Chuyên đề Căn số và biến đổi vô tỉ

CHƯƠNG IV: CĂN SỐ VÀ BIẾN ĐỔI VÔ TỈ PHẦN I: BÀI TẬP ĐẠI SỐ SƠ CẤP Bài 4: (186) Xét biểu thức a) Rút gọn M b) Tính giá trị của M nếu và c) Tìm giá trị nhỏ nhất của M nếu Giải Điều kiện: M=: . Với và ta có: Vậy: với a = và b = thì M = . Theo bài: Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số a, b > 0 ta có: giải hệ trên ta được: Vậy: Bài 5: (187)Tính giá trị của biểu thức Trong các trường hợp: a) a > 0, b > 0 b) a < 0, b < 0 Giải Điều kiện: Với: Bài 6: (187) Rút gọn biểu thức: Giải: (điều kiện : ) Bài 13 (188) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số Giải: Gọi là một giá trị tùy ý của hàm số trên miền xác định: Có nghĩa là phương trình có nghiệm trong khoảng Hay hệ sau có nghiệm: (1) phương trình có nghiệm dương Để phương trình (1) có nghiệm thì (vì ) Ta có là nghiệm của phương trình (1) => giá trị nhỏ nhất của y là 2 tại x = Bài 14 (188) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên miền Giải: Đặt Ta có hệ phương trình sau: là một giá trị tùy ý của u - v Hệ phương trình trên có nghiệm khi đường thẳng cắt đường tròn (O, ) Vậy giá trị nhỏ nhất của y là -, giá trị lớn nhất của y là PHẦN II: BÀI TẬP THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Bài 3 (188) a) Rút gọn C b) Tìm các giá trị của x để C < C2 c) Tìm các giá trị của x để C = Giải * Phân tích a) - Trước hết ta tìm điều kiện xác định của bài toán để biểu thức có nghĩa khi mẫu thức khác 0, và biểu thức trong căn bậc 2 phải không âm tức là: - Để rút gọn C ta sẽ rút gọn tùng biểu thức trong ngoặc trước bằng cách thực hiện quy đồng mẫu thức và biến đổi: + Rút gọn: - Sau khi rút gọn từng phân thức xong => Thực hiện phép toán để rút gọn C => kết quả. b) Dựa vào kết quả câu a để giải bất phương trình: c) Dựa vào kết quả câu a để giải phương trình * Lời giải a) Điều kiện: Vậy với: thì C < C2 c) ( Điều kiện: ) Vậy với: x = 4 thì: * Khai thác bài toán - Muốn rút gọn một biểu thức ta cần phải vận dụng tổng hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết một cách linh hoạt. - Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phương trình, bất phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên, tìm GTLN,GTNN Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài. - Bài toán tương tự 1) Cho biểu thức: với x > 0; a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị của x để P < 0. Giải b) Do x > 0; nên P < 0 Vậy với x > 1 thì P < 0. 2. Cho biểu thức P = a) Rút gọn P b) Tìm giá trị của x để P < 1 Giải a) P = điều kiện: Vậy với: thì P < 1. Bài 4: (189) Tìm giá trị lớn nhất (bé nhất) nếu có của: Giải * Phân tích - Trước tiên ta phải tìm điều kiện phân thức và biểu thức trong căn có nghĩa, tức là mẫu thức phải khác 0 và biểu thức trong căn bậc 2 phải luôn dương: 4 – x2 > 0 - Nhận thấy trên tử là 1 hằng số.Vì vậy để tìm GTLN(GTNN) của biểu thức ta sẽ đánh giá mẫu - Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương 2 – x và 2 + x để giải bài toán trên. - Trước tiên ta phải tìm điều kiện để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là biểu thức trong căn phải luôn dương: - Đặt biến đổi x theo t, thay vào E. Biến đổi đưa E về dạng: với M là hằng số => GTLN(GTNN) * Lời giải điều kiện: 4 – x2 > 0 Áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số dương 2 – x và 2 + x ta có: Vậy Dmax = x = 0 đặt = t dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: t – 1 = 0 t = 1 => = 1 2x – 2003 = 1 x = 1002 Vậy minE = khi x = 1002 * Bài toán khai thác: Ta có thể áp dung bất đẳng thức côsi hoặc biến đổi về dạng với M là hằng số => GTLN(GTNN) Bài toán tương tự `1.Tìm GTNN của A = . Giải A = . = = . Ta thấy (3x – 1)2 0 nên (3x – 1) 2 +4 4 do đó theo tính chất a b thì với a, b cùng dấu). Do đó A - minA = - 3x – 1 = 0 x = . 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3. Tìm GTNN của của biểu thức : Ta có: Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số ta có : => Min A = 2 khi Bài 9 (189) Tính *Phân tích - Đây là biểu thức đại số vô tỉ. - Trước khi tính ta cần rút gọn các hạng tử để việc tính toán được nhanh gọn hơn + Ta xác định điều kiện để biểu thức có nghĩa, tức là và. Vậy điểu kiện để biểu thức có nghĩa là + Rút gọn: khai triển hằng đẳng thức và biến đổi ta được + Rút gọn: đặt làm nhân tử chung và rút gọn ta được + Từ đó quy đồng hai biểu thức đã được rút gọn biến đỏi ta được kết quả cần tính. * Giải: * Khai thác: Bằng việc phân tích, rút gọn các hạng tử, kết quả thực hiện các phép tínhsẽ nhanh hơn và chính xác hơn. Bằng phương pháp tương tự ta có thế giải các bài toán sau: Bài toán 9.1: Tính Bài toán 9.2: Tính Bài 10(189) Rút gọn: * Phân tích: - Ta cần rút gọn từng hạng tử trong biểu thức trước khi quy đồng để việc quá trình biến đổi rút gọn biểu thức được nhanh gọn hơn. + Rút gọn: nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp biến đổi ta được . + Rút gọn: nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp biến đổi ta được . + Rút gọn: đặt 4 ra làm nhân tử chung ta thấy biểu thức trong căn có dạng bình phương của một tổng: , khai căn ta được . + Biến đổi các hạng tử đã rút gọn ta được biểu thức rút gọn. * Giải: * Khai thác: Bằng việc phân tích, rút gọn các hạng tử, kết quả thực hiện rút gọn biểu thức sẽ nhanh hơn và chính xác hơn. Bằng phương pháp tương tự ta có thế giải các bài toán sau: Bài toán 10.1: Rút gọn: Bài toán 10.2: Rút gọn: Bài toán 10.3: Rút gọn: Giải: Bài toán 10.1: Bài toán 10.2: Bài toán 10.3: