.Kiến thức cơ bản: a) Đường trung tuyến của tam giác thì đi qua trọng tâm của tam giác đó. + G là trọng tâm ∆ABC + AM là trung tuyến ∆ABC ⇒ A, G, M thẳng hàng. b) Đường cao của tam giác thì đi qua trực tâm của tam giác. + H là trực tâm ∆ABC + AK là đường cao ∆ABC ⇒ A, H, K thẳng hàng. c) Đường trung trực của một cạnh thì đi qua giao điểm hai đường trung trực của hai cạnh còn lại của tam giác: Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. Q F E CB A M C K B A E BC Q P M A + Q là giao điểm của hai đường trung trực của AC và BC + EF là đường trung trực của AB ⇒ F, E, Q thẳng hàng. d) Đường phân giác của một góc tam giác thì đi qua giao điểm hai đường phân giác còn lại của tam giác: + AK cắt BK tại K + CM là phân giác của C ⇒ C, M, K thẳng hàng. B. Bài tập: Ví dụ 9: Cho tam giác ABC, kẻ trung tuyến AM. Trên AM lấy hai điểm P, Q sao cho AQ = PQ = PM. Gọi E là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm B, P, E thẳng hàng. Bài giải: Trong ∆ABC có AM là trung tuyến Mà AQ = QP = PM (gt) AP = 2 3 AM P là trọng tâm ∆ABC Vì E là trung điểm của AC nên BE là trung tuyến của ∆ABC. BE đi qua trọng tâm P. Vậy ba điểm B, P, E thẳng hàng. Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. K H N M CB A I G CB A M D CB A Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có AB = AC. Kẻ BM AC, CN  AB (M ∈AC, N∈ AB), H là giao điểm của BM và CN.Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng. Bài giải: Ta có: H là giao điểm hai đường cao BM và CN Nên H là trực tâm  ABC. Mà ∆ABC cân tại A (AB = AC), có AK là đường trung tuyến Nên AK cũng là đường cao. ⇒ Đường cao AK đi qua trực tâm H Vậy ba điểm A, H, K thẳng hàng. Ví dụ 11: (Bài tập 40/73 SGK) Cho ∆ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm, I là một điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Chứng minh ba điểm A, G, I thẳng hàng. Bài giải: Ta có: I là giao điểm của hai đường phân giác của C và B (1) (Vì I cách đều ba cạnh của tam giác) Mà G là trọng tâm của ∆ABC Nên G thuộc trung tuyến AG Lại có ∆ABC cân tại A Nên AG cũng là đường phân giác (2) Từ (1) và (2) suy ra G ≡ I Hay A, G, I thẳng hàng. Ví dụ12: Cho ∆ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Đường trung trực của AB, AC cắt nhau ở D. Chứng minh A, D, M thẳng hàng. Bài giải: Ta có: D là giao điểm của hai đường trung trực của ∆ABC Suy ra AD là đường trung trực (1) Mà AM là đường trung tuyến ∆ABC (gt) Lại có ∆ABC cân tại A Nên AM cũng chính là đường trung trực ∆ABC (2) Chuyên đề: Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng –Hình Học 7 . Tổ: Toán – Tin – Trường THCS Phù Đổng – Đại Lộc – Quảng Nam. Từ (1) và (2) suy ra A,D,M thẳng hàng. Bài tập tự luyện: Cho tam giác ABC, các tia phân giác các góc A và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. C/KẾT LUẬN Trên đây là những định hướng ban đầu nhằm giúp cho học sinh làm quen với dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng. Việc phân chia các dạng bài tập này là để cho học sinh dễ nhớ, dễ thực hành.Vì đây là kiến thức khó đối với học sinh nên bước đầu bản thân tôi chỉ chọn những bài tập nhỏ, đơn giản, những bài tập chủ yếu vận dụng kiến thức đã học để qua đó giới thiệu các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng trong Hình học 7. Trên đây là nội dung chuyên đề “ Các phương pháp cơ bản chứng minh ba điểm thẳng hàng – Hình Học 7” mà tổ Toán – Tin chúng tôi xây dựng nên, chắc chắn không thể trách khỏi những thiếu sót. Rất mong sự góp ý chân thành của các đồng chí, đồng nghiệp để chuyên đề này được hoàn thiện hơn. Đại Hồng, Ngày 07 tháng 01 năm 2013. Người thực hiện Nguyễn Thị Hồ Linh.