Chuyên đề : Cực trị của hàm số bậc ba và các bài toán liên quan y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

CHUYÊN ĐỀ : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẬC BA VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Y = AX3 + BX2 + CX + D (A 0) DẠNG 1: Tìm cực trị của hàm số đa thức bậc ba Phương pháp Bước 1: Tìm TXĐ: D = R Bước 2: Tính đạo hàm y/ , rồi giải PT y/ = 0 Bước 3 :Lập bảng biến thiên rồi đưa ra kết luận dựa vào định lý 1 Ví dụ 1: Tìm các khoảng tăng , giảm và cực trị của hàm số y = x3 - 3x2 - 9x + 5 Giải: TXĐ : D = R Đạo hàm Y/ = 3x2 – 6x – 9 y/ = 0 Û 3x2 – 6x – 9 = 0 Û x = -1 hoặc x = 3 Giới hạn : y = -¥ y = +¥ Bảng biến thiên x -¥ -1 3 +¥ y/ + 0 - 0 + y -¥ CĐ CT +¥ Vậy : Hàm số ĐB / (-¥ ; -1) Và ( 3; +¥ ) Hàm số NB / ( -1; 3 ) Cực trị : xCT = 3 ; ỵ̣CT = y(3) = 10 XCĐ = -1 ; yCĐ = Y( -1) = -22 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: y = x3 - 3x2 - 9x y = -x3 + 3x2 - 5 y = x3 - 3x2 + 4x - 8 y = -x3 + 3/2 x2 + 6x - 3 y = 2x3 - 9x2 + 12x + 3 DẠNG 2 : TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ Phương pháp chung TXĐ: D = R Tính đạo hàm y/ = 3ax2 +2bx + c giải PT y/ = 0 Û 3ax2 +2bx + c = 0 (1) 1/ Hàm số không có cực trị Û y/ không đổi dấu TH1: Xét a = 0, Pt (1) có dạng 2bx + c = 0 vô nghiệm Û TH2 : Xét a ≠ 0 điều kiện là PT (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Û D £ 0 2/ Hàm số có cực trị Û y/ đổi dấu TH 1: Xét a = 0 Điều kiện : PT 2bx + c = 0 có nghiệm Û b≠ 0 TH 2 : Xét a ≠ 0 Điều kiện : PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û D/ > 0 3/ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 Û Hàm số đạt cực đại tại điểm x0 Û 4/ Hàm số đạt cực đại và cực tiểu với hoành độ thỏa mãn điều kiện K B1 : Hàm số đạt cực đại,cực tiểu Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û B2 : Viết hệ thức Viet B3 : Kiểm tra điều kiện K 5/ Hàm số có cực đại,cực tiểu và x 0 Û Hàm số có cực đại,cực tiểu và x > x Û PT (1) có hai nghiệm phân biệt và a < 0 Û Ví dụ 2 : Cho hàm số y = mx3 - (m - 1 )x2 + 3(m - 2)x + Tìm m để : Hàm số đạt cực đại tại x = 0 Hàm số có cực trị Hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1,x2 thỏa mãn x1+2x2 = 1 Hàm số đạt cực đại,cực tiểu tại điểm có hoành độ dương Hàm số có cực đại,cực tiểu và x < x Giải : TXĐ : D = R Đạo hàm y/ = mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) y/ = 0 Û mx2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) = 0 (1) a.Hàm số đạt cực đại tại x =0 Û Û Û Û m = 2 b.Ta xét 2 trường hợp TH 1 : Nếu m = 0 thì (1) Û 2x - 6 = 0 Û x = 3 Vì qua x = 3 thì y/ đổi dấu .Do đó m = 0 thỏa mãn TH 2 : Nếu m ≠ 0 Hàm số có cực trị Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û Û Û (I) Vậy hàm số có cực trị khi c.Hàm số có cực đại ,cực tiểu Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û thỏa mãn (I) Khi đó,gọi x1,x2 là hoành độ các điểm cực đại,cực tiểu,ta có Mà x1 + 2x2 = 1,ta có x1 = và x2 = - .Khi đó x1.x2 = Û - . = Û Vậy,với m= 2 hoặc m = thỏa mãn điều kiện (I) d.Hàm số đạt cực đại,cực tiểu tại điểm có hoành độ dương Û Û Û e.Hàm số đạt cực đại,cực tiểu và x 0 Û Û Û 0 < m < BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài 1: Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 1/ (ĐH Huế - KA - 98) y = x3 -3mx2 + (m - 1)x + 2 2/ y = x3 -3mx2 + 3(m2 -1)x + m HD: 1/ y/ = 3x2 - 6mx + m - 1 y// = 6x - 6m Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Û Û Û m =1 2/ y/ = 3x2 - 6mx + 3(m2 - 1) y// = 6x - 6m Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 Û Û Û m = 2 Bài 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị 1/ Y = x3 - mx2 + (m + 2)x - 1 2/ Y = x3 - mx2 + 1 3/ Y = (m+2)x3 + 3x2 + mx - 5 (CĐ Hải Quân - 98) 2/ Y = x3 - mx2 + 1 3/ Y = (m+2)x3 + 3x2 + mx - 5 (CĐ Hải Quân - 98) HD: 1/ Y/ = x2 - 2mx +m + 2 y/ = 0 Û x2 - 2mx +m + 2 = 0 (1) Hàm số có cực trị Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û D/ > 0 Û m2 - m - 2 > 0 Û 2/ Y/ = 3x2 - 2mx y/ = 0 Û x2 - 2mx = 0 Û Hàm số có cực trị Û PT y/ = 0 c0s 2 nghiệm phân biệt Û 2m ≠ 0 Û m ≠ 0 3/ Y/ = 3(m + 2)x2 + 6x + m Y/ = 0 Û 3(m + 2)x2 + 6x + m = 0 (2) *TH1: Xét m = -2, PT (2) có dạng 6x - 2 = 0 Û x = .Khi đó y/ luôn đổi dấu và hàm số đạt cực tiểu tại x = * TH2: Xét m ≠ -2 Hàm số có cực trị Û PT (2) có 2 nghiệm phân biệt Û Û Û Hợp TH1 Và TH2 ta được -3 <m < 1 thỏa mãn yêu cầu Bài 3: (ĐH Bách Khoa - 2000) Cho hàm số Y = mx3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1.Tìm m để hàm số không có cực trị ? HD : Y/ = 3mx2 + 6mx - (m - 1) y/ = 0 Û 3mx2 + 6mx - (m - 1) = 0 (1) *TH 1: Xét m = 0 thì y/ = 1 > 0,"m Þ Hàm số không có cực trị *TH 2: Xét m ≠ 0 Hàm số không có cực trị Û y/ không đổi dấu Û PT (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép Û Û Û Û Û 0 < m £ Hợp TH1 với TH2 ta được m thỏa mãn yêu cầu là 0£ m £ Bài 4 : Cho hàm số y = x3 - (m - 1)x2 + 3(m - 2)x + , với m là tham số thực Xác định m để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1 + 2x2 = 1 Ta có: Y/ = x2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) y/ = 0 Û x2 - 2(m - 1)x + 3(m - 2) = 0 (1) Hàm số có cực trị Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 Û D/ > 0 Û m2 -5m + 7> 0 (luôn đúng với "m) Khi đó ta có : Û Û 8m2 + 16m - 9 = 0 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + ( cosa - 3 sina)x2 - 8(cos2a + 1)x + 1 Xác định a để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 .CMR: x12 + x22 £ 18 Û m = TXĐ : D = R Y/ = 2x2 + 2(cosa - 3sina)x - 8(cos2a + 1) y/ = 0 Û 2x2 + 2(cosa - 3sina)x - 8(cos2a + 1) = 0 (1) Hàm số có cực trị Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 Û D/ > 0 (cosa - 3sina)2 + 16(cos2a + 1) > 0 (cosa - 3sina)2 + 32cos2a > 0,"a Khi đó Ta có: x12 + x22 = (x1 +x2)2 - 2x1.x2 = (3sina -cosa)2 - 2.(-4).(cos2a + 1) = 9sin2a - 6sina.cosa + cos2a + 8cos2a + 8 = 4cos2a - 3sin2a + 13 Vì 4cos2a - 3sin2a £ | 4cos2a - 3sin2a| £ =5 Nên x12 + x22 £ 5 + 13 = 18 (đpcm). DẠNG 3 : ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA ĐIỂM CĐ,CT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ TXĐ: D = R Tính đạo hàm y/ = 3ax2 +2bx + c giải PT y/ = 0 Û 3ax2 +2bx + c = 0 (1) Hàm số có cực đại ,cực tiểu Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt x1.x2 và là hoành độ các điểm cực trị Để xác định PT đường thẳng đi qua điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số ta thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được : Y = y/.g(x) + h(x) Suy ra y1 = h(x1), y2 = h(x2) Do đó PT đường thẳng đi qua các điểm cực đại,cực tiểu là y = h(x) Bài 1: Lập PT đường thẳng đi qua các điểm cực đại,cực tiểu của đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 - 9x Giải : TXĐ: D = R y/ = 3x2 - 6x - 9 y/ = 0 Û 3x2 - 6x - 9 = 0 Û Do đó hàm số luôn có cực đại và cực tiểu Lập PT đường thẳng đi qua điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số Cách 1: Đồ thị hàm số có các điểm cực trị là A( -1; 5) và B( 3; -27).PT đường thẳng đi qua A và B là Û y = -8x - 3 Cách 2: Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được Y = (x - 1) y/ - 8x - 3 Tọa độ các điểm A và B thỏa mãn PT : y = -8x - 3 Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số là y = -8x – 3 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: 1/ y = x3 - x2 - 94x + 95 2/ y = x3 - 3x2 - 9x - 5 3/ y = x3 - x2 - x + 3 Bài 2:(HVKT Mật Mã - 99) Tìm m để đồ thị các hàm số sau có CĐ,CT.Lập PT đường thẳng đi qua điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số y = x3 - 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m +2)x - 2m(m + 2) Giải : TXĐ: D = R y/ = 3x2 - 6(m + 1)x + 2(m2 + 7m + 2) y/ = 0 Û 3x2 - 6(m + 1)x + 2(m2 + 7m + 2) = 0 (1) Có D/ = 3m2 - 24m - 3 *Hàm số có CĐ,CT Û PT (1) có 2 nghiệm phân biệt Û D/ > 0 Û 3m2 - 24m - 3 > 0 Û *Thực hiện phép chia đa thức y cho y/ ta được : y = (x - m - 1).y/ + (-m2 + 8m + 1)x + m3 + m2 + 2m + Tọa độ các điểm CĐ,CT thỏa mãn PT: y = (-m2 + 8m + 1)x + m3 + m2 + 2m + Vậy PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số là : y = (-m2 + 8m + 1)x + m3 + m2 + 2m + BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: ĐHQG TP HCM KA - 2001: y = 3x3 + 3(m - 3)x2 + 11 - 3m ĐH TCKT - 96 : y = x3 + mx2 + 7x + 3 ĐHTS - 99 : y = 2x3 - 3(3m + 1)x2 + 12(m2 + m)x + 1 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH CÁC THUỘC TÍNH CỦA ĐIỂM CỰC TRỊ (Một số dạng câu hỏi thường gặp) Loại 1: Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT song song ( vuông góc) với đường thẳng d: y = px + q Tìm điều kiện để hàm số có CĐ,CT. Viết PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT. Giải điều kiện : k = p ( hoặc k = ) Bài 1: Cho hàm số y = x3 - 3x2 - mx + 2.Tìm m để đường thẳng (d) đi qua CĐ,CT của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d/ : y = -4x + 3 Giải : y/ = 3x2 - 6x - m Hàm số có CĐ,CT ↔ y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ↔ ∆/ =9m + 3 > 0 ↔ m>-3 (*) Gọi 2 điểm cực trị là A(x1,y1); B(x2,y2) Thực hiện phép chia y cho y/ ta được : → x1,x2 đều thỏa mãn PT: y = .Do đó,PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d : y = d // d/ m = 3 (thỏa mãn * ) Bài 2:Cho hàm số y = x3 + mx2 + 7x + 3.Tìm m để đường thẳng (d) đi qua CĐ,CT của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d/ : y = 3x - 7 Giải : y/ = 3x2 + 2mx + 7 Hàm số có CĐ,CT ↔ y/ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 ↔ ∆/ = m2 – 21 > 0 (*) Gọi 2 điểm cực trị là A(x1,y1); B(x2,y2) Thực hiện phép chia y cho y/ ta được : → x1,x2 đều thỏa mãn PT: y = . Do đó,PT đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là d : y = BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 3: Cho hàm số y = 2x3 + 3(m - 1)x2 + 6(m - 2)x - 1.Tìm m để đường thẳng (d) đi qua CĐ,CT của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d/ : y = -16x Bài 4: Cho hàm số y = x3 - mx2 + (5m - 4)x + 2.Tìm m để đường thẳng (d) đi qua CĐ,CT của đồ thị hàm số song song với đường thẳng d/ : 8x + 3y + 9 = 0 Bài 3: Cho hàm số y = x3 - 3(m - 1)x2 + (2m2 – 3m + 2)x – m(m – 1).Tìm m để đường thẳng (d) đi qua CĐ,CT của đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng d/ : x + y + 2 = 0 Loại 2: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d cho trước Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu Viết PT đường thẳng ∆ đi qua các điểm CĐ,CT Gọi I là trung điểm của AB Giải điều kiện Bài 1:(Dược 96) Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3.Xác định m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng y = x Giải : y/ = 3x2 - 6mx Ta có y/ = 0 ↔ Để hàm số có CĐ,CT thì m ≠ 0 . Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A( 0; 4m3),B(2m; 0) → = (2m;-4m3) Trung điểm I của đoạn AB có tọa độ I(m; 2m3) Đường thẳng d: y = x có một VTCP A,B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Bài 2(HVNH – 2001): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + mx . Xác định m để đồ thị hàm số có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: x - 2y – 5 = 0 Giải : y/ = 3x2 - 6x + m Hàm số có CĐ,CT có 2 nghiệm phân biệt Ta có đường thẳng đi qua các điểm cực trị có PT là y = nên hệ số góc k1 = d:x – 2y – 5 = 0 d có hệ số góc k2 = Để hai điểm cực trị đối xứng nhau qua d thì ta phải có Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là O(0;0),M(2;-4) nên trung điểm của chúng là I(1;-2).Ta thấy ,do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d. Vậy m = 0 thoả mãn đầu bài BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 3(m+1)x2 + 9x + m – 2 . Xác định m để hàm só có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = Bài 4: Cho hàm số y = -x3 + 3mx2 - 3m – 1 . Xác định m để hàm só có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = 0 Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x2 +m2x + m . Xác định m để hàm só có CĐ,CT đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = Loại 3:Tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho tam giác IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước) -Tìm điều kiện để hàm số có CĐ,CT - Viết PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT - Giải điều kiện Bài 1: Cho hàm số y= x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m3 + 4m – 1.Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho OAB vuông tại O. Giải : y/ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) y/ = 0 vuông tại O Bài 2: Cho hàm số y= x3 – 3x2 + m2 – m + 1.Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho ABC có diện tích bằng 7,với C(-2;4) Giải : y/ = 3x2 – 6x ; y/ = 0 Hàm số luôn có CĐ,CT Các điểm CĐ,CT của đồ thị hàm số là A(0;m2 – m + 1),B(2;m2 – m – 3) PT đường thẳng AB: 2x + y – m2 + m – 1 = 0 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 3: Cho hàm số y= x3 – 3mx + 2.Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho ABC có diện tích bằng ,với C(1;1) Bài 4: Cho hàm số y=2 x3 – 3(m + 1)x2 + 3mx + m3 .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho ABC vuông tại C,với C(4;0). Bài 5(ĐH Khối B – 2012): Cho hàm số y= x3 – 3mx2 + 3m3 .Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A,B sao cho OAB có diện tích bằng 48. Loại 4: Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT cắt hai trục Ox,Oy tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước) -Tìm điều kiện để hàm số có CĐ,CT - Viết PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT - Tìm giao điểm A,B của với các trục Ox,Oy - Giải điều kiện Bài 1: Cho hàm số y= x3 – 3x2 - mx + 2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân. Giải : y/ = 3x2 – 6x – m Hàm số có 2 cực trị y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt m > -3. Ta có : Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị có PT : y= cắt Ox,Oy tại OAB cân OA = OB Đối chiếu điều kiện ta có Loại 5: Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có CĐ,CT là A,B và khoảng cách giữa hai điểm A,B thoả mãn yêu cầu -Tìm điều kiện để hàm số có CĐ,CT - Tìm toạ độ các điểm A,B (có thể dùng PT đường thẳng đi qua các điểm CĐ,CT) - Tính AB Bài 1: Cho hàm số y= x3 + 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + m3 + 3m2. Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là không đổi. Giải : y/ = 3x2 + 6(m + 1)x + 3m(m + 2) y/ = 0 Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là A(-2-m;4) và B(-m;0). Ta có AB = Bài 2: Cho hàm số y= 2x3 - 3(m + 1)x2 + 6mx + m3 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A và B sao cho Giải : y/ = 6x2 - 6(m + 1)x + 6m Hàm số có CĐ,CT Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m – 1), B(m;3m2) (thoả mãn) Bài 3: Cho hàm số y= x3 - mx2 - x + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa hai điểm cực trị là nhỏ nhất. Giải : y/ = x2 - 2mx – 1 Hàm số có CĐ,CT y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt . Do đó hàm số luôn có hai điểm cực trị x1,x2.Giả sử các điểm cực trị là A(x1,y1),B(x2,y2) Ta có y = (x – m).y/ - y1 = - ; y2 = - Do đó AB2 = (x2 – x1)2 + (y1 – y2)2 = (4m2 + 4).. Dấu “=” xảy ra m = 0.Vậy Min AB = khi m = 0. Bài 4: Cho hàm số y= x3 - 3x2 + mx + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất Giải : y/ = 3x2 - 6x + m Hàm số có CĐ,CT y/ = 0 có hai nghiệm phân biệt Ta có PT đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là Đường thẳng có điểm cố định là , Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên . Ta có d(I,) = IH IA .Dấu “=” xảy ra Vậy max(d(I,)) = khi m = 1. œ­œ