Chuyên đề Các ứng dụng của định lý viét

ý tưởng khai thác Hệ thức Viét(sgk) đL Viét Thuận Đảo Số học Mặt phẳng toạ độ và hình học Pt bậc 2; 3 và các loại toán đại số ứng dụng Các ứng dụng của định lý viét Phần I: cơ sở xuất phát. Phần II: nội dung - phương pháp. A. lý thuyết (Kiến thức cơ bản và mở rộng). B. Các ứng dụng của định lý viét. * các ứng dụng cơ bản. * các ứng dụng khác. Phần III: các biện pháp thực hiện. Phần IV: kết quả - bài học kinh nghiệm. PhầnV: kết luận Phần i: cơ sở xuất phát 1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về phương diện suy luận và ứng dụng trong chương trình toán nói chung cũng như chương trình toán THCS nói riêng. 2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng người Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra được mang tên ông: Định lý Vi-vét. Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc biệt là nêu lên được nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai như: - Tìm tổng và tích các nghiệm của một phương trình bậc hai khi có nghiệm. - Biết một nghiệm của phương trình bậc hai suy ra nghiệm kia. - Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trường hợp. - Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. - Lập một phương trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trước Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò “một chìa khoá” quan trọng mở ra hướng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng như: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đường thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số 3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chương trình đại 9 có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một phương trình bậc 2; nêu được quan hệ định tính, định lượng của các nghiệm số với các hệ số của phương trình bậc 2. Có thể nói: “Các nghiệm số của phương trình bậc 2 dưới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ”. 4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) các dạng bài tập về phương trình bậc 2 (phương trình qui về bậc hai); các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phương trình bậc 2; những kỹ thuật giải phương trình; hệ phương trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét. 5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây được hứng thú giải bài tập cho HS, hình thành cho HS những ý tưởng phong phú, trau dồi tư duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phương trình bậc hai. 6. Phương trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số được gắn kết với nhau như hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ. 7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu tư duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán trong mối liên hệ sinh động dưới “con mắt động” của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lượng học tập môn toán. 8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho người dạy, người học một phong cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phương pháp dạy học một cách hiệu quả. 9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của người dạy và người học phần nào còn nhiều sơ sài như chưa khai thác triệt để định lý đảo; các kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phương tiện Đại số, Hình học, Số học. Phần ii: Nội dung phương pháp a. lý thuyết: 1. Định lý Viet thuận: Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = P = x1 . x2 = * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = 1, nghiệm kia là x2 = - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x1 = - 1; nghiệm kia là x2 = 2. Định lý đảo: Nếu có 2 số x1, x2 thoả mãn thì chúng là nghiệm số của phương trình: t2 - st + p = 0 (Điều kiện $ 2 số x1, x2 là s2 - 4p ³ 0) Chú ý: * Trước khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm Û * a + b + c = 0 Û x = 1 ; a - b + c = 0 Û x = - 1 * Nếu có: x = a ; y = b là nghiệm hệ phương trình thì a, b là nghiệm phương trình: t2 - st + p = 0 3. Các ứng dụng cơ bản (thường dùng): a. Kiểm tra nghiệm phương trình bậc 2. b. Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc 2. c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia d. Tìm 2 số biết tổng và tích. e. Lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm 4. Một số kết quả thu được từ định lý Viet: a. Phân tích ax2 + bx + c = 0 (*) (a ạ 0) thành nhân tử: Khi (*) có D ³ 0 Û $ x1, x2 / x1 + x2 = ; x1 . x2 = thì ax2 + bx + c = = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 . x2 - Nếu S = x1 + x2 (không đổi) còn P = x1 . x2 thay đổi. Do S2 - 4P ³ 0 Û P Ê P = Û x1 = x2 = ị maxP = Û x1 = x2 = (Vì x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép) ị KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất Û 2 số bằng nhau. - Nếu x1 > 0; x2 > 0 và x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay đổi) Do: S2 - 4P ³ 0 Û Û S - ³ 0 ; S = Û x1 = x2 = ị KL: 2 số dương có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. c. Xét dấu các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (*) (a ạ 0) - Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0 - Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là - Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dương là: - Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là: - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dương là: - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là: d. Điều kiện của tham số để hệ phương trình: có 1 nghiệm duy nhất là: f2(m) - 4g(m) = 0 (Chính là điều kiện để phương trình bậc 2 t2 - f(m)t + g(m)) = 0 có nghiệm kép) b. các ứng dụng của định lý viet: i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: 1. Phương pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: Nếu 2 số u và v có thì u và v là nghiệm của phương trình: t2 - St + P = 0 (1) Như vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phương trình (Tìm nghiệm của phương trình đó ị 2 số cần tìm). Chú ý: Nếu S2 - 4P ³ 0 thì tồn tại 2 số. Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số. 2. Ví dụ: a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a2. * Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0). Ta có: Û Do (3a)2 - 4 . 2a2 = a2 > 0 nên u, v là nghiệm của phương trình bậc 2. t2 - 3at + 2a2 = 0 giải được t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a. b. Tìm phương trình bậc 2 nhận x1; x=2 là nghiệm và (*) Biến đổi hệ (*) ta có: Û ị x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 - 5x + 6 = 0 ị x1 , x2 là nghiệm phương trình: x2 + 5x + 6 = 0 Û c. Giải hệ phương trình: (Ta quy về tìm x, y / ) Từ (1) có Vậy hệ (1) (2) có dạng do 282 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm của phương trình: t2 - 28t + 27 = 0. Giải được t1 = 1 ; t2 = 27. Hệ có 2 nghiệm: ; d. Giải phương trình: (Đ/K: x ạ -1) Đặt: ; v = (Đ/K: x ạ -1) u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phương trình t2 - 5t + 6 = 0 " t1 = 3; t2 = 2. Từ đó có: hoặc . Phương trình đã cho Û giải được x1 = 1; x2 = 2 (TM) e. Cho phương trình: x2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phương trình x2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều ạ 0. Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phương trình đã cho có: c + d = - a (1) c . d = b (2) a + b = - c (3) a . b = d (4) Từ (1) ị a + c = - d (3) ị a + c = - b Từ (2) ị c =1 (Vì b = d ạ 0) Từ (4) ị a = 1 (Chia 2 vế cho b = d ạ 0) Thay a = c = 1 vào (1) ị d = - 2 ị b = - 2 Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) ii. tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: 1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm: Biểu thức f(x1, x2) gọi là đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 và x2 thì biểu thức không thay đổi). - Nếu f(x1, x2) đối xứng thì f(x1, x2) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x1 + x2; P = x1 . x2. - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 của phương trình bậc 2 ax2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x1 và x2. Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1, x2 theo S và P. Ví dụ: . . . 2. Các ví dụ: a. Bài toán 1: Cho phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (*) (a ạ 0) Có 2 nghiệm là x1, x2. Chứng minh rằng: Với Thì a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 Giải: Do x1, x2 là nghiệm (*) ị ị ị ị hay: a . Sn + 2 + b . Sn + 1 + c . Sn = 0 b. Bài toán 2: Cho phương trình x2 + 5x + 2 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: ; ; ; . . . ; ; ; Giải: Trước hết kiểm tra phương trình đã cho nghiệm hay không. D = 25 - 8 = 17 > 0 ị Phương trình có 2 nghiệm x1 ạ x2 Suy ra: ã ã ã ã = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = ã ã * Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của ; Sn + 1 ; Sn bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1. ị Sn +2 = - b Sn + 1 - cSn Ví dụ: Cho x1, x2 là nghiệm phương trình: x2 - 2x - 2 = 0 Tính Ta có: D’ = 3 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm x1, x2. S1 = 2 ị S3 = - bS2 - cS1 = 16 + 4 = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136 c. Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002). Gọi a, b là nghiệm phương trình: 30x2 - 3x = 2002. Rút gọn (Tính) * Nhận thấy phương trình đã cho: 30x2 - 3x - 2002 = 0 có D > 0 ị x1 = a ; x2 = b ị Sn = an + bn áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A . Sn + 1 + B . Sn + 1 + C. Sn = 0 Theo đầu bài ta có: Sn = a2000 + b2000 Sn + 1 = a2001 + b2001 Sn +2 = a2002 + b2002 ị 30 Sn + 2 - 3Sn + 1 - 2002Sn = 0 ị 30 Sn +2 - 3Sn + 1 = 2002Sn ị d. Bài toán 4: Cho phương trình x2 - ax + a - 1 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức: . Giải: Trước hết kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm không ? Ta có: D = a2 - 4 (a - 1) = (a - 2)2 ³ 0 Nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là: x1 và x2. áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = a - 1. (a ạ 0; aạ 1) e. Bài 5: Cho a ạ 0; Giả sử x1, x2 là nghiệm của phương trình: tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Ta có: x1 + x2 = a ; x1.x2 = ị Û a8 = 2 Û ị Min tại * Chú ý: Nếu biến đổi phương trình đã cho thành phương trình (a ạ 0) thì việc xét xem phương trình có nghiệm hay không và tìm GTNN tiện lợi hơn. iii. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số: 1. Phương pháp: Để tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc tham số trong 1 phương trình bậc 2 (Giả sử tham số là m) ta có thể thực hiện theo các bước sau: - Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 là: - áp dụng hệ thức Viet ta được (*) - Khi m từ hệ (*) ta được hệ thức cần tìm (Sử dụng phép thế hoặc cộng). 2. Ví dụ: a. Cho phương trình (m - 1)x2 - 2(m - 4)x + m - 5 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình không phụ thuộcm (Độc lập với m). Giải: Trước hết tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 là: Û Û Û Khi đó theo Viet phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: Û Û 2 (x1 + x2) - 3x1x2 = 1 (Không chứa m). Đó chính là hệ thức cần tìm. b. Cho phương trình: (m2 + 1)x2 - 2mx + 1 - m2 = 0. * CMR với mọi m > 1 phương trình luôn có nghiệm. * Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm độc lập với tham số m. Giải: * Ta có: a = m2 + 1 > 0 (m2 ³ 0) nên phương trình đã cho là1 phương trình bậc 2 ẩn x tham số m. Mặt khác, C = 1 - m2 1 ị m2 > 1). Như vậy: a và c trái dấu ị ac 1. * áp dụng hệ thức Viet có: (*) - Khử m từ hệ (*) bằng nhận xét: = Vậy ta có hệ thức cần tìm là: (x1 + x2)2 + (x1.x2)2 = 1 iv. tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm liên hệ với nhau bởi 1 hệ thức cho trước (điều kiện cho trước): 1. Phương pháp: Có thể thực hiện các bước: * Bước 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có nghiệm x1, x2. * Bước 2: áp dụng hệ thức Viet, ta có: (*) * Bước 3: Kết hợp (*) với điều kiện (Hệ thức cho trước) suy ra phương trình có ẩn là tham số từ đó tìm được tham số. (Chú ý cần đối chiếu tham số cần tìm được với điều kiện để phương trình đầu có nghiệm số). 2. Các ví dụ: a. Tìm m để phương trình: 3x2 + 4 (m - 1)x + m2 - 4m + 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1. x2 thoả mãn: Giải: * Trước hết phương trình phải có 2 nghiệm phân biệt x1, x21 ạ 0 nên phải có: D’ > 0. Û 4 (m - 1)2 - 3 (m2 - 4m + 1) > 0 Û m2 + 4m + 1 > 0. Û m -2 + (*) * Theo hệ thức Viet ta có: ; (m2 - 4m + 1 ạ 0) Û m ạ 2 ± (**) Từ hệ thức của x1, x2 ta có: Û x1 + x2 = 0 (1) hoặc (2) - Từ (1) có: - Từ (2) có: Û m2 - 4m + 1 = 6 Û m2 - 4m - 5 = 0 Û * Kết hợp các giá trị của m với điều kiện: (*) (**) ta được m = 1 ; m = 5. Như vậy: Với m = 1 hoặc m = 5 thì phương trình đã cho thoả mãn đầu bài (Chú ý: Có thể tìm m từ hệ hỗn hợp sau: Khi có: nếu chia cho x1 + x2 sẻ làm mấy nghiệm) b. Cho phương trình: x2 + bx + c = 0 có các nghiệm x1, x2; phương trình: x2 - b2x + bc = 0 có các nghiệm x3, x4. Biết x3 - x1 = x4 - x2 = 1. Tìm b và c. Giải: * Trước hết phải có: (*) * Theo giả thiết và theo hệ thức Viet có: Û (Vì x3 = x1 + 1 ; x4 = x2 + 1) Từ (1) và (3) có: b2 + b - 2 = 0 Û (b - 1) (b + 2) = 0 Û Từ (4) có: x1x2 + x1 + x2 + 1 =bc Û c - b + 1 = bc (5) - Với b = 1 thì (5) đúng khi đó phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 + x + c = 0 Có nghiệm nếu D = 1 - 4c ³ 0 Û Phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - x + c = 0 cũng có nghiệm nếu : - Với b =- 2 (5) trở thành c + 3 = - 2c ị c = - 1 Khi đó phương trình: x2 - b2x + bc = 0 trở thành x2 - 4x + 2 = 0 có nghiệm là . Phương trình: x2 + bx + c = 0 trở thành x2 - 2x - 1 = 0 có nghiệm là * Kết luận: (b = 1 ; ) hoặc (b = - 2 ; c = - 1) (Vì các giá trị này thoả mãn điều kiện (*)) c. Tìm m để phương trình: mx2 - 2 (m - 1)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1. x2 thoả mãn x1 + 2x2 = 1. Giải: Có thể giải hệ hỗn hợp sau để tìm m: Û Û Û m = 2 hoặc m = d. Tìm các số p và q của phương trình: x2 + px + q = 0 sao cho các nghiệm của nó thoả mãn: Giải: * Trước hết phải có điều kiện: D > 0 Û p2 - 4q > 0 Giải hệ sau: Từ (3) có: (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2 = p2 - 4q = 25 (5) Từ (4) có: ị (x1 + x2)2 - x1x2 = p2 - q = 7 (6) Kết hợp (5) và (6) ta có: (*) Giải được q = - 6 ; p1, 2 = ± 1 Nghiệm của hệ (*) là: ; thoả mãn điều kiện: p2 - 4q > 0 Kết luận: hoặc e. Xác định tham số m sao cho phương trình: 2x2 - 3(m + 1)x + m2 - m - 2 = 0 có 2 nghiệm trái dấu mx2 - 2 (m - 2)x + 3 (m - 2) = 0 có 2 nghiệm cùng dấu Giải: (1) Có 2 nghiệm trái dấu Û m2 - m - 2 < 0 Û (m + 1) (m - 2) < 0 Û - 1 < m < 2 (2) Giải Û - 1 Ê m < 0 V. Thiết lập phương trình bậc 2: * Ta thiết lập 1 phương trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet). Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P ³ 0) * Các ví dụ: 1. Gọi a, b là các nghiệm của phương trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không phải phương trình hãy thành lập phương trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là: và . * Giải: Theo định lý Viet ta có: với a ạ 1 và b ạ 1. Ta có: = Vậy và là nghiệm của phương trình Hay phương trình: 21X2 - 23X + 6 = 0 * Chú ý: Có thể giải bài toán trên bằng cách lập phương trình tích rồi đưa về phương trình bậc 2 cần tìm. 2. Cho a là số thực sao cho a + 1 ạ 0. Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn các hệ thức: 4x1x2 + 4 = 5 (x1+ x2) (1) (x1 - 1) (x2 - 1) = (2) Giải: * Để lập được 1 phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1 ; x2 ta phải tìm được x1 + x2 và x1.x2 theo a. Ta có: (2) Û x1.x2 - (x1 + x2) + 1 = Û x1.x2 - (x1 + x2) = (3) (1) Û 4x1x2 - 5 (x1 + x2) = - 4 (4) Từ (3) và (4) ị ị x1, x2 là nghiệm của phương trình: hay (a + 1)x2 - 4x + 4 - a = 0. 3. Viết phương trình bậc 2 có nghiệm x1; x2 thoả mãn: * Ta cần tìm được x1 + x2 và x1 .x2 theo k. Đặt x1 + x2 = S ; x1.x2 = P, ta có: Û Phương trình cần tìm là x2 + 2kx - 3k + 1 = 0 ( ĐK: S2 - 4P ³ 0 Û k2 + 4k - 1 ³ 0) * Qua các ví dụ trên ta đã vận dụng định lý Viet đảo để lập 1 phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm cho trước hoặc hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm. Song cần chú ý điều kiện S2 - 4P ³ 0. vi. xét dấu các nghiệm số: 1. Phương pháp: Dùng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0) dựa trên kết quả: * Nếu Û phương trình có 2 nghiệm trái dấu x1 < 0 < x2 * Nếu Û phương trình có 2 nghiệm cùng dấu. * Nếu Û phương trình có 2 nghiệm dương 0 < x1 Ê x2 * Nếu Û phương trình có 2 nghiệm âm: x1 Ê x2 < 0 2. Các ví dụ: a. Cho phương trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - 4 = 0 (1) Xác định m để phương trình: - Có đúng 1 nghiệm âm - Có 2 nghiệm đối nhau. Giải: Xét 2 trường hợp: * TH1: Với m =0 ta có: (1) Û - 6x - 4 = 0 Û là nghiệm âm duy nhất của phương trình. * TH2: Với m ạ 0 khi đó để (1) có đúng 1 nghiệm âm cần điều kiện là: Û Û Û Vậy m ẻ (0; 4] hoặc m = thì phương trình có đúng 1 nghiệm âm. b. Cho phương trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + 3 = 0 (1) * Tìm m để phương trình (1) có nghiệm. * Xác định dấu của các nghiệm x1, x2 (x1 Ê x2) với các giá trị tìm được của m. Giải: * Vì (1) là phương trình bậc 2 ẩn x tham số m có nghiệm số Û D’ ³ 0 Û (m - 1)2 - 2 (m2 - 4m + 3) ³ 0 Û - m2 + 6m - 5 ³ 0 Û m2 - 6m + 5 Ê 0 Û (m - 1) (m - 5) Ê 0 Û 1 Ê m Ê 5. * Theo hệ thức Viet có: P = x1x2 = S = x1 + x2 = m - 1 - Xét dấu của P = x1.x2. Ta có: m2 - 4m + 3 = 0 Û m = 1 hoặc m = 3 m 1 3 x1x2 + 0 - 0 + Nếu m = 1 thì p = 0 và s = 0 ị x1 = x2 = 0 Nếu m = 3 thì p = 0 ; s > 0 ị 0 = x1 < x2 Nếu 3 0 ; s > 0 ị 0 < x1 < x2 Nếu 1 < m < 3 thì p < 0 ị x1 < 0 < x2. c. Tìm giá trị của m để phương trình: (m - 1)x2 + 2x + m = 0 (1) có ít nhất 1 nghiệm không âm. * Giải: * Nếu m = 1 ị x = < 0 vậy m = 1 (loại) * Nếu m ạ 1 thì (1) là 1 phương trình bậc 2. D’ = - m2 + m + 1 ị có nghiệm Û D’ ³ 0 Û m2 - m - 1 Ê 0 Û Ê m Ê * Xét S = có 2 trường hợp: - Nếu m 0 ị (1) có ít nhất 1 nghiệm dương - Nếu m > 1 ị S 1 ị P > 0 kết hợp với S 1. * Kết luận: Giá trị của m cần tìm là: Ê m < 1. * Cách giải 2: Xét - (1) có nghiệm x = 0 Û P = 0 Û m = 0 (1) - (1) có 2 nghiệm trái dấu Û P < 0 Û 0 < m < 1 (2) - (1) có 2 nghiệm dương Û Û Û Ê m < 0 (3) Từ (1), (2), (3) ị Ê m < 1 ứng dụng khác I. Phương trình đường thẳng (d): y = ax + b (a ạ 0) với Parabol (P): y = mx2 (m ạ 0): 1. Dạng 1: Lập phương trình đường thẳng y = ax + b (a ạ 0) đi qua 2 điểm A (xA; yA); B (xB; yB) thuộc Parabol y = mx2 (m ạ 0) * Cơ sở lý luận: Do đường thẳng và Parabol có 2 giao điểm nên hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình: mx2 = ax + b Û mx2 - ax - b = 0. Từ đó theo Viet ta có: (*) Từ (*) tìm a và b ị PT (d) 2. Dạng 2: Lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với Parabol (P) tại điểm M (xM; yM) * Cơ sở lý luận: Do (d) và (P) có duy nhất 1 giao điểm nên phương trình: mx2 - ax - b = 0 có nghiệm kép: x1 = x2. Vận dụng hệ thức Viet, ta có: ị a và b ị phương trình tiếp tuyến. 3. Ví dụ: a. Cho parabol (P) có phương trình: (P): y = x2. Gọi A và B là 2 điểm ẻ (P) có hoành độ lần lượt là xA = - 1 ; xB = 2. Lập phương trình dường thẳng đi và A và B. * Giải: (Ta có thể ứng dụng hệ thức Viet). * Giả sử phương trình đường thẳng (AB): y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm của (AB) và (P) là: x2 = ax + b Û x2 - ax - b =0 (*). Ta có: xA = - 1 ; xB = 2 là nghiệm của phương trình (*). Theo Viet ta có: Û Vậy phương trình đường thẳng (AB) là: y = x + 2 b. Cho (P): ; A ẻ (P) có hoành độ xA = 2 lập phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) tại A. Giải: Giả sử phương trình tiếp tuyến tại A là (d): y = ax + b. Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: = ax + b Û x2 - 4ax - 4b = 0 (*) Ta có: xA = 2 là nghiệm kép của (*) (x1 = x2 = 2) Theo Viet ta có: ị Vậy phương trình tiếp tuyến (d) là: y = x - 1 ii. bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: 1. Từ hệ thức S = x1 + x2 ; P = x1.x2. a. Nếu S = x1 + x2 không đổi còn P thay đổi. Do: S2 - 4P ³ 0 Û P Ê Nên Pmax = Û x1 = x2 = (Vì PT: x2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép) * Vậy: Nếu 2 số có tổng không đổi tích lớn nhất Û 2 số bằng nhau. b. Giả sử: x1 > 0 ; x2 > 0 và x1.x2 = P (không đổi) còn S = x1 + x2 (thay đổi) vì S2 - 4P ³ 0 Û (S - ) (S +) ³ 0 Û S - ³ 0 Û S ³ ị> Min S = Û x1 = x2 = * Vậy: Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. 2. Tìm cực trị của biến số trong hệ điều kiện ràng buộc. a. Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số thực thoả mãn điều kiện: Tìm GTNN của a (Xác định b, c khi a min) * Giải: Từ giả thiết bài toán ta có: Theo Viet: b, c là nghiệm của phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = 0 ị D = (a3 - a)2 - 4a2 ³ 0 Û a2 [(a2 - 1)2 - 4] ³ 0 Û (a2 - 3) (a2 + 1) ³ 0 Û a2 - 3 ³ 0 Û a2 ³ 3 ị a ³ (a > 0) ị min a = tại b = c = Vậy: amin = tại b = c = * ở bài toán trên do vai trò của a, b, c như nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c. Mặt khác, trong bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức Viet là S2 - 4P ³ 0 (Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2) từ đó suy ra GTNN. iii. bài toán chứng minh bất đẳng thức: * Liên quan tới nghiệm của 1 phương trình bậc 2 ta có thể sử dụng hệ thức Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa các nghiệm của 1 phương trình bậc 2 đã cho. Hoặc chứng minh các bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trước. 1. Ví dụ 1: Cho phương trình: mx2 - (m + 2)x + 1 = 0 (1) (m là tham số). a. Chứng minh rằng (1) có nghiệm với mọi m. b. Giả sử (1) có 2 nghiệm là a và b. Chứng minh rằng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2 ³ Giải: a. Với m = 0 thì (1) trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = (Phương trình có nghiệm với m = 0). Với m ạ 0: ị (1) là 1 phương trình bậc 2 có D = (m + 2)2- 4m = m2+ 4 > 0 "m ị (1) có nghiệm với "m ạ 0 * Vậy (1) có nghiệm với "m. b. Muốn phương trình đã cho (1) có 2 nghiệm a, b thì m ạ 0. Do a, b là các nghiệm của (1) nên theo Viet ta có: a + b = Đặt: X = am - 1; Y = bm + 1 ị X + Y = m(a + b) ị X + Y = m(m + 2) : m = m + 2 Chứng minh được: 2 (X2 + Y2) ³ (X + Y)2 với mọi X, Y ị X2 + Y2 ³ (X + Y)2 / 2 "X, Y Thay: X + Y = m + 2 ta có: X2 + Y2 ³ (m + 2)2 /2 Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 ³ (m + 2)2 /2 2. Ví dụ 2: Cho x, y, z thoả mãn (*) Chứng minh rằng: 1 Ê x, y, z Ê Giải: Từ hệ (*) ta có: Û Theo Viet: y. z là nghiệm của phương trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8) = 0 Vì phương trình trên có nghiệm ị D ³ 0 Û (5 - x)2 - 4 (x2 - 5x + 8)³ 0 Û - 3x2 + 10x - 7 ³ 0 Û 3x2 - 10x + 7 Ê 0 Û 1 Ê x Ê Bằng cách chứng minh tương tự ta có: 1 Ê y, z Ê * ở bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại 2 số y và z chính là điều kiện phương trình (*) có nghiệm số là D ³ 0 hay S2 - 4P ³ 0. Từ đó suy ra các bất đẳng thức cần chứng minh. Các biện pháp thực hiện Xây dựng hệ thức Vi-ét - Sau khi học xong công thức nghiệm của PT bậc 2 tổng quát GV hướng dẫn HS tìm ra mối quan hệ giữa các nghiệm số với các hệ số thông qua biểu thức: x1 + x2 = ?; x1. x2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm các mối liên hệ khác để khẳng định giá trị của 2 hệ thức trên. 2. Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo của định lý và gợi ý cách chứng minh MĐ: Nếu có x1 + x2 = và x1. x2 = thì x1; x2 là nghiệm của PT bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ạ 0). Hướng dẫn: f(x) = ax2 + bx + c = a (x2 + x + ) = = a (x – x1)(x – x2) Vì a ạ 0 nên f(x) = 0 Û x = x1 hoặc x = x2 ị kết luận 3. Vận dụng định lý đảo của định lý Vi-ét vào bài toán tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: a + b = S; a . b = P (S2 – 4P ³ 0) ị a, b là nghiệm của PT bậc 2: x2 – sx + p = 0 Lưu ý: Trước hết xét s2 – 4p để khẳng định có tồn tại a và b hay không tồn tại a và b. Tuy nhiên nếu có 2 số x1; x2 là nghiệm của hệ PT: x1 + x2 = s và x1x2 = p thì khẳng định được ngay x1 và x2 là nghiệm của PT: t2 – st + p = 0 4. Tiến hành thường xuyên việc nhẩm nghiệm 1phương trình bậc2 trong các trường hợp: a+b+c= 0; a-b+c=0 Từ đó hình thành thói quen quan sát các hệ số của 1pt bậc2 tiến hành nhẩm nghiệm nếu có; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ bằng cách Nhẩm nghiệm trước khi sử dụng công thức tổng quát; Tạo thói quen sử dụng ht Vi-ét để kiểm tra nghiệm pt bậc 2 5. Xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng Vi-ét ngay sau khi học xong bài “Hệ thức Vi-ét và ứng dụng”. Gồm các bài toán: - Không phải phương trình bậc 2 mà tính tổng, tích các nghiệm; tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa 2 nghiệm. Không đối xứng giữa 2 nghiệm - Cho trước 1 nghiệm số của phương trình bậc 2 Tìm nghiệm còn lại và tham số. -