Chuyên đề Cực trị đai số và ppương pháp giải

Cực trị đai số và ppương pháp giải I- Giới thiệu Khái niêm về bài toán cực trị. Đường lối chung Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất luỹ thừa chẵn. Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối. Phương pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức 3.1) Bất đẳng thức Cauchy 3.2) Bất đẳng thức Bunhiacopxki Phương pháp miền giá trị của hàm số. Phương pháp đồ thị Các dạng bài tập thường gặp Đa thức bậ nhất có chứa dấu giá trị tuyệt đối Đa thức bậc hai Đa thức bậc cao Phân thức 4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai 4.2) Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức 4.3) Các phân thức khác. Căn thức Cực trị có điều kiện Một số bài tập tổng hợp II- Kiến thức A- Khái niệm về bài toán cực trị: Trong thực tế có những bài toán yêu cầu ta đi tìm cái nhất trong mối quan hệ dã biết. Đó là việc đi tìm giá trị lớn nhất (cực đại) hay giá trị nhỏ nhất (cực tiểu) của một đại lượng gọi chung là “ Những bài toán cực trị” Một số kiến thức cơ sở: Phần Cực trị đại số Nếu mọi giá trị của biến thuộc một miền xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn lớn hơn hoặc bằng ( nhỏ hơn hoặc bằng) một số k và tồn tại giá trị của biến để A = k thì k được gọi là giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất) của biểu thức A ứng với giá trị của biến thuộc miền xác định nói trên. Ta ký hiệu max A là giá trị lớn nhất của biểu thức A. min A là giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A ta cần - Chứng minh Avới mọi giá trị của biến trên tập xác ssịnh và với k là hằng số. - Chỉ ra dấu băng có thể xảy ra với một giá trị nào đó của biến. Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A ta cần: - Chứng minh Ak với mọi giá trị của biến trên tập xác định của nó và k là hằng số - Chỉ ra dấu bằng dấu bằng có thể xả ra với một giá trị nào đó của biến Chú ý: Nếu chỉ chứng minh được Ahay Athì chưa đủ điều kiện để kết luận về giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) của biểu thức. Một biểu thức có thể chỉ có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất hoặc có cả hai. B- Đường lối chung Giả sử cho một hàm số f(x) có miền xác định D . Ta phải chứng minh a. f(x) hoặc f(x) b. Chỉ ra trường hợp x= x0 để sao cho đẳng thức xảy ra. 1) Phương pháp tìm cực trị dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn. A2 với với từ đó suy ra Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: A = 3(x- 2)2 + 15 B = (2x- 3)4- 3 C = x2- 4x + 9 Giải: a. Ta thấy : 3(x- 2)2 với mọi x => 3(x- 2)2 + 15 Dấu bằng xảy ra khi x-2 = 0 x =2 Vậy min A = 15 khi x = 2 b. Ta thấy (2x- 3)4 với mọi x => (2x- 3)4- 3 Dấu bằng xảy ra khi 2x- 3 = 0 ú x = Vậy min B = -3 khi x = c. Ta có C = x2- 4x + 9 = (x- 2)2 + 5 Vì (x- 2)2 với mọi x => (x- 2)2 + 5 Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 ú x =2 Vậy min C= 5 ú x =2 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x- 2)2 + (x- 4)2 Giải Ta có A = (x2- 4x + 4) + (x2- 8x + 16) = 2x2- 12x + 20 = 2(x2- 6x + 9)2 + 2 = 2(x- 3)2 + 2 Ta thấy 2 (x- 3)2 với mọi x => 2(x- 3)2 + 2 Dấu bằng xảy ra khi khi x- 3 = 0 ú x = 3 Vậy min A = 2 khi x = 3 Chú ý : Khi giải bài toán này học sinh có thể mắc sai lầm sau Ta có (x- 2)2 và (x- 4) 2 Từ đó suy ra A = (x- 2)2 + (x- 4)2 Vậy min A = 0 ở đây kết luận là sai vì không thể có giá trị nào của x để xảy ra đồng thời hai đẳng thức trên. Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau. A = 2005- (2x- 1)2 B = 4x- x2 + 17 C = D = Giải a. Ta có (2x- 1)2 với mọi x => A = 2005- (2x- 1)2 Dấu bằng xảy ra khi Vậy max A = 2005 khi b.Ta có B = 4x- x2 + 17 = 21 - (x2- 4x + 4) = 21- (x- 2)2 Ta thấy (x- 2)2 với mọi x => 21- ( x-2)2 Dấu bằng xảy ra khi x- 2 = 0 ú x =2 Vậy max B = 21 khi x =2 c.Ta có x2- 4x+ 9 = (x- 2)2 + 5 Vì (x- 2)2 với mọi x => (x- 2)2 + 5 Vì mẫu luôn dương nên phân thức đã cho luôn có nghĩa, tử là hằng số dương nên phân thức sẽ lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất, do đó Max C = khi và chỉ khi x = 2 d.Ta có D = = Ta có x2 + 3 với mọi x => Dấu bằng xảy ra khi khi x = 0 Vậy max D = 7 khi x = 0 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x- Giải Điều kiện xác định của biểu thức A là x – 2005 Hay D = A Ta có Dấu bằng xảy ra khi (thoả mãn điều kiện xác định của biểu thức) Vậy min A = Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = (x + 2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) Giải Ta có M = (x + 2)(x + 5)(x + 3)(x + 4) = (x2 + 7x + 10) (x2 + 7x + 12) = (x2 + 7x + 10)2 + 2(x2 + 7x + 10) + 1- 1 = (x2 + 7x + 11)2- 1 Vì Dấu bằng xảy ra khi x2 + 7x + 11= 0 Vậy min M = -1 Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. E = x2 + 2y2- 2xy- 4y + 7 Giải Ta có: E = x2 + 2y2- 2xy- 4y + 7 = (x2- 2xy + y2) + (y2- 4y + 4) + 3 = (x- y)2 + (y- 2)2 + 3 Vì (x- y)2 với (y- 2)2 với (x- y)2 + (y- 2)2 + 3 Vậy min E = 3 Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức G = x2 + 2y 2- 3z2- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2011 Giải Ta có G = (x- y + z- 1)2 + (y + z- 2)2 + (z- 1)2 + 2005 Vì (x- y + z- 1)2 với (y + z- 2)2 với ( z- 1)2 với Suy ra G = ( x-y + z- 1)2 + (y + z- 2)2 + ( z- 1)2 + 2005 Dấu bằng xảy ra khi khi Vậy min G = 2005 khi 2) Phương pháp tìm cực trị dựa theo tính chất giá trị tuyệt đối. Lí thuyết áp dụng Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu Ví dụ 1. a- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. b- Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau. Giải: a- Tìm giá trị nhỏ nhất. +) Vì Dấu bằng xảy ra khi x- 1 = 0 => x = 1 Suy ra Vậy min A = 0 khi x = 1 +) Vì Dấu bằng xảy ra khi x- 6 = 0 => x = 6 Suy ra Vậy min B =1 khi x = 6 b- Tìm giá trị lớn nhất. +) Vì Dấu bằng xảy ra khi x-3 = 0 => x= 3 Suy ra C = -2 Vậy max C = -2 khi x = 3 +) Vì Dấu bằng xảy ra khi x –2 = 0 => x = 2 Suy ra Vậy max D = 15 khi x = 2 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức. Giải áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối Dấu bằng xảy ra khi x,y cùng dấu +) Vậy ta có Dấu bằng xảy ra khi x(8- x) Lâp bảng xét dấu. x 0 8 x - + + 8- x + + - x(8- x) - 0 + 0 - Vây min E = 8 khi +) B = = Dấu bằng xảy ra khi (x-3)(5-x) (Lập bảng xét dấu như câu trên) Suy ra Vậy min B = 2 khi (Còn cách giải khác sẽ trình bày ở phần sau) Ví dụ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A= Giải Điều kiện xác định của biểu thức với Ta có A Dấu bằng xảy ra khi (x- 1)(3- x) (làm tương tự câu trên) Vậy min A = 2 khi Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau. E = (Đề thi HSG lớp 9 TP HCM năm 1991) Giải Điều kiện xác định của biểu thức: D = Ta có E Vậy max E = 2 khi 3) Phương pháp tìm cực trị nhờ Bất đẳng thức 3.1) Bất đẳng thức Cauchy Nếu cho a và b là hai số không âm thì Dấu bằng xảy ra khi a = b +) Nếu a + b = k => k ( k là hằng số) ab Dấu bằng xảy ra khi a = b = Vậy max ab khi a = b = +) Nếu a.b = p thì a+b (p là hằng số) Dấu bằng xảy ra khi a = b = Vậy min a + b = 2khi a = b = Dạng tổng quát của Bất đẳng thức Cauchy Cho n số không âm a1 ; a2 ; ; an thì Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = = an Chú ý: Từ đó ta suy ra hai mệnh đề cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất a. Nếu a1 + a2 + + an là hằng số thì (a1 a2 an) max a1 = a2 = = an b. Nếu a1 . a2 an là hằng số thì (a1+ a2+ +an) min a1 = a2 = = an Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. M = Với x > - 4 Giải TXĐ: D = M Vì x > - 4 nên x+ 4 và là hai số dương áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có Dấu bằng xảy ra khi (Vì x + 4 > 0) x= 1 thoả mãn điều kiện xác định của M Vậy min M = 10 – 4 = 6 khi x = 1 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. A = Giải TXĐ: D = Ta có A = Vì và luôn không âm với áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có Dấu bằng xảy ra khi (vì luôn dương) Vậy min M = 10- 5 = 5 khi x = 4 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B biết x,y là các số thay đổi sao cho . B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y) Giải Ta có B = (3- x)( 4- y)(2x + 3y) B = (3- x). 3(4- y)(2x + 3y) B = (6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y) Vì x,y là các số thay đổi sao cho nên 6 - 2x; 12 – 3y ; 2x + 3y là các số không âm áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có. (6 - 2x). (12- 3y)(2x + 3y) Suy ra B Dấu bằng xảy ra khi khi 6- 2x = 12- 3y = 2x + 3y Vậy max B = 36 Ví dụ 4: Cho a, b là hai số dương; các số dương x, y thay đổi sao cho Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x + y Giải Ta có áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có. Vậy C => min C 3.2) Bất dẳng thức Bunhiacopxki Bất đẳng thức Bunhiacopxki : Cho hai dãy số a1 ; a2 ;...; an ; b1 ; b2 ;....; bn ta có (a1b1+ a2b2+.. + anbn) Ê ( a12 +a22+... an2)(b12+ b22+...+ b2n) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Ví dụ 1 : Cho x,y thoả mãn x2 + 4y2= 36 . Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức A = x +2y Giải áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: (x + 2y)2 Ê (x2 + 2y2)(12 + 12) = 36.2 = 72 (x + 2y)2 Ê 72 Hay - Vậy max M= 6 khi minM = 6 khi Ví dụ 2 : Cho hai số dương a,b hai số dương x,y thay đổi sao cho . Tìm x,y để x + y đạt giá trị nhỏ nhất Giải Ta có : áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki x + y = x + y Đẳng thức xảy ra khi x= y= Vậy min(x + y)=khi x= ; y= Ví dụ 3 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức G = Biết rằng x,y,z thoả mãn x2 + y2 + z2 = 1 Giải áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có A= Vì x2 + y2 + z2 = 1 A Ê 14.1 A Ê 14 Dấu bằng xảy ra khi Vậy max G = khi 4) Phương pháp miền giá trị của hàm số Giả sử ta phải tìm cực trị của một hàm số f(x) có miền xác định (D). Gọi y0 là một gía trị nào đó của f(x) với xẻ(D). Điều này có nghĩa là phương trình f(x) = y0 ( Với xẻ(D)) .Phải có nghiệm . Sau khi giải phương trình điều kiện có nghiệm thường đưa đến bất đẳng thức m Ê yo Ê M Từ đó suy ra min f(x) = m ; xẻ(D) maxf(x) = M ; xẻ(D) Cũng có trường hợp ta chỉ tìm được gía trị nhỏ nhất mà không có giátrị lớn nhất, hoặc ngược lại Ví dụ 1 : Tìm cực trị của các hàm số a. y = 7x2 - 4x + 1 b. y= -6x2 + 5x - 2 Giải a. Hàm số xác định với "xẻR Giả sử y0 là một giá trị nào đó của y ta có y0 = 7x2- 4x + 1 => 7x2- 4x + 1- y0 = 0 (1) Do đó phương trình (1) phải có nghiệm Vậy min y= (nghiệm kép vì lúc đó ) b. Làm tương tự câu a - 6x2 + 5x - 2 - y0 = 0 - 6x2 - 5x + 2 + y0 = 0 = 25 – 24(2 + y0) ³ 0 -24 y0 - 23 ³ 0 Vậy max y = - Ví dụ 2 : Cho A = Tìm gía trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A (Đề thi học sinh giỏi toán 9 – TP Hồ chí Minh 1990 ) Giải Vì x2+1 > 0 với "x nên A xác định với mọi x Phương rình : A0(x2 + 1) = 2(x2+ x+ 1) (A0 - 2) x2 - 2x + (A0- 2) = 0 (*) Có nghiệm khi D/ = 1- (A0-2)2 ³ 0 1Ê A0 Ê 3 1, Khi A0 = 1 Từ (*) ta có - x2- 2x- 1 =0 (x+1)2 = 0 x= -1 2. Khi A0 =3 Từ (*) ta có x2- 2x + 1 =0 (x-1)2 = 0 x = 1 Vậy minA = 1 x= -1 Max A = 3 x=1 Chú ý : Bạn đọc có thể giải cách khác không dựa vào miền giá trị của hàm số 5) Phương pháp đồ thị Để làm bài tập về phương pháp này trước tiên phải vẽ được đồ thị cuả hàm số y=f(x) sau đó áp dụng một số các tính chất, chẳng hạn: Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d ngắn nhất là AH với Hẻ(d) và AH^ d Để tổng khoảng cách MA+MB ngắn nhất (M ẻ(d) A,B cố định) thì tìm A/ đối xứng với A qua đường thẳng (d) khi đó (MA+MB) ³ A/B => min (MA+MB) ³ A/B A;B thuộc parabol (P) tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất . Ví dụ 1: Cho parabol (P) : y = và đường thẳng (D) qua 2 điểm A,B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2 và 4 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) cảu hàm số trên . 2) Viết phương trình của (D) 3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng hoành độ xẻ[ -2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất . Giải: TXĐ : R x .. –2 -1 0 1 2 .. y .. 1 0 1 .. Hàm số đồng biến trong khoảng x > 0 , nghịch biến trong khoảng x < 0 Điểm cực tiểu O(0;0) Y 4 (P) Là parabol có đỉnh O, nhận trục tung làm trục đối xứng và nằm ở phía trên của trục hoành x B 1 A -2 -1 1 2 4 Giải ra phương trình đường thẳng (D) là Gọi (D’) là tiếp tuyến tại điểm Mvà song song với đường thẳng AB thì phương trình của (D’) có dạng : Phương trình hoành độ giao điểm của (D’) và (P) Để (D’) tiếp xúc với (P) thì phương trình phải có nghiệm kép. Vậy M có toạ độ M. Phương trình của (D’) là Ta phải chứng minh rằng ngoài điểm M, các điểm khác thuộc cung AB sẽ có khoảng cách tới đường thẳng AB ngắn hơn khoảng cách từ M tới đường thẳng AB; điều này tương đương với việc chứng minh (P) ở trên (D’). Thật vậy: Dấu bằng xảy ra khi x = 1 = xM Vậy tam giác ABM có diện tích lớn nhất khi M có toạ độ M. Ví dụ 2.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(-2;1) và B (2;3). Tìm trên trục hoành điểm M sao cho MA + MB nhỏ nhất. Giải y B 3 A x M 2 M’ -1 A’ Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua trục hoành. Xét một điểm M bất kỳ trên trục hoành, ta luôn có MA + MB = MA’ + MB A’B = M’A’ + M’B = M’A +M’B Vậy MA + MB M’A +M’B (M’ là giao của A’B với trục hoành) Vậy tổng MA + MB nhỏ nhất khi M M’ Phương trình của đương thẳng (d) qua hai điểm A’, B có dạng y = ax + b A’(-2;-1)(d) => -1 = a.(-2) + b => -2a + b = -12a + b = 3 B (2; 3) (d) => 3 = a.2 + b => 2a + b = 3 Vậy a,b là nghiệm của hệ Vậy phương trình của (d) là y = x + 1 Giao điểm của (d ) với trục hoành: Cho y = 0 => x + 1 = 0 hay x = -1 Vậy điểm M’ phải tìm là M’ (-1; 0) C- Các dạng bài tập thường gặp 1- Đa thức bậc nhất có chức giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức. với a < b Giải +) áp dụng Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ta có: Dấu bằng xảy ra khi giải ra ta được Vậy min E = b – a khi +) Đặt Thì ta có F = F1 + F2 do đó F sẽ nhỏ nhất khi đồng thời F1 và F2 nhỏ nhất. Theo câu trên ta có min F1 = 5 – 2 = 3 khi min F2 = 4 - 3 = 1 khi Vậy min F = 3 + 1 = 4 khi +) Tương tự câu trên min ) = 2006- 1 = 2005 khi min ) = 2005- 2 = 2003 khi min ) = 2004- 3 = 2001 khi min ) = 2003- 4 = 1999 khi ................................................................... min ) = 1002- 1003 = 1 khi Vậy min G = 2005 + 2003 +.. + 1 = 10032 khi Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức. C = D = Giải: a. Vì với mọi x. Dấu bằng xảy ra khi Vậy maxC = 2005 khi b. Vì với Vậy max D = 4 khi x = 2 Bài tập áp dụng 1) Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức. A = B = ( C = D = E = F = G = H = I = (với a < b < c) J = K = 2) Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức. A = B = C = D = E = F = G = H = I = J = 2- Đa thức bậc hai: Ví dụ 1: a. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức y = 6x – x2 + 13 b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = 3x2 – 4x +2 c. Tìm cực trị của C= ax2 + bx + c Giải Ta có thể tìm cực trị của loại toán này bằng phương pháp miền giá trị hay dựa vào tính chất luỹ thừa chẵn hoặc dực vào phương pháp đồ thị a. Tìm theo phương pháp miền giá trị của hàm số. Ta coi y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = 6x- x2 + 13 x2 - 6x + y0- 13 = 0 (1) Do đó phương trình (1) phải có nghiệm Suy ra ’ = (-3)2- (-13 + y0) 0 9 + 13- y0 0 y0 22 y0 = 22 thì phương trình có nghiệm kép x = Vậy max y = 22 khi x = 3 b. Ta gọi y0 là một giá trị nào đó của y để y0 = 3x2 - 4x + 12 3x2- 4x + 12 - y0 = 0 (1) Do đó phương trình (1) phải có nghiệm Suy ra ’ = (-2)2- 3(12 - y0) 0 4 - 36 + 3y0 0 3y032 y0 y0 = thì phương trình có nghiệm kép x = Vậy min y = khi x = c. Ta có C = ax2 + bx + c Đặt k = Ta có C = + k Nếu a > 0 => Vậy min C = k khi x = Nếu a Vậy max C = k khi x = Vậy nếu hệ số a > 0 tam thức bậc hai có cực tiểu, a < 0 tạm thức bậc hai có cực đại. Ví dụ 2: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây a. M = 5x2- 12 xy + 9 y2- 4 x + 2009 đạt giá trị nhỏ nhất b. N = 15- 10 x- 10 x2 + 24 xy- 16y2 đạt giá trị lớn nhất Giải a. Ta có: M = 5x2- 12 xy + 9 y2- 4 x + 2009 = (x2- 4x + 4) + ( 4x2- 12 xy + 9y2) + 2005 = ( x- 2)2 + (2x- 3y)2 + 2005 Vì ( x-2)2 với mọi x (2x- 3y)2 với mọi x, y M 2005 Dấu bằng xảy ra khi Vậy min M = 2005 khi b. Ta có N = 15- 10 x- 10 x2 + 24 xy- 16y2 = - ( x2 + 10 x + 25)- ( 9x2- 24 xy + 16 y2) + 40 = 40- ( x+ 5)2- ( 3x- 4y)2 Vì ( x+ 5)2 0 với mọi x ( 3x- 4y)2 0 với mọi x, y Nên ta có N = 40 – ( x+ 5)2 – ( 3x – 4y)2 40 Dấu bằng xảy ra khi Vậy max N = 40 Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = ( x – ay) 2 + 6 ( x – ay) + x2 + 16 y2 – 8 xy + 2x – 8y + 10 (với x, y, a Z) Giải Ta có A = ( x – ay) 2 + 2.3 ( x – ay) + 9 + (x2 – 8 xy + 16 y2) + 2(x – 4y) + 1 = ( x – ay + 3)2 + ( x- 4y)2 + 2(x – 4y) + 1 = ( x – ay + 3)2 + ( x- 4y + 1)2 Vì ( x – ay + 3)2 với mọi x, y,a ( x- 4y + 1)2 với mọi x, y Suy ra A Dấu bằng xảy ra khi ( a - 4) Vì y Z Z là ước của 2 do a Z Vậy min A = 0 khi ( x,y,a) nhận giá trị (7;2;5); (-9;-2;3); (3;1;6); (-5;-1; 2) Bài tập áp dụng 1-Tìm cực trị của các hàm số a. y = - 4x2 – x + 3 y = 5x2 – 6 x + 10 y = x2 + 4x + 1 y = 4x2 + 4x + 7 y = 2x2 + 20 x + 53 y = - x2 – 6x + 5 y = - 2x2 – 7x + 11 y = - x2 – x + 1 y = 5 x - x2 + 7 2- Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau đây: a, M = 10x2 + 12xy + 4 y2 + 6 x + 17 đạt giá trị nhỏ nhất b, N = 1 + 6y – 5y2 - 12 xy – 9x2 đạt giá trị lớn nhất 3- Tìm x, y sao cho các biểu thức sau đây đạt giá trị nhỏ nhất. a, M = 2x2 – 6xy + 9 y2 – 6 x - 12y + 2024 b, N = x2 – 2yx + 6 y2- 12 x + 12y + 45 4- Tìm cặp số x, y thoả mãn x2 + y2 + 6x – 3y – 2xy +7 = 0 Sao cho y đạt giá trị lớn nhất. 5- Cho P = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2005 . Với giá trị nào của x, y thì P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 6- Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y = - 3 3- Đa thức bậc cao Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x4 – 8x3 + 17x2 – 8x+ 41 Giải Ta có A = x4 – 8x3 + 17x2 – 8x+ 41 A = (x4 – 8x3 + 16x2) + (x2– 8x+ 16) A = ( x2 – 4x)2 + ( x – 4)2 + 25 0 Vậy min A = 25 nếu Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau đây. N = - x6 + 2x3 – x2 + 2x –2 Giải Ta có N = - (x6 – 2x3 + 1) – ( x2 – 2x + 1) = - ( x3 – 1)2 – ( x –1)2 0 Vậy max N = 0 khi Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x4 - 2 x3 + 3x2 - 2x + 1 Giải Ta có C = x4 - 2 x3 + 3x2 - 2x + 1 C = (x2 – x + 1)2 Vì Nghĩa là nên min C (x2 – x + 1)min , mà (x2 – x + 1)min = Vậy min C = Chú ý: Học sinh có thể làm C = (x2 – x + 1)2 => minC = 0 là sai lầm vì không có giá trị nào của x làm cho C = 0 Bài tập áp dụng 1-Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức A = - x4+ 6x3 – 10x2 + 6x + 9 B = - x(x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) 2-Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau. C = ( x – 1)( x + 2)( x + 5)(x – 8) D = (x – 1)( x + 2)( x + 3)( x + 6) + 15 E = x4 – 4x3+ 10 x2 –12 x + 9 F = x4 – 2x3 + 5 x2 – 4x + 4 4-Phân thức 4.1) Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A Giải Vì > 0 nên TXĐ: x Ta có A Vì nên ta có Vậy min A = Chú ý: a> b chỉ suy ra được khi a, b cùng dấu. Dạng toán này ta có thể dung phương pháp miền giá trị của hàm số. Bài tập áp dụng Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: a. A = b. B = Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức a. C = b. D = 4.2) Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Q= Giải Điều kiện xác định của biểu thức Q là D = Cách 1: Ta có Q= (*) Đặt y = Q = 1- y + y2 = Vậy min Q = Cách 2: Q Vì Dấu bằng xảy ra khi Vậy min Q = Cách 3: Ta coi y là một giá trị nào đó của Q để (1) Do đó phương trình (1) phải có nghiệm Nếu y = 1 thì ta có (1- 1)x2 + ( 2.1-1) x + 1- 1 = 0 => x = 0 Vậy y = 1 là một giá trị của Q Nếu y1 để phương trình có ngiệm thì = ( 2y –1)2 – 4 ( y- 1)(y- 1) 0 ( 2y –1 – 2y +2)( 2y –1 + 2y – 2) 0 4y - 3 0 y y = thì phương trình ( 1) có nghiệm kép x = 1 Ta lại có 1 Vậy min Q = Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) = với x 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên. (Đề thi vào lớp 10 PTTH Hà Nội năm học 1989- 1990) Giải TXĐ: D = Ta có f(x) = Đặt t = f(t) = 1989t2 – 2t + 1 Vậy min f(t) = Do đó min f(x) = Bài tập áp dụng 1- Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 2- Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 4.3) Các phân thức khác Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f(x) = Giải Vì nên TXĐ : D = Giả sử y là một giá trị nào đó của f(x) để phương trình y = có nghiệm Vì nên phương trình tương đương với (x2 + 1) = y(x2 + x+ 1) (1 – y)x2 – yx + ( 1- y ) = 0 (*) Nếu y = 1 thay vào (*) ta có 0.x2 – x ( 1 – 1) = 0 x = 0 Vậy y = 1 là một giá trị của f(x) Nếu y 1 để phương trình có ngiệm thì = (y 2 – 4 (1- y)(1 - y) 0 Ta có < 1 < 2 Vậy min f(x) = khi x = 1 max f(x) = 2 khi x = - 1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: g(x) = Giải Cách 1: Có thể làm theo phương pháp miền giá trị của hàm số như Ví dụ 1. Tìm được min g(x) = - 2 khi x = 0 max g(x) = 2 khi x = - 2 Cách 2: Vì nên TXĐ : D = *) Viết g(x) dưới dạng g(x) = Vì và Nên g(x) = Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Do đó min g(x) = -2 khi x = 0 *) Ta thấy x – 0 thì g(x) = - 2 ( theo trên) Vớí x Ta có g(x) Vì nên ta có Suy ra g(x) Dấu bằng xảy ra khi hay x = - 2 max g(x) = 2 khi x = - 2 Bài tập áp dụng Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 5) Căn thức Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau. A = Giải Điều kiện để A xác định (*) Với điều kiện (*) bình phương hai vê ta được A2 = = áp dụng Bất đẳng thức Cauchy với hai số không âm x- 3 và 5 – x ta có Dấu bằng xảy ra khi x- 3 = 5 – x ú x = 4 Suy ra A2 vì A nên ta được Max A = 2 khi x = 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = Giải Biểu thức B xác định khi 1 – x2 0 ú -1 < x < 1 (*) Với điều kiện (*) thì 5 – 3x > 0 => B > 0 Bình phương hai vê ta có B2 = Vì 1- x2 > 0 nên B 16 Dấu bằng xảy ra khi 3- 5x = 0 ú x = (thoả mãn điều kiện *) Vậy min B = 4 khi x = Ví dụ 3: Cho M = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M Giải: Điều kiện xác định của M là (*) Do đó ta có M = Vậy M = Dấu bằng xảy ra khi Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = Giải Điều kiện để N có nghĩa là (*) Ta có N = Vì với với N Dấu bằng xảy ra khi Vậy min N Bài tập áp dụng Tìm gía trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau 6) Cực trị có điều kiện (các biến bị ràng buộc thêm bởi một hệ thức cho trước) Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thoả mãn điều kiện: x2 + y2 = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y (Đề thi vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong năm học 1991-1992) Giải Cách 1: Với mọi số thực x, y ta đều có: ( x + y)2 + ( x – y)2 = x2 + 2xy + y2 + x2 - 2xy + y2 = 2 (x2 + y2) Thay x2 + y2 = 1 ta có ( x + y)2 + ( x – y)2 = 2.1 = 2 Do ( x – y)2 0 Dấu bằng xảy ra khi x- y = 0 ú x = y Suy ra ( x + y)2 2 Khi x = y, ta có x2 + y2 = 1 Vậy max A = min A = Cách 2: áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( x + y)2 2 (x2 + y2) Thay x2 + y2 = 1 ta có ( x + y)2 2.1 = 2 A2 2 Dấu bằng xảy ra khi x = y, ta có x2 + y2 = 1 Vậy max A = ; min A = Ví dụ 2: Cho hai số dương x, y có tổng bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của B = (Đề thi vào lớp 10 trường chuyên Lê Hồng Phong năm học 1994-1995) Giải Cách 1: Ta có Thay x + y = 1 ( theo giả thiết) ta được Vì xy > 0 => P nhỏ nhất khi nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất Vì x = y = 1 => y = 1 – x Nên xy = x .( 1 – x) = - x2 + x = = max (xy) = khi đó Vậy min P = Cách 2: Biến đổi Vì xy > 0 => P nhỏ nhất khi nhỏ nhất, khi đó xy lớn nhất áp dụng Bất đẳng thức (x + y)2 4 xy Thay x + y = 1 ta có 14 xy => xy Dấu bằng xảy ra khi x = y = Vậy min P = Ví dụ 3: Cho hàm số y = a. Tìm tập xác định của hàm số b. Rút gọn y c. Vẽ đồ thị của hàm số d.Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng của x. Giải a. Nhận xét x2 0 ; = ( x- 2) 20 với 2 2 o Vậy TXĐ là R y b. y = = = x = c. Vẽ đồ thị. d. Trên đồ thị ta thấy min y = 2 khi 02 Ví dụ 4: a, Chứng minh rằng với x > 1 ta có b, Cho a >1 , b > 1 ; tìm giá trị nhỏ nhất của: Giải a- Theo giả thiết x > 1 => > 0 Bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với. x Bình phương hai vế (đều dương) ta có x2 4.(x – 1) (x – 2)20 Bất dẳng thức cuối cùng đúng vậy bất đẳng thức phải chứng minh là đúng b. Vì a >1 , b > 1 ; nên > 0 ;> 0 áp dụng Bất đẳng thức Cauchy (*) Theo kết quả của câu a với a > 1 ta có với b > 1 ta có Thay vào (*) ta có Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của = 8 khi a = b = 2 Ví dụ 5: Cho biểu thức M = x2 + y2 + 2z2+ t2 Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của M và các giá trị nguyên không âm tương ứng của x, y, z, t cho biết chúng thoả mãn đồng thời (Thi HSG quốc gia 1988-1989 . Bảng A) Giải Cộng vế với vế của (1) và (2) ta có 2x2 + 2y2 + 4z2+ t2= 122 2(x2 + y2 + 2z2+ t2) – t2 = 122 x2 + y2 + 2.z2+ t2 = 61 + t2 61 Suy ra M 61 Vậy min M = 61 khi t = 0 Các giá trị tương ứng của x, y, z: Thế t = 0 vào (1) ta có x2 - y2 = 21(x + y)(x – y) = 21 Vì