Chuyên đề Cách giải bài toán chuyển động bằng đồ thị

Trường ĐH Sài Gịn Trường TH Thực Hành Sài Gịn CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI ĐỀ TÀI : CÁCH GIẢI BÀI TOÁN CHUYỂN ĐỘNG BẰNG ĐỒ THỊ Tác giả : Huỳnh Minh Hải Giáo viên Vật lý I – ĐẶT VẤN ĐỀ : Các bài thi học sinh giỏi cấp Thành phố thường có ít nhất một bài toán chuyển động, để giải bài toán này học sinh không những phải nắm chắc kiến thức Vật Lý ở chương trình Vật Lý lớp 7 chuyên mà còn có kỹ năng vẽ đồ thị trong chương trình toán lớp 7 – lớp 9 và giải toán hình học lớp 8. Để giúp các em học sinh tiếp thu và vận dụng được cách giải các bài toán chuyển động bằng đồ thị, tôi đưa ra một số dạng toán cơ bản của các bài tập điển hình có trong chuyên đề này. II – KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN THIẾT : Học sinh phải nắm chắc các khái niệm sau : 1). Trạng thái chuyển động : được xác định bởi Quỹ đạo : quãng dường (s), toạ độ (x) Vận tốc : Thời gian : 2). Diễn tả trạng thái chuyển động bằng các biểu thức là các hàm số theo thời gian (chuyển động đều) 3). Các quỹ đạo của các bài toán chuyển động : trong chương trình THCS các chuyển động được khảo sát thường có quỹ đạo thẳng hoặc tròn. 4). Phương trình chuyển động tổng quát : x’ O M0(t0) M(t) x v x0 x (hình 1) Trên trục tọa độ x’Ox, giả sử một động tử chuyển động thẳng đều với vận tốc v đi qua vị trí M0 lúc t0 và đi qua M lúc t thì : Gọi tọa độ ban đầu của động tử (lúc t0) tọa độ lúc sau của động tử (lúc t) (*) (*) được gọi là phương trình chuyển động hay phương trình tọa độ, đường biểu diễn của phương trình này trong hệ trục tọa độ vuông góc Otx là một đường thẳng đi qua hai điểm P(t1,x1) và Q(t2,x2). Nếu chọn chiều dương là chiều trục x’Ox thì : v > 0 nếu chuyển động cùng chiều dương v < 0 nếu chuyển động ngược chiều dương x(m) x = x0 + v(t – t0) (v > 0) x2 x1 x0 O t1 t2 t(s) x = x0 + v(t – t0) (v < 0) (hình 2) CHÚ Ý : Các chuyển động đều cùng chiều với vận tốc bằng nhau có đồ thị là những đường thẳng song song (hình 3) Khi một động tử dang chuyển động đột ngột đổi hướng với vận tốc không đổi thì đồ thị là những đường thẳng đối xứng qua một trục song song với trục Ox tại thời điểm động tử bắt đầu đổi chiều (hình 4) x x1 = x01 + v(t – t0) x2 = x02 + v(t – t0) x01 x02 O t (hình 3) x v1 = v>0 v2 = v<0 x0 O t (hình 4) III – CÁC BÀI TOÁN MINH HỌA : BÀI TOÁN 1 (BÀI TOÁN CƠ BẢN) : Đang đi dọc trên sông, một ca nô gặp một chiếc bè dang trôi. Ca nô đi tiếp một lúc rồi quay lại và gặp bè lần thứ hai. Chứng minh rằng thời gian t1 từ lúc gặp lần một đến lúc ca nô quay lại bằng thời gian t2 từ lúc quay lại đến lúc gặp lần hai. Coi vận tốc v1 của nước so với bờ và vận tốc v2 của ca nô so với nước không đổi. GIẢI x B’ B l2 l C C’ l1 A O t (hình 5) t1 t2 : đồ thị biểu diễn chuyển động của ca-nô đi xuôi dòng rồi ngược dòng.: đồ thị diễn tả chuyển động của bè trôi theo dòng nước. vận tốc dòng nước. vận tốc ca nô đối với dòng nước : quãng đường ca-nô đi xuôi dòng : quãng đường ca-nô đi ngược dòng : quãng đường bè đi xuôi dòng Trên đồ thị ta có : Bài toán cơ bản này dùng để giải nhiều loại toán khác như bài 1 đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố năm học 1995 – 1996 (ngày thi 13/12/1995). Để đo vận tốc nước chảy ở sông, một người chèo thuyền làm thí nghiệm như sau : ông ta thả 1 mẩu gỗ xuống nước đồng thời bơi thuyền xuôi theo dòng nước. Qua 40 phút, ông ta bơi tới 1 điểm A cách chổ thả mẩu gỗ lúc trước 1 km. Sau đó ông quay thuyền bơi ngược dòng đón vớt được mẩu gỗ rồi lại quay thuyền bơi xuôi dòng. 24 phút sau ông lại tới điểm A. Hỏi vận tốc của dòng nước? Cho biết vận tốc của dòng nước và vận tốc của thuyền đối với nước là không đổi. x ( km ) A’ A DA l1 l C’ C l2 B O t( h ) (hình 6) t1 t2 t3 LƯỢC GIẢI Chứng minh như bài toán 1, ta được 40 phút = Vận tốc xuôi dòng : Quãng đường từ lúc vớt mẩu gỗ đến lúc trở lại A : Suy ra, quãng đường bơi ngược dòng của thuyền : Quãng đường bè trôi : Vận tốc ngược dòng của thuyền : Suy ra hệ phương trình : Giải ra : Vận tốc dòng nước là 0,3 km/h. BÀI TOÁN 2 : Hai động tử I và II chuyển động thẳng đều, ngược chiều nhau từ hai điểm A, B cách nhau một khoảng l, lần gặp nhau thứ nhất cách A 3 km. Động tử I đến B rồi quay lại ngay, động tử II đến A quay lại ngay. Lần gặp nhau thứ hai của chúng cách B 1 km. Hỏi quãng đường AB bằng bao nhiêu km? x (km) B B’ D D’ l C C’ l1 AO t( h ) (hình 7) A’ GIẢI : : đường biểu diễn của động tử I. và nằm trên 2 tia đối xứng nhau qua trục // Ox đi qua . : đường biểu diễn của động tử II. và nằm trên 2 tia đối xứng nhau qua trục // Ox đi qua . Căn cứ trên đồ thi ta nhận thấy (vị trí gặp lần thứ nhất), (vị trí gặp lần thứ hai). Mặt khác, căn cứ trên đồ thị ta cũng thấy sau lần gặp nhau thứ nhất, tổng quãng đường cả hai xe đi được là . Từ lần gặp thứ nhất đến lần gặp thứ hai tổng quãng đường hai xe đã đi được là . Vậy từ lúc đầu đến lúc gặp lần hai, tổng quãng đường 2 xe đã đi là Trên mỗi đoạn AB động tử I đã đi được 1 quãng đường là : Vậy trên 3 đoạn AB, động tử I đã đi : Trên đồ thị, ta thấy : Vậy Bài tập tương tự : Đề kiểm tra vào lớp chuyên Toán – Lý trường PTTH Lê Quý Đôn năm học 2001 – 2002. Hai thuyền chở khách xuất phát từ hai bến sông A và B ngược chiều nhau, vận tốc dòng sông không đáng kể. Hai thuyền gặp nhau lần I cách bến A 3 km, khi đến bến mỗi thuyền nghỉ lại đó 10 phút để rước khách rồi quay về. Lần gặp thứ II cách bến 1 km. Hỏi khoảng cách giữa 2 bến AB? LƯỢC GIẢI x B’ B” B l2 D D’ l C C’ l1 AO t (hình 8) A’ A” Bằng cách giải tương tự như bài toán 2, cần chú ý vẽ đồ thị biểu diễn thời gian nghỉ bằng nhau của 2 thuyền (10 phút). Đồ thị AB’B”D’ biểu diễn đường đi của thuyền A, đồ thị BA’A”D’ biểu diễn đường đi của thuyền B. Căn cứ trên đồ thị ta vẫn có tổng quãng đường 2 thuyền đã đi là 3AB = 3l. Lý luận tương tự như bài trên ta vẫn có AB = 8 km. BÀI TOÁN 3 : (Câu 1 đề thi học sinh giỏi cấp Thành phố ngày 06/01/1994 – vòng 2) Có hai ca nô làm nhiệm vụ đưa thư giữa hai bến sông A và B cùng một bờ, cách nhau 60 km. Hàng ngày vào lúc qui định, hai ca nô rời bến cùng lúc, chạy đến gặp nhau, trao đổi thư rồi quay trở lại. Ca nô khởi hành từ A đi về mất 1 giờ 30 phút và ca nô kia phải 3 giờ mới trở lại bến cũ. Biết rằng hai ca nô có cùng vận tốc đối với nước và nước chảy với vận tốc không đổi. a). Vẽ đồ thị chuyển động của hai ca nô. b). Tính vận tốc của nước và của ca nô đối với nước. c). Tìm vị trí ca nô gặp nhau. d). Muốn cho hai ca nô đi và về mất thời gian giống nhau thì ca nô ở B phải xuất phát muộn hơn ca nô ở A một khoảng thời gian bằng bao nhiêu? LƯỢC GIẢI x (km) B” B60 B’ M M’ C C’ AO 1,5 A” 3 t (h) (hình 9) Vì các ca nô chuyển động thẳng đều nên các đồ thị đều là những đường thẳng. Gọi là vận tốc ca nô đối với nước, là vận tốc dòng nước so với bờ. Suy ra vận tốc xuôi dòng : ngược dòng : Mặt khác, vận tốc lúc đi của ca nô A lại bằng vận tốc lúc về của ca nô B nên các đoạn đồ thị nằm trên cùng đường thẳng. Từ đó rút ra cách vẽ : a). Đồ thị AC’A’ biểu diễn đường đi của ca nô A lúc đầu. Đồ thị BC’B’ biểu diễn đường đi của ca nô B lúc đầu. b). Từ đồ thị suy ra Vận tốc ca nô khi xuôi dòng : Vận tốc ca nô khi ngược dòng : Giải hệ phương trình : ta được c). Chọn trục Ox có chiều dương từ OA đến B, gốc thời gian lúc 2 ca nô bắt đầu rời bến : xét 2 ca nô từ bến đến nơi gặp nhau Ca nô A Ca nô B Phương trình chuyển động có dạng (km; h) (km; h) Khi 2 ca nô gặp nhau, tọa độ của chúng trùng nhau nên : vị trí 2 ca nô gặp nhau Chổ gặp nhau cách A 20 km d). Gọi B” là vị trí ứng với thời điểm ca nô B đã khởi hành muộn hơn ca nô A. Mặc khác chú ý đồ thị là hình bình hành Theo đề bài ta có : B”B’=AA” (thời gian đi về) nên ta suy ra : Vậy ca nô B phải khởi hành trễ hơn ca nô A 1 thời gian là phút. BÀI TOÁN 4 : Ba người bạn cùng khởi hành từ nơi A để đến B cách A 48 km vào lúc 5giờ. Đường đi thẳng nhưng chỉ có một xe đạp. Muốn đến B nhanh và cùng lúc, 3 người họp lại và đưa ra lộ trình đi như sau : Khi xuất phát, xe đạp chở thêm một người, người còn lại đi bộ. Đến một chổ thích hợp, người đi xe đạp thả người được chở xuống đi bộ tiếp rồi quay về rước người kia. Ba người đến B cùng lúc. a). Vẽ đồ thị chuyển động của từng người trong từng giai đoạn, biết vận tốc xe đạp là 12 km/h và của người đi bộ là 4 km/h. b). Tính sự phân bố thời gian đi của mỗi người. LƯỢC GIẢI X(km) B48 B’ C’ 16 D’ t ( h ) AO (hình 10) a). Giả sử người thứ I đi xe suốt lộ trình người thứ II đi bộ trước, người thứ III được chở trước. Vì vxe đạp = 12 km/h gấp 3 lần vđi bộ = 4 km/h nên trong cùng thời gian quãng đường đi xe đạp gấp 3 lần quãng đường đi bộ. Khi đi cùng vận tốc thì đồ thi song song nhau. Đồ thị của người đi xe đạp : AC’D’B’ Đồ thị của người thứ II : AD’B’ Đồ thị của người thứ III : AC’B’ b). Do AD’// C’B’ và AC’// D’B’ Þ tứ giác AC’B’D’ là hình bình hành, suy ra AC’ = D’B’; C’B’ = AD’ nên Theo đề bài, ta có hệ phương trình Giải ra ta được : BÀI TOÁN 5 : Hai xe 1 và 2 cùng chuyển động đều trên 1 đường tròn với vận tốc không đổi. Xe 1 đi 1 vòng hết 10 phút, xe 2 đi một vòng mất 50 phút. Hỏi khi xe 2 đi hết một vòng thì gặp xe 1 mấy lần trong các trường hợp sau : a). Khởi hành cùng lúc, tại 1 điểm trên đường tròn và cùng chiều. b). Khởi hành cùng lúc, tại 1 điểm trên đường tròn và ngược chiều. LƯỢC GIẢI : Do phút; phút khi đi hết 1 vòng nên suy ra khi xe 2 đi hết một vòng thì xe 1 đi được 5 vòng. Sau khi đi hết 1 vòng thì tọa độ của xe sẽ trùng với tọa độ ban đầu. x (m) O1 O2 O3 O4 O5 O P N M t (ph) (hình 11) 0 10 20 30 40 50 a). Trường hợp 1 : cùng chiều Đồ thị của xe 1 trên mỗi vòng được biểu diễn là những đoạn song song do có vận tốc không đổi. Căn cứ vào đồ thị, ta thấy sau khi xe 2 đi đúng 1 vòng (đoạn OO5) đã gặp xe 1 : 4 lần (M,N,P,O5) (không kể lần cùng xuất phát) x (m) O O1 O2 O3 O4 O5 M N P Q R 0 T t(ph) 10 20 30 40 50 (hình 12) b). Trường hợp 2 : ngược chiều Trường hợp này xe đi ngược chiều xe 1 nên đồ thị của xe 2 có độ dốc hướng xuống (hình vẽ) Căn cứ vào đồ thị, ta thấy sau khi 2 xe đi đúng 1 vòng (đoạn OT) đã gặp xe 1 : 5 lần (M, N, P, Q, R) IV – KẾT LUẬN : Trên đây là một số bài toán minh họa cho phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi về cách giải toán Vật Lý bằng phương pháp đồ thị đã được nghiên cứu và áp dụng từ năm học 1994 – 1995 và nhờ đó nhiều học sinh của trường đã đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Tuy nhiên, chuyên đề này chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được sự góp ý của quí thầy cô và đồng nghiệp. Thành phố Hồ Chí Minh Ngày 15 tháng 04 năm 2005