Chuyên đề Chứng minh bất đẳng thức

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Khái niệm: A > B A — B > 0 ; A < B A — B < 0 A ≥ B A — B ≥ 0 ; A ≤ B A — B ≤ 0 2. Tính chất: 1) A > B và B > C A > C 2) A > B A + C > B + C. 3) A > B AC > BC nếu C > 0 và AC < BC nếu C < 0. 4) A > B, C > D A + C > B + D. 5) A > B > 0 và C > D > 0 A.C > B.D 6) A > B > 0 và n N* An > Bn. 7) A > B > 0 và n N n A n B . 8) A > B 1 1 A B nếu AB > 0. Hoặc: 1 1 A B  nếu AB < 0. B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 1. Phương pháp biến đổi tương đương Bài 1: Chứng minh: a + b ≥ ab (1) a, b > 0.(Bất đẳng thức Côsi) 2 HD: (1) a + b — ab = a b 0 (dúng). Bài 2: Chứng minh: (a + b)2 ≥ 4ab. HD: Biến dôi dưa về (a — b)2 ≥ 0. Bài 3: Chứng minh: a2 + b2 ≥ 2ab. HD: Xét hiệu, dưa về (a — b)2 ≥ 0. Bài 4: Chứng minh: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2). (Bất đẳng thức Bunhiaxcopky). HD: Biến dôi hiệu (ac + bd)2 — (a2 + b2)(c2 + d2) thành (ay — bx)2. Bài 5: Chứng minh: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca HD: Biến dôi hiệu a2 + b2 + c2 — ab + bc + ca thành (a — b)2 + (b — c)2 + (c — a)2 Bài 6: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 + 1 ≥ a + b + c + d. 2 2 2 2 HD: Biến dôi a2 + b2 + c2 + d2 + 1 — a + b + c + d thành: a 1 b 1 c 1 d 1 Bài 7: Chứng minh: a2 + b2 + c2 + d2 ≥ a(b + c + d + e) 2 2 2 2 2 2 2 2 ( b HD: Biến dôi về dạng: a — ( c + a — ( d ö ÷ + a — ( e ö ÷ + a — 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ 2 ø 2 ø 2 ø èç 2 ø Bài 8: Chứng minh: (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) HD: Biến dôi về dạng: (ay — bx)2 + (az — cx)2 + (bz — cy)2 ≥ 0 Bài 9: Chứng minh a4 + b4 ≥ ab3 + a3 b. a, b ≥ 0. é( ö2 2 ù ú HD: Biến dôi, phân tIch thành: (a — b)2(a2 + ab + b2) = (a — b)2 êça + b ÷ + 3b ú 0, Va,b . a 3 + b3  ( a + b ö3 ëêê 2 4 úû Bài 10: Chứng minh: 2 çè 2 ø÷ 2 HD: Xét hiệu, phân tIch thành nhân tử dpcm. 2 2 Bài 11: Chứng minh: a b a b . 2 2 HD: Quy dồng mẫu, xét hiệu dưa về dạng: (a — b)2 ≥ 0. 2 Bài 12: Chứng minh: a b2 c2  2 a b c 3 3 HD: Xét hiệu, dưa về dạng: (a — b)2 + (b — c)2 + (c — a)2 ≥ 0. ĐỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS Trang 1 Bài 13: Chứng minh: x y 4 xy x y  . x, y > 0. HD: Biên dôi vê (x + y)2 ) 4xy tuơng tự bài 2. Bài 14: Trong hai số sau số nào lớn hơn? Vì sao? A = 2005 + HD: Chứng minh A2 ) B2 dpcm. Bài 15: Chứng minh: a2 + b2 ) a + b — 1 . 2 2 2  2007  và B = 2 2006 . ÷ ( 1 ö HD: Biên dôi dua vê ça — ÷ ( 1 ö ÷ + çb — ÷ 0 2 ø 2 ø Bài 16: Chứng minh: a 2 + a + 1 3 a 2 + 1 2 HD: Quy dồng: 2a2 + 2a + 2 ≤ 3a2 + 3 (a — 1)2. Bài 17: Chứng minh: a) a + 1 2, Va > 0 . b) a + 1 —2, Va < 0 . a a HD: a) Vì a > 0 nên: a2 — 2a + 1 ) 0 (a — 1)2 ) 0. b) Vì a < 0: a2 + 2a + 1 ) 0 (a + 1)2 ) 0. Bài 18: Chứng minh: a) Nêu ab > 0 thì: a b 2 . b) Nêu ab < 0 thì: a b 2 . b a b a HD: a) Từ (a — b)2 ) 0 a2 + b2 ) 2ab. Chia cả hai vê của a2 + b2 ) 2ab cho ab > 0 dpcm. b) Chia cả hai vê của a2 + b2 ) —2ab cho ab < 0 dpcm Bài 19: Cho x ) y, a ) b. Chứng minh: ax + by a + b . x + y . 2 2 2 HD: Biên dôi, dua vê: (a — b)(x — y) ) 0 (dúng). Bài 20: Cho a > 0, b > 0, c > 0. Chứng minh: a + b + c ( 1 1 1ö ÷ 2ç + + ÷ . bc ca ab a b c ø HD: Do a, b, c > 0. Thực hiện quy dồng, biên dôi vê: (a + b + c)2 ) 0 (dúng). Bài 21: Cho ab ) 1. Chứng minh: 2 + a 2 + b2 1 1 + a 2 2 + 1 1 + b2 2 1 + ab  (*). HD: (*)  1 + a 2 + b2 + a 2 b2  1 + ab (a — b)2(1 — ab) ≤ 0 (dúng). x 2 y2 ( x y Bài 22: Cho x, y ≠ 0. Chứng minh: + + 4 3ç + ÷ . y2 x 2 y x HD: Dãt x + y = t y x  ( | t | ) 2 ). Bất dẳng thức viêt lại: t2 — 3t + 2 ) 0 (t — 1)(t — 2) ) 0, | t | ) 2. Bài 23: Chứng minh: (a — 1)(a — 3)(a — 5)(a — 7) + 15 ) 0, a. HD: BDT t(t + 6) + 15 ) 0 (t + 3)2 + 6 > 0, a Bài 24: Chứng minh: (x — 1)(x — 3)(x — 4)(x — 6) + 10 > 0, x. HD: Làm tuơng tự bài 23. Bài 25: Cho a, b ) 0. Chứng minh: a3 + b3 ) ab(a + b). HD: Xét hiệu dua vê bất dẳng thức: (x + y)(x — y)2 ) 0. 2. Phương pháp làm trội, ước lượng Bài 26: Chứng minh rằng tông sau dây không là số tự nhiên: S = 1 + 1 12 22  + 1 + ... + 32  1 (n 2) . n 2 HD: Dễ thấy A > 1. Mãt khác: A < 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 2 — 1 < 2  Vậy: 1<A<2. 1 1.2 2.3 (n — 1)n n Bài 27: Chứng minh: A = 1 + 1 + ... + 1 < 3 .(Vn e N* ) . 1.3 2.4 n(n + 2) 4 HD: Làm tuơng tự bài 1. Bài 28: Chứng minh: A =  1 + 1  + ... + 1  < 1 .(Vn e N* ) HD: Làm tuơng tự bài 1. 2.5 5.8 (3n —1)(3n + 2) 6 Bài 29: Chứng minh: A = 1 + 1 + ... + 1  < 1.(Vn e N* ) 1.2.3 2.3.4 n(n + 1)(n + 2) HD: Sử dụng: 1 = 1 é 1 — 1 ù ê ú n(n + 1)(n + 2) 2 ê[ n(n + 1) (n + 1)(n + 2) ú] Bài 30: Chứng minh: A = 1 + 1 + 1 + ... + 1 > 1 (n N, n > 1) n+ 1 n+ 2 n+ 3 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của tông bởi số nhỏ nhất là 1 2n A > 1 .n = 1 (dpcm). 2n 2 Bài 31: Chứng minh: B = 1 + 1 + 1 + ... + 1  1.(n N, n > 1) n n+ 1 n+ 2 n 2 HD: Thay mỗi số hạng của tông bởi số nhỏ nhất là 1  B > 1 .(n2 — n) = 1— 1 > 1(dpcm). n 2 n 2 n Bài 32: Chứng minh: C = 1 + 1 + 1 + ... + 1  < 1 (n N, n ) 2) 2! 3! 4! n! HD: A < 1 + 1 + 1 + ... + 1 = 1— 1 < 1. 1.2 2.3 3.4 (n —1)n n Bài 33: Chứng minh: D = 1 + 2 + 3 + ... + n-1 < 1 (n N, n ) 2) 2! 3! 4! n! HD: D = 2 —1 + 3 —1 + ... + n —1 = 2 — 1 + 3 — 1 + ... + n — 1 2! 3! n ! 2! 2! 3! 3! n ! n! = 1— 1 + 1 — 1 + ... + 1 — 1 = 1— 1 < 1 2! 2! 3! (n —1)! n ! n! Bài 34: Chứng minh: A = 1 + 1 22 42 + 1 + ... + 62 1 (2 n)2 < 1 (n N, n ) 1). 2 ( ö (  ( ö HD: C1: A = 1 ç1 + 1 + 1 + ... + 1 1 1 1 2 ÷ < ç1 + +  + ... + 1 1 1 ÷ = ç2 — ÷ < . 4 èç 22 32 n 2 ø÷ 4 1.2 2.3 (n —1)n èç n ø÷ ( 2 ö÷ C2: A < 1 + 1 + ... + 1 = 1 + 1 + ... + 1 = 1 ç1— 1 ÷ < 1 22 —1 42 —1 (2n 2 ) —1 1.3 3.5 (2n —1)(2n + 1) 2 çè 2n + 1÷ø 2 Bài 35: Chứng minh: 1 + 1 32 52 + 1 + ... + 72 1 < 1 (2n + 1)2 4  (n N, n ) 1). HD: Làm tuơng tự cách 2 của bài 6 dpcm. Bài 36: Chứng minh: 1 + 1 22 32 + 1 + ... + 1 42 n 2 < 2 (n N, n ) 2). 3 HD: Nhân xét: 1 < 4 = 2( 1 + 1 (1 A = 2 — 1 ö 2 < . n 2 4n 2 —1 çè 2n —1 2n + 1÷ø èç 3 2n + 1÷ø 3 Bài 37: Chứng minh: 1 1 1 1 ... 1 2 . 2 22 23 2n HD: 2A = 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + ... + 1 A = 2A — A = 2 — 1  < 2. 2 22 23 2n—1 2n Bài 38: Chứng minh: B = 1 2 3  ... 100 2 2 22 23 2100 DỖ TRUNG THÀNH — GIÁO VIÊN THCS Trang 3 HD: Làm tuơng tự bài 9, áp dụng kêt quả của bài 9 với n = 99 ta duợc: B = A — 100 < A < 2 . 2100 Bài 39: Chứng minh: B = 1 1 1 ... 1 1 33 HD: Ta có: 1 < 1 = 43 53 1 n3 = 1 ( 12 1 — 1  B < 1 . 1 = 1 . n3 n3 —1  (n —1)n(n + 1) 2 çè n(n —1) n(n + 1) ÷ø  2 6 12 Bài 40: Chứng minh: A = 1 1 1  ... 100 3 . 3 32 33 3100 4 HD: Ta có: 3A = 1 + 2 + 3 + ... + 100 Þ 2D = 1 + 1 + 1  + ... + 1 — 100 . 3 32 399 3 32 399 3100 Dãt: S = 1 + 1 + 1 3 32  + ... + 1 399  3S — S = 2S = 3 — 1 < 3 399 2D < S 4D < 2S D < 3 . 4 Bài 41: Chứng minh: 1.2 1 2.3 1 3.4 1  ... 99.100 1 2 . 2! 3! 4! 100! HD: Ta có: n(n + 1) —1 = 1 — 1 A = 1 + 1 + 1 — 1 — 1 < 1 + 1 + 1 = 2. (n + 1)! (n —1)! (n + 1)! 2 1! 2! 99 100 2 1! 2! Bài 42: Chứng minh: B = 1 1 1 1 1 1 ... 1 1  2 ( n N, n ) 1) 1.3 2.4 3.5 n(n 2) 1 (n + 1)2 HD: Nhân xét: 1 + =  . B = 22 32 . ... (n + 1)2 = n + 1 . 2  < 2 . n(n + 2) n(n + 2) 1.3 2.4 n.(n + 2) 1 n + 2 Bài 43: Chứng minh: A = 1 2 1 2 1 2 ... 1 2 1 (n N, n ) 2) HD: Nhân xét: 1— 2 6 12 20 n(n 1) 3 = (n —1)(n + 2) . Thay vào và rút gọn: A = 1 . n + 2 > 1 . n(n + 1) n(n + 1) Bài 44: Chứng minh: 1 + 1 + ... + 1  < 1 .(Vn e N* ) . n 3 3 5 13 n 2 + (n + 1)2 2 HD: Si dụng: 1 = 1 < 1 ( 1 — 1  dpcm. n 2 + (n + 1)2 2n 2 + 2n + 1 2 çè n n + 1÷ø Bài 45: Chứng minh: 1 + 1 + 1 + ... + 1 < 1 .(Vn e N* ) 1.3 1.2.4 1.2.3.5 1.2.3...n(n + 2) 2! HD: Si dụng: A = 1 = n + 1 = n + 2 —1 1.2.3...n(n + 2) 1.2.3...n(n + 1)(n + 2) 1.2.3...n(n + 1)(n + 2) = 1 — 1 = 1 — 1  dpcm. 1.2.3...n(n + 1) 1.2.3...n(n + 1)(n + 2) (k +1)! (k + 2)! Bài 46: Chứng minh: 1 + 1 + ... + 1  < 1 . n 2 + 1 n 2 + 2 n 2 + 2005 HD: Si dụng: 1 < 1 = 1 . (k = 1, 2, ..., 2005)  dpcm. n 2 + k n 2 n Bài 47: Chứng minh: 1 + 1  + ... + 1 , Vn e N* 2 1 3 2 (n + 1) n HD: 1 ( n + 1 +  n )( n + 1 — n ) 2 n + 1.( n + 1 — n ) ( 1 1 2 = < = (n + 1) n (n + 1) n (n + 1) n çèç — n n + 1 ÷ø . ( 1 1 Bài 48: Chứng minh: S = 2. +  + ... + 1  < 2005 . ç ÷ çè 3(1 + 2 ) 5( 2 + 3) 4011( 2005 + 2006) 2007 HD: Vâi n ) 1:  2 = 2( n + 1 —  n ) < 2( n + 1 —  n ) = 1 — 1 (2n + 1)( n + n + 1) 4n 2 + 4n + 1 2 n(n + 1) n n + 1 S < 1— 2 < 1— 2 = 1— 2 = n . Cho n = 2005. 4n + 4 n 2 + 4n + 4 Bài 49: Cho số A gồm 2007 số hạng sau: n + 2 n + 2 2 22 23 24 22007 1 A ... .Hãy so sánh A vâi . 2007 1 20072 1 200722 1 200723 1 200722006 1 1003 HD: Vâi các số tự nhiên m, k lân hơn 1 ta có: m m mk m mk m 2m m m 2m . k 1 k 1 k 2 1 k 2 1 k 1 k 1 k 2 1 Suy ra: A 1 22008 1 . 1003 200722007 1 1003 3. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức phụ Bài 50: Cho a, b, c là dộ dài của ba cạnh tam giác. Chứng minh: a) ab + bc + ac ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) b) abc > (a — b + c)(a + c — b)(b + c — a) c) 2a2b2 + 2b2c2 + 2a2c2 — a4 — b4 — c4 > 0. d) a2(b + c — a) + b2(c + a — b) + c2(a + b — c) ) 3abc. HD: Biên dôi, dua vê bất dẳng thức tam giác. Bài 51: Cho a, b, c là các số duơng. Chứng minh: (a2 + b2)c + (b2 + c2)a + (c2 + a2)c ) 6abc. HD: Ap dung bất dẳng thức: x2 + y2 ) 2xy dpcm Bài 52: Cho a, b, c là các số duơng. Chứng minh: ab + bc + ac  a + b + c . a + b b + c a + c 2 HD: Ap dung: (x + y)2 ) 4xy, chia hai vê cho số duơng 4(x + y): xy  x + y . Thay x, y bang 3 x + y 4 cãp số (a, b), (b, c), (c, a). Cộng vê vâi vê của 3 bất dẳng thức dpcm. a 2 b2 c2 c b a Bài 53: Chứng minh: + + + + . b2 c2 a 2 b a c HD: Ap dung x2 + y2 ) 2xy. Nhân 2 vê vâi 2, làm tuơng tự bài 3 vâi 3 cãp ( a , b ö÷,( b , c ö÷,( c , a . Bài 54: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2  + 2 + 2  1 + 1 + 1 . èç b c ø÷ çè c a ÷ø çè a b ÷ø HD: Ap dung bô dê: 4  1 + 1 a + b b + c a + c a b c cho các cãp số (a, b), (b, c), (c, a) dpcm. x + y x y Bài 55: Cho a, b, c > 0. Chứng minh: 2(a3 + b3 + c3) ) a2(b + c) + b2(b + c) + c2(a + b). HD: Ap dung bất dẳng thức: x3 + y3 ) xy(x + y) cho 3 cãp giao hoán a, b, c dpcm. 2 2 ( 1 Bài 56: Cho a, b > 0 và a + b = 1. Chứng minh: a + ( 1 ö ÷ + b +  25 . èç a ÷ø çè ÷ 2 b ÷ø  2 ( ç1 +  ö 2 1 ÷ ÷ 2 HD: Ap dung: x 2 + y2 (x + y) vâi x = a + 1 , y = b + 1 VT ) ab ø (1 + 4) = 25 . 2 a b 2 2 2 2 Cần chú ý là 1 ( a + b ö 4 vi ab ç ÷ = 1 . ab 2 ø 4 DỖ TRUNG THÀNH — GIAO VIÊN THCS Trang 5 ( Bài 57: Cho a, b > 0. Chrng minh: (a + b)ç 1 + 1 ÷ 4 . a b HD: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi: a + b 2 ab , 1 + 1 2 . a b ab ÷ ( 1 1 1ö Bài 58: a, b, c > 0. Chrng minh: (a + b + c) ç + + ÷  9 . a b c ø HD: Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số. Làm thuơng thự bài 8. Bài 59: Cho a, b, c > 0. Chrng minh: (a + b)(b +c)(c + a) ) 8abc. HD: Ap dung Bấth dãng thhrc Côsi suy ra dpcm. Bài 60: Cho a, b, c > 0. Chrng minh: bc + ca + ab a + b + c a b c HD: Viêth lại Bấth dãng thhrc: a2b2 + b2c2 + c2a2 ) abc(a + b + c). Ap dung Côsi dpcm. Bài 61: Cho a, b, c > 0. Chrng minh: a + b + c  3 . b + c a + c b + a 2 HD: Biên dôi vê thrái, Ap dung bấth dãng thhrc Côsi cho 3 số. Ta duợc: ( a b +1÷ + ç c +1÷ + ç +1÷ — 3 = 1 [(a +b) + (b+c) + (c+a)]ç 1 + 1 + 1 ÷ — 3 3 . b + c a + c b + a 2 a + b b + c c + a 2 a 2 b2 c2 a + b + c Bài 62: Cho a, b, c > 0. Chrng minh: + + . b + c a + c b + a 2 ( a 2 HD: Ap dung Côsi: ç  b + c ÷ö ( b2 + ÷ + ç + a + c ö÷ ( c2 ÷ + ç + a + b ö÷ ÷ ) a + b + c dpcm. b + c 4 ÷ø çè a + c 4 çè b + a 4 Bài 63: Cho a, b, c ) 0, a + b + c = 1. Chrng minh: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ 8 . 729 ÷ ÷ ( a + b + c ö3 ( a + b + b + c + c + a ö3 8 HD: Ap dung Côsi: abc(a + b)(b + c)(c + a) ≤ = . èç ø÷ èç 3 ø÷  729 Bài 64: Chrng minh: (p — a)(p — b)(p — c) ≤ abc 8  (a, b, c là dộ dài 3 cạnh tham giác, p là nia chu vi ). HD: Ap dung Côsi cho 3 cãp số: (p — a, p — b), (p — b, p — c), (p — c, p — a) dpcm. a 2 + b2 Bài 65: Cho a > b và ab = 1. chrng minh:  a — b  2 2 . (a — b)2 + 2ab 2 HD: Biên dôi vê thrái, áp dung bấth dãng thhrc Côsi: VT = = (a — b) + 2 2 . a — b a — b Bài 66: Cho 4 số duơng a, b, c, d. Chrng minh rang: 3 bấth dãng thhrc sau không dồng thhời xảy ra: a) a + b < c + d (1) b) (a + b)(c + d) < ab + cd (2) c) (a + b)cd < (c + d)ab (3) (Đề thi HSG cấp tỉnh năm 2005 – 2006) C1: Dãth A = c + d — a — b > 0, B = ab — ac — ad — bc — bd + cd > 0, C = abc + abd — acd — bcd > 0. Xéth phuơng thrinh P(x) = (x — a)(x — b)(x — c)(x — d) = 0 x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = 0. Phuơng thrinh P(x) = 0 có các hệ số duơng, do dó không thhể có nghiệm duơng. Theo cách dãth thhi phuơng thrinh P(x) = 0 lại có 2 nghiệm duơng a và b (vô lI) dpcm. C2: Giả si 3 bấth dãng thhrc thrên là dúng. Từ (1) và (2) (a + b)2 < ab + cd (*). Từ (2) và (3) (a + b)2cd 3ab (4) Từ (**) 4abcd < (ab + cd)ab 4cd < ab + cd ab < 3cd (5). Từ (4) và (5) dpcm.