Chuyên đề Các phương pháp giải phương trình lượng giác

Chuyên đề: Các phương pháp giải phương trình lượng giác A/ Đặt vấn đề: Trong chương trình Toán Phổ thông thì lượng giác là một phần kiến thức rất quan trọng. Không những thế lượng giác còn được dùng để nghiên cứu một số môn khoa học như: Vật lí, hóa học,.. Phương trình lượng giác là một phần kiến thức rất quan trọng và không thể thiếu trong các đề thi vào các trường ĐH - CĐ và THCN trong cả nước. Các phương trình lượng giác rất đa dạng không thể có một công thức chung nào để giải mọi phương trình lượng giác. Bởi vậy cần thiết phải sử dụng các phép biến đổi lượng giác thông thường để đưa một phương trình lượng giác ban đầu về các dạng phương trình lượng giác cơ bản. Trên cơ sở là một giáo viên Toán thường xuyên hướng dẫn học sinh của mình giải các phương trình lượng giác từ đơn giản đến phức tạp. Tôi đã tự đúc rút ra cho mình một số kinh nghiệm mà tôi cho là tối ưu khi giải các phương trình lượng giác. Trên cơ sở đó tôi mạnh dạn nêu ra đây một số ý kiến của riêng cá nhân mình về phần phương trình lượng giác thông qua chuyên đề: Các phương pháp giải phương trình lượng giác. Trong chuyên đề này cùng với việc hệ thống phương pháp giải tôi có dự đoán và đưa ra một số sai lầm mà khi giải phương trình lượng giác học sinh thường hay mắc phải. Ngoài ra trong một bài Toán tôi cũng cố gắng đưa ra nhiều phương pháp giải trên cơ sở đó phân tích để đưa ra phương án tối ưu cho từng bài Toán. Do thời gian nghiên cứu chưa nhiều, vừa viết vừa mang đi kiểm nghiệm trực tiếp trên học sinh của mình nhưng trong chuyên đề này không thể tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Rất mong nhận được sự đóng góp thật nhiệt tình của các bạn đồng nghiệp, các em học sinh để chuyên đề này thêm hoàn chỉnh và có thể giúp ích cho sự nghiệp giáo dục Hà Nam nói riêng và của cả nước nói chung. Mọi thư từ góp ý xin gửi về địa chỉ: Cao Văn Kiên - Giáo viên Toán Trường THPT Bắc Lý. Tôi xin chân thành cảm ơn! B/ Nội dung I. Cơ sở lí luận Chúng ta đưa ra một nguyên tắc chung thường dùng khi giải phương trình lượng giác. Thông thường phải thực hiện các việc sau: Nếu phương trình chứa nhiều hàm lượng giác khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa một hàm lượng giác. Nếu phương trình chứa các hàm lượng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tương đương về phương trình chỉ chứa các hàm lượng giác của một cung. Sau khi biến đổi như trên nếu phương trình nhận được không có dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai hướng: Hướng thứ nhất: Biến đổi phương trình đã cho để đưa về việc giải phương trình đơn giản quen thuộc. Các phương pháp biến đổi theo hướng này gồm có: Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp hạ bậc Phương pháp biến đổi thành phương trình tích Phương pháp tổng các số hạng không âm Phương pháp đánh giá Phương pháp hàm số Hướng thứ hai Dùng lập luận để khẳng định phương trình cần giải vô nghiệm II. Cơ sở thực tiễn Bài toán 1: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Bài toán 2: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đổi biến. Phương pháp Để giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đổi biến, ta sử dụng biến t để chuyển phương trình ban đầu về chứa các cung t, 2t, 3t,, kt, rồi sử dụng các công thức góc nhân đôi, nhân ba, Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải phương trình: sin(2x - ) = 5sin(x - ) + cos3x (1) Giải: Đặt t = x - ị 2x - = 2t và 3x = 3t + Khi đó (1) Û sin2t = 5sint + cos(3t + ) Û sin2t = 5 sint - sin3t Û sin3t + sin2t = 5sint Û 3sint - 4sin3t + 2sint.cost = 5sint Û (3 - 4sin2t + 2cost - 5) sint = 0 Û (2sin2t - cost + 1)sint = 0 Û (2cos2t + cost - 3) sint = 0 (loại) Û Û sint = 0 Û t = k Û x - = k Û x = + k, k ẻ Vậy phương trình đã cho có một nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình: sin() = (2) Giải Đặt t = ị - 3t = Khi đó (2) Û sint = Û 2sint = sin3t Û 2sint = 3sint - 4sin3t Û 4sin3t - sint = 0 Û (4sin2t - 1)sint = 0 Û (1 - 2cos2t)sint = 0 Û Û Û Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình. sin(3x - ) = sin2x.sin(x + ) (3) Giải Đặt t = x + suy ra Khi đó (2) Û sin(3t - p) = sin(2t - ).sint Û - sin3t = - cos2t. sint Û 3sint - 4sin3t = (1 - 2sin2t)sint Û sin3t - sint = 0 Û (sin2t - 1)sint = 0 Û cos2t.sint = 0 Û cost.sint = 0 Û sin2t = 0 Û 2t = kp Û t = Û x + Û x = - , k ẻ Vậy phương trình có 1 nghiệm Ví dụ 4: Giải phương trình 2cos() = sin3x - cos3x (4) Giải Đặt t = ị 3x = 3t - Khi đó (4) Û 2cost = sin(3t - ) - cos(3t - ) Û 2cost = - cos3t - sin3t Û 2cost = - (4cos3t - 3cost) - (3sint - 4sin3t) Û 4cos3t - cost + 3sint - 4sin3t = 0 (5) Ta xét hai trường hợp: TH1: Với cost = 0 Û t = Khi đó phương trình có dạng: 3sin() - 4sin3() = 0 (Vô lý) Vậy t = không là nghiệm của phương trình. TH2: Với cost ≠ 0 Û t ≠ Chia cả hai vế của phương trình (5) cho cos3t, ta được: 4 - (1 + tan2t) + 3(1 + tan2t),tant - 4tan3t = 0 Û tan3t + tan2t -3tant - 3 = 0 Û (tant + 1)(tan2t - 3) = 0 Û Û Û Û , k ẻ Vậy phương trình có 3 nghiệm. Bài tập áp dụng: Bài tập 1. Giải các phương trình sau: 32cos6(x + ) - sin6x = 1 c. sin3x = 2cos( - x) 8cos3(x + ) = cos3x d. cos3x = 2sin(x + ) Bài tập 2. Giải các phương trình sau: sin() = 3sin() c. cos9x + 2cos(6x + ) + 2 = 0 sin() = 3sin( ) d. 2cos + 1 = 3cos Bài toán 3: Giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc. Để giải phương trình lượng giác bằng công thức hạ bậc, ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Bước 2: Thực hiện hạ bậc của phương trình bằng việc sử dụng các công thức: Hạ bậc đơn: 1. sin2x = (1 - cos2x) 2. cos2x = (1 + cos2x) 3. tan2x = 4. cot2x = 5. sin3x = (3sinx - sin3x) 6. cos3x = (3cosx + cos3x) 7. tan3x = 8. cot3x = Chú ý: sinx.cosx = sin2x Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức có dạng: A = sin3xcos3x + cos3xsin3x Ta có thể lựa chọn hai cách sau. Cách 1: Ta có A = sin2x.sinx.cos3x + cos2x.cosx.sin3x = (1 - cos2x).sinx.cos3x + (1 - sin2x).cosx.sin3x = sinx.cos3x + cosx.sin3x - (cosx.cos3x + sinx.sin3x)sinx.cosx = sin4x - cos2x.sin2x = sin4x Cách 2: Ta có A = (3sinx - sin3x)cos3x + (3cosx + cos3x)sin3x = (sinx.cos3x + cosx.cos3x) = sin4x Ví dụ 1: Giải phương trình sin24x - cos26x = sin(10x + ) (1) Giải Phương trình (1) Û Û 2cos10x + cos12x + cos8x = 0 Û 2cos10x + 2cos10x.cos2x = 0 Û (cos2x + 1)cos10x = 0 Û Û Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình sin23x - cos24x = sin25x - cos26x (2) Giải Sử dụng công thức hạ bậc ta có: (2) Û Û (cos12x - cos6x) + (cos10x - cos8x) = 0 Û - 2sin9x.sin3x - 2sin9x.sinx = 0 Û - 2sin9x(sin3x + sinx) = 0 Û - 4sin9x.sin2x.cosx Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Với những phương trình chứa số lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3). Thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Cụ thể ta xét ví dụ sau: Ví dụ 3: Giải phương trình sin23x - sin22x - sin2x = 0 (3) Giải Ta có (3) Û Û (cos6x - cos2x) + 2sin22x = 0 Û -2 sin4x.sin2x + 2sin22x = 0 Û - 2sin2x(sin4x - sin2x) = 0 Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Ví dụ 4: Giải phương trình: sin32x .cos6x + sin6x .cos32x = Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau để biến đổi cho VT: Cách 1: Ta có: VT = sin22x.sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.cos22x = (1 - 2cos2x).sin2x.cos6x + sin6x.cos2x.(1 - 2sin22x) = sin2x.cos6x + sin6x.cos2x - cos22x.sin2x.cos6x - sin6x.cos2x.sin22x = sin8x - cos2x.sin2x.(cos2x.cos6x + sin6x.sin2x) = sin8x - sin4x.cos4x = sin8x Cách 2: Ta có: VT = (3sin2x - sin6x)cos6x + (3cos2x + cos6x).sin6x = (sin2x.cos6x + cos2x.sin6x) = sin8x Phương trình được biến đổi về dạng: sin8x = Û sin8x = Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Việc hạ bậc trong nhiều trường hợp sẽ giúp chúng ta đánh giá đúng đắn mối liên hệ giữa các cung góc trong phương trình. Ví dụ 5: Giải phương trình: 1+ 2cos2 = 3cos (5) Giải Ta có (5) Û 1 + 1 + cos = 3cos Û 2 + cos = 3cos. Đặt t = , phương trình được biến đổi về dạng: 2 + cos3t = 3cos2t Û 2 + 4cos3t - 3cost = 3(2cos2t - 1) Û 4cos3t - 6cos2t - 3cost + 5 = 0 Û (cost - 1)(4cos2t - 2cost - 5) = 0 (loại) Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Bình luận: Với các phương trình chứa các nhân tử bậc cao hơn 3 ta tiên hành hạ bậc dần từng bước một. Ví dụ 6: Giải phương trình: sin4x + sin4() + sin4() = Gợi ý: Hạ bậc đưa được phương trình về dạng: 2cos22x + cos2x - 1 = 0 Û cos2x = Û x = . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Giải các phương trình sau. sin22x - cos28x = sin(10x + ) sin4x + cos4(x + ) = cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = sin2x + sin23x = cos22x + cos24x sin2x = cos22x + cos23x sin23x + sin22x + sin2x = Bài tập 2: Giải các phương trình sau. sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = sin3x.sin3x + cos3x.cos3x = cos34x 4sin3x.cos3x + 4cos3x.sin3x + 3cos4x = 3 cos3x.cos3x - sin3x.sin3x = cos34x + Bài tập 3: Giải các phương trình sau. a. cos2x = cos b. 32cos6x = 1 + cos6x c. sin22x - cos28x = sin( + 10x) d. cos4x - cos2x + 2sin6x = 0 e. cos4x + cos4(x + ) = f. Bài toán 4: Biến đổi phương trình lượng giác thành phương trình tích. Việc biến đổi phương trình lượng giác về phương trình tích phụ thuộc vào các phép biến đổi dạng: Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích. Phương pháp biến đổi tích thành tổng. Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x. Phương pháp luận hệ số. Phương pháp hằng số biến thiên. Phương pháp nhân. Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp. Ta đưa phương trình cần giải về phương trình dạng tích: A.B = 0 Û trong đó các phương trình A = 0, B = 0 là các phương trình có dạng chuẩn. Với các bài toán có tham số, để xác định điều kiện sao cho phương trình có đúng k nghiệm trên miền D, ta cần chú ý tới số nghiệm của mỗi phương trình thành phần. Dạng 1: Phương pháp biến đổi tổng, hiệu thành tích. Ví dụ 1. Giải phương trình: 1 + cosx + cos2x + cos3x = 0 (1) Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Biến đổi phương trình thành tích Û (1 + cos2x) + (cosx + cos3x) = 0 Û 2cos2x + 2cos2x.cosx = 0 Û (cos2x + cosx).cosx = 0 Û2cos.cos.cosx = 0 Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Cách 2: Biến đổi về phương trình chứa một hàm lượng giác Û 1 + cosx + 2cos2x - 1 + 4cos3x - 3cosx = 0 Û 4cos3x + 2cos2x - 2cosx = 0 Û (2cos2x + cosx - cosx).2cosx = 0 Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Cách giải 1 là đơn giản hơn. Nhưng nếu VP của phương trình là hằng số khác không hoặc chứa tham số thì cách 2 là sự lựa chọn tối ưu. Ví dụ 2: Giải phương trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0 (2) Giải Ta có (2) Û (cosx + cos3x) + (cos2x + cos4x) = 0 Û 2cos2x.cosx + 2cos3x.cosx = 0 Û 2cosx(cos2x + cos3x) = 0 Û 2.cosx.cos.cos = 0 Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Trong lời giải trên ta lựa chọn cách nhóm theo hiệu hai góc bằng nhau do đó đương nhiên có thể nhóm theo (cosx + cos2x) + (cos3x + cos4x) = 0. Ngoài ra còn có thể nhóm theo tổng hai góc bằng nhau. (cosx + cos4x) + (cos2x + cos3x) = 0 Dạng 2: Phương pháp biến đổi tích thành tổng Ví dụ: Giải phương trình: cos.cosx.cos - sin.sinx.sin = (1) Giải Ta có (1) Û (cos2x + cosx).cosx + (cos2x - cosx).sinx = Û cos2x .cosx + cos2x + cos2x.sinx - cosx.sinx = 1 Û cos2x.cosx + 1 - sin2x + cos2x.sinx - cosx.sinx = 1 Û cos2x(cosx + sinx) - sinx(cosx + sinx) = 0 Û (cosx + sinx)(cos2x - sinx) = 0 Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Dạng 3: Lựa chọn phép biến đổi cho cos2x Ví dụ 1: Giải phương trình 2cos3x + cos2x + sinx = 0 (1) Giải Ta có (1) Û 2cos3x + 2cos2x - 1 + sinx = 0 Û 2(cosx + 1)cos2x + sinx - 1 = 0 Û 2(cosx + 1)(1 - sin2x) + sinx - 1 = 0 Û (1 - sinx)[1 +2sinx.cosx + 2(sinx + cosx)] = 0 Û (1 - sinx)[(sinx + cosx)2 + 2(sinx + cosx)] = 0 Û (1 - sinx)(sinx + cosx)(sinx + cosx + 2) = 0 Û Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Trong lời giải trên sở dĩ ta lựa chọn phép biến đổi: cos2x = 2cos2x - 1 bởi hai nhân tử còn lại là 2cos3x (cos hệ số 2) và sinx (sin hệ số 1). Như vậy trong trường hợp trái lại ta sẽ lựa chọn phép biến đổi: cos2x = 1 - 2sin2x Ví dụ 2: Giải phương trình. 2sin3x - cos2x + cosx = 0 (2) Giải Ta có (2) Û 2sin3x - 1 + 2sin2x + cosx = 0 Û 2sin2x(sinx + 1) - 1 + cosx = 0 Û 2(1 - cos2x)(sinx + 1) - 1 + cosx = 0 Û (1- cosx)[2(sinx + 1)( 1 + cosx) - 1] = 0 Û .. Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bình luận: Như vậy chúng ta đã có được phương pháo suy luận trong việc lựa chọn hai hướng biến đổi cho cos2x. Cuối cùng trong trường hợp hệ số đối xứng ta sẽ lựa chọn phép biến đổi: cos2x = cos2x - sin2x Ví dụ 3: Giải phương trình. sin3x + cos3x = cos2x (3) Giải Ta có (3) Û sin3x + cos3x = cos2x - sin2x Û (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx + sinx - cosx) = 0 Û Giải (1): Ta được x = - Giải (2): Ta được Vậy phương trình có ba nghiệm. Bình luận: Đôi khi việc nhóm các toán tử trong đầu bài lại làm tăng độ phức tạp của bài toán. Khi đó để tiện cho việc cân nhắc lựa chọn phép biến đổi học sinh nên chú ý chuyển phương trình về dạng đơn. Ví dụ 4: Giải phương trình. 4sin2x - 3cos2x = 3(4sinx - 1) Giải Biến đổi phương trình về dạng: 4sin2x - 3cos2x = 12sinx - 3 Û 4sin2x - 3(1 - 2sin2x) = 12sinx - 3 Û 8sinx.cosx + 6sin2x - 12sinx = 0 Û 2(4cosx + 3sinx - 6)sinx = 0 Û Û x = kp, k Vậy phương trình có một nghiệm Nhận xét: Trong lời giải trên khi chuyển phương trình về dạng đơn, ta lựa chọn phép biến đổi cos2x = 1 - 2sin2x bởi khi đó sẽ hkử được số hạng tự do và cùng với nhận xét các toán tử còn lại đều chứa sinx. Dạng 4: Phương pháp luận hệ số. Ví dụ 1: Giải phương trình. cosx + cos3x + 2cos5x = 0 Giải Biến đổi phương trình về dạng (cos5x + cosx) + (cos3x + cos5x) = 0 Û 2cos3x.cos2x + 2cos4x.cosx = 0 Û (4cos3x - 3cosx)cos2x + cos4x.cosx = 0 Û [(4cos2x - 3).cos2x + cos4x].cosx = 0 Û [(2(1 + cos2x) - 3).cos2x + 2cos22x - 1].cosx = 0 Û (4cos22x - cos2x - 1).cosx = 0 Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình Giải Biến đổi phương trình về dạng: 5sin3x = 3sin5x Û 2sin3x = 3(sin5x - sin3x) Û 2(3sinx - 4sin3x) = 6.cos4x.sinx Û (3 - 4sin2x - 3cos4x).sinx = 0 Û [3 - 2(1 - cos2x) - 3(2cos22x - 1)].sinx = 0 Û (3cos22x - cos2x - 2).sinx = 0 Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Bình luận: Bài toán trên học sinh cũng có thể giải theo phương pháp tách dần: sin3x = 3sinx - 4sin3x sin5x = sin(4x + x) = sinx.cos4x + cosx.sin4x = sinx.cos4x + 2cosx.sin2x.cos2x = sinx.cos4x + 4cos2x.sinx.cos2x Ví dụ 3: Giải phương trình. cos2x + cos3x + 2sinx - 2 = 0 Giải Biến đổi phương trình về dạng: cos2x(1 + cosx) - 2(1 - sinx) = 0 Û (1 + cosx)(1 - sin2x) - 2(1 - sinx) = 0 Û (1 - sinx)[(1 + cosx)(1 + sinx) - 2] = 0 Û (1 - sinx)(cosx + sinx + sinx.cosx - 1) = 0 Û Giải (1): Ta được x = Giải (2): Ta được Vậy phương trình có hai nghiệm. Ví dụ tương tự: Giải phương trình. 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sinx) = 2 2sinx + cotx = 2sin2x + 1 Dạng 5: Phương pháp hằng số biến thiên Ví dụ : Giải phương trình (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Phương pháp hằng số biến thiên Đặt t = sin2, với Khi đó phương trình có dạng: (sinx + 3)t2 - (sinx + 3)t + 1 = 0 Ta có D = (sinx + 3)2 - 4(sinx + 3) = (sinx + 3)(sinx - 1) 0 Do đó phương trình trở thành: Û sinx = 1 Û x = Vậy phương trình có một nghiệm. Cách 2: Phương pháp phân tích Biến đổi phương trình về dạng: (sin2 - 1)(sinx + 3)sin2 + 1 = 0 Û - (sinx + 3).cos2.sin2 + 1 = 0 Û - (sinx + 3).sin2x + 1 = 0 Û sin3x + 3sin2x - 4 = 0 Û (sinx - 1)(sin2x + 4sinx + 4) = 0 Û (sinx - 1)(sinx + 2)2 = 0 Û sinx = 1 Û x = Vậy phương trình có một nghiệm. Dạng 6: Phương pháp nhân Ví dụ 1: Giải phương trình 2sin3x.(1 - 4sin2x) = 1 Giải Biến đổi phương trình về dạng: 2sin3x(4cos2x - 3) = 1 Ta thấy x = không phải là nghiệm của phương trình ị cosx ≠ 0. Nhân cả hai vế của phương trình với cosx ta được: 2sin3x.(4cos2x - 3).cosx = cosx Û 2sin3x.(4cos3x - 3cosx) = cosx Û 2sin3x.cos3x = cosx Û sin6x = sin( - x) Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình. sin = 5cos3x.sin (*) Giải Ta xét hai trường hợp Trường hợp 1: Với cos = 0, ta được: sin = và cosx = 2cos2 - 1 = - 1 . Khi đó (*) Û sin = (vô lý) Trường hợp 2: Với cos ≠ 0 Nhân cả hai vế của phương trình với 2 cos ≠ 0, ta được: 2sin.cos = 10cos3x.sin.cos Û sin3x + sin2x = 5cos3x.sinx Û 3sinx - 4sin3x + 2sinx.cosx = 5cos3x.sinx Û (5cos3x - 4cos2x - 2cosx + 1)sinx = 0 Û (5cos2x + cosx - 1)(cosx - 1)sinx = 0 Û Đối chiếu điều kiện, phương trình có 5 nghiệm Ví dụ 3: Giải phương trình. sin2x + cos3x + sinx = 0 Giải Biến đổi phương trình về dạng: sin2x + sinx + cos2x.cosx = 0 Û (sinx + 1)sinx + (1 - sin2x).cosx = 0 Û (sinx + 1)[sinx + (1 - sinx).cosx] = 0 Û Giải (1): Ta được x = Giải (2): Đặt t = sinx + cosx, Khi đó phương trình có dạng: t - = 0 Û t2 - 2t - 1 = 0 Û Û sinx + cosx = Û sin(x + ) = 1 - Û sin(x + ) = Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Dạng 7: Sử dụng các phép biến đổi hỗn hợp. Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x + sin3x + cosx = 0 Giải Biến đổi phương trình về dạng: cos2x + cosx + sin2x.sinx = 0 Û (cosx + 1).cosx + (1 - cos2x).sinx = 0 Û (cosx + 1)(cosx + sinx - sinx.cosx) = 0 Û Giải (1): Ta được x = Giải (2): Đặt sinx + cosx = t, Khi đó phương trình có dạng: t - = 0 Û t2 - 2t - 1 = 0 Û Û sinx + cosx = 1 - Û sin(x + ) = 1 - Û sin(x + ) = Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình. 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 Giải Biến đổi phương trình về dạng: 9sinx + 6cosx - 6sinx.cosx + cos2x = 9 - 1 Û 9(sinx - 1) - 6cosx(sinx - 1) + cos2x + 1 = 0 Û 3(sinx - 1)(3 - 2cosx) + 2cos2x = 0 Û 3(sinx - 1)(3 - 2cosx) + 2(1 - sin2x) = 0 Û (sinx - 1)(9 - 6cosx - 2sinx - 2) = 0 Û (sinx - 1)(2sinx + 6cosx - 7) = 0 Û Û x= Vậy phương trình có một nghiệm x= Ví dụ 3: Giải phương trình. cos10x + 2cos24x + 6cos3x.cosx = cosx + 8 cosx.cos33x Giải Biến đổi phương trình về dạng: cos10x + 1 + cos8x = cosx + 2(4cos33x - 3cos3x)cosx Û (cos10x + cos8x) + 1 = cosx + 2(4cos33x - 3cos3x)cosx Û 2cos9x.cosx + 1 = cosx + 2cos9x.cosx Û cosx = 1 Û x = k2p, k Vậy phương trình có một nghiệm: x = k2p, k Ví dụ 4: Giải phương trình. (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 4cos2x = 3 Giải Biến đổi phương trình về dạng: (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) - 3 + 4(1 - sin2x) = 0 Û (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4) + 1 - 4sin2x = 0 Û (2sinx + 1)(3cos4x + 2sinx - 4 + 1 - 2sinx) = 0 Û (2sinx + 1)(3cos4x - 3) = 0 Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Ví dụ 5: Giải phương trình. cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx Giải Biến đổi phương trình về dạng: (sinx + cosx)(1 - sinx.cosx) = sin2x + sinx + cosx Û - (sinx + cosx)sin2x = sin2x Û sin2x( sinx + cosx + 2) = 0 Û sin2x = 0 (vì sinx + cosx ) Û 2x = kp Û x = k Vậy phương trình có một nghiệm. Ví dụ 6: Giải phương trình. cos5x + sin7x + (cos3x + sin5x)sin2x = cosx + sinx Giải Biến đổi phương trình về dạng: cos5x + sin7x + (cos3x + sin5x)sinx.cosx =sinx + cosx Û cos5x + sin7x + cos4x.sinx + sin6x.cosx = sinx + cosx Û cos4x(sinx + cosx) + sin6x(sinx + cosx) - (sinx + cosx) = 0 Û (sinx + cosx)(cos4x + sin6x - 1) = 0 Û (sinx + cosx)[sin6x - sin2(cos2x + 1)] = 0 Û sin2x(sinx + cosx)(sin4x - cos2x - 1) = 0 Û sin2x(sinx + cosx)(sin4x + sin2x - 2) = 0 Û Vậy phương trình có hai nghiệm. Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Giải các phương trình sau. cos4x - cos2x + 2sin6x = 0 2sin3x + cos2x - sinx = 0 sin3x - sinx + sin2x = 0 Bài tập 2: Giải các phương trình sau. 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 sin3x - sin2x = 2cos2x.sinx Bài tập 3: Giải các phương trình sau. 3tan3x + cot2x = 2tanx + cotx - tanx = sinx + cosx Bài tập 4: Giải các phương trình sau. 3sin3x - cos9x = 1 + 4sin33x 1 + sinx + cosx + sin2x + 2cos2x = 0 4cosx - 2cos2x - cos4x = 1 Bài tập 5: Giải các phương trình sau: sin3x + cos3x = sinx - cosx sin2x.cosx - cos2x + sinx - cos2x.sinx - cosx = 0 sin3x - cos3x = sinx + cosx 2cos2x - sin2x = 2(sinx + cosx) Bài tập 6: Giải các phương trình sau: sinx(1+ cosx) = 1 + cosx + cos2x sin2x + 2sin2 - 2sinx. sin2 + cotx = 0 Bài tập 7: Giải các phương trình sau: sin3x.sin6x = sin9x 1 + tanx = Bài tập 8: Cho phương trình (2sinx - 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 - 4cos2x Giải phương trình khi m = 1. Xác định m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc [0; p] Bài toán 5: Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm. Phương pháp: Các đại lượng không âm trong lượng giác bao gồm: A2, , 1 cosx, 1 sinx Do đó để sử dụng phương pháp này giải phương trình lượng giác ta thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Ta biến đổi phương trình ban đầu vê dạng: A1 + A2 + + An = 0 (1) Bước 2: Dùng lập luận khẳng định các Ai 0, i Bước 3: Khi đó : (1) (2) Bước 4: Giải hệ (2). Ví dụ 1: Giải phương trình. cos4x + sin6x = cos2x Giải Biến đổi phương trình về dạng: cos4x + sin6x = cos2x - sin2x Û sin6x - cos2x(1 - cos2x) + sin2x = 0 Û sin6x - cos2x.sin2x + sin2x = 0 Û sin6x + sin2x(1 - cos2x) = 0 Û sin6x + sin4x = 0 Û Vậy phương trình có một nghiệm. Ví dụ 2: Giải phương trình. 4cos2x + 3tan2x - 4cosx + 2tanx + 4 = 0 Giải ĐK: x Biến đổi phương trình về dạng: (2cosx - )2 + (tanx + 1)2 = 0 Giải (1): x = Giải (2): x= Đối chiếu điều kiện, vậy phương trình có một nghiệm: x= Ví dụ 3: Giải phương trình. sin2x + sin23x = sinx.sin23x Giải Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày say: Cách 1: Biến đổ phương trình về dạng: 4sin2x - 4sinx.sin23x + sin43x - sin43x + sin23x = 0 Û (2sinx - sin23x)2 + (1 - sin23x).sin23x = 0 Û (2sinx - sin23x)2 + cos23x.sin23x = 0 Û (2sinx - sin23x)2 + sin26x = 0 Û Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng: sin2x - sinx.sin23x + sin23x = 0 (1) Coi phương trình (1) là phương trình bậc hai theo sinx ta có: D = sin43x - sin23x = (sin23x - 1)sin23x Khi đó (1) Û Û Û Vậy phương trình có ba nghiệm. Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: cos24x + cos28x = sin212x + sin216x + 2 cos2x - cos6x + 4(3sinx - 4sin3x + 1) = 0 sin2x + sin23x = sinx.sin23x Bài toán 6: Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá. Tính chất của các hàm số lượng giác và biểu thức lượng giác. Phương trình lượng giác dạng Pitago. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy. Sở dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski. Bài toán 7: Phương trình hệ quả. Bài toán 8: Hai phương trình tương đương.