Chuyên đề Cực trị - Tiếp tuyến

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho (m 1)x m(Cm) : y x m − += − . Định m để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm trên (Cm) có hoành độ x0 = 4 thì song song với đường phân giác thứ 2 của góc hệ trục. y| = =|mf (x) 2 2 m (x m) − − Để tiếp tuyến với (Cm) tại điểm với đường phân giác 2( ) : y xΔ = − , ta phải có: 2 | 2 m 2 mf 1 1 m (4 m) m (4 m) −= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =− 2 2 Cho 2(3m 1)x m m(C) : y ,m 0. x m + − += + ≠ Tìm m để tiếp tuyến với (C) tại giao điểm với trục hoành song song y = x. Viết phương trình tiếp tuyến. Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành 2 0 m m 1x , m 0, 3m 1 3 − ⎧ ⎫= ∉⎨ ⎬+ ⎩ ⎭,1− 2 | 2 4my (x m) = + Tiếp tuyến tại điểm (C) có hoành độ // y = x 2 2 2 0 0 02 0 4m 1 4m (x m) x m x 3m (x m) = ⇔ = + ⇔ = ∨ = −+ 2 2 m m m 1m 3m 1 1mm m3m 5 3m 1 ⎡ − = −= ⎡⎢ + ⎢⎢⇔ ⇔ ⎢ = −−⎢− = ⎣⎢⎣ + • tiếp tuyến tại (-1,0) có pt : y = x + 1 m = −1 • 1m 5 = − tiếp tuyến tại 3 ,0 5 ⎛⎜⎝ ⎠ ⎞⎟ có pt : 3y x 5= − Cho m(C) : y x 1 x 1 = − + + .Tìm m để có điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị vuông góc nhau Gọi là điểm cần tìm là đường thẳng (d) qua M0 0 0M (x ,y ) 0y k(x x ) y⇒ = − + 0 0 (d) là t2 0 0 0 2 0 mx 1 k(x x ) y kx k k kx y x 1 11 k (x 1) ⎧ − + = − + = + − − +⎪ +⎪⇔ ⎨⎪ − =+⎪⎩ 0 0 0 mx 1 k(x 1) (1 x )k y x 1 1x 1 k(x 1) x 1 ⎧ − + = + − + +⎪⎪ +⇔ ⎨⎪ + − = +⎪⎩ + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 0 0 2 m 1x 1 x 1 (1 x )k y x 1 x 1 1 1 k (x 1) ⎧ − + = + − − − +⎪ + +⎪⇔ ⎨⎪ = −⎪ +⎩ [ ] 00 0 02 22 2 0 0 m 1 y 2y 2 (x 1)k kx 1 x 1 m 1 (1 k)(m 1) y 2 (x 1)k (1 k)(m 1)x 1 +⎧ +⎧= + − +⎪ ≠+ ⎪⎪ +⇔ ⇔⎨ ⎨+⎛ ⎞⎪ ⎪= − + + − + = − +⎜ ⎟ ⎩⎪ +⎝ ⎠⎩ 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 y 2k x 1 (x 1) k 2(2m x )y 2x y 2)k (y 2) 4m 0 (*) +⎧ ≠⎪ +⇔ ⎨⎪ + + − − − − + + − =⎩ Từ M0 kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc nhau pt (*)⇔ có 2 nghiệm thỏa k1k2 = -1 và khác 0 0 y 2 x 1 + + 0 0 2 2 0 0 y 2k x 1 m 0 (x 1) (y 2) 4m +⎧ ≠⎪ +⇔ ⇒⎨⎪ + + + =⎩ > Tìm toạ độ giao điểm của các tiếp tuyến của đồ thị x 1y x 3 += − với trục hoành , biết rằng tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 | 2 4y , (x 3) = − ∀ ≠− x 3 Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng y = x + 2006 , khi đó (T) có hệ số góc là KT = -1 . Gọi (x0,y0) là tiếp điểm của (d) và (C) , ta có 0| 2 00 T x 54K y 1 x 1(x 3) =⎡= ⇔ − = − ⇒ ⎢ =− ⎣ • 0 0 1x 1 y 1 (T ) : y x= ⇒ = − ⇒ = − • 0 0 2x 5 y 3 (T ) : y x= ⇒ = ⇒ = − + 8 { } { }1 2(T ) (Ox) O(0,0) ; (T ) (Ox) A(8,0)∩ = ∩ = Cho hàm số x 2y f(x) x 1 += = − ; gọi đồ thị hàm số là (C) , và A(0,a).Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho 2 tiếp tuyến tương ứng nằm về 2 phía đối với trục Ox Phương trình tiếp tuyến (T) với (C) tại 00 0 0 0 0 | (x )M (x ,y ) : y y f (x x )− = − 0 0 0 02 2 0 0 0 0 x 2 x 23 3y (x x ) ; A(0,a) (T) : a x 1 (x 1) x 1 (x 1) ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⇔ − = − − ∈ − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( x ) 00 22 0 00 0 0(x ) x 1x 1 0 g (a 1)x 2(a 2)x a 2 0(a 1)x 2(a 2)x a 2 0 ≠⎧− ≠⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ = − − + + + =− − + + + =⎩ ⎪⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua A kẻ được 2 tiếp tuyến khi 0(x ) g 0= có 2 nghiệm phân biệt khác 1 và | 2 2 g a 1 0 (a 2) (a 2)(a 1) 0 2 a 1 g(1) (a 1)1 2(a 2)1 a 2 0 ⎧ − ≠⎪Δ = + − + − > ⇔ − < ≠⎨⎪ = − − + + + ≠⎩ Khi đó gọi là 2 tiếp điểm nằm về 2 phía Ox 1 1 1 2 2 2M (x ,y ),M (x ,y ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x 2 x 2 x x 2(x x ) 4y y 0 0 0 (1) x 1 x 1 x x (x x ) 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + + +⇔ < ⇔ < ⇔ <⎜ ⎟⎜ ⎟− − − + +⎝ ⎠⎝ ⎠ Trong đó x1,x2 là nghiệm của có 0g(x ) 0= 1 2 1 2 2(a 2)x x a 1 a 2x x a 1 +⎧ + =⎪⎪ −⎨ +⎪ =⎪⎩ − (1) a 2 4(a 2) 4(a 1) 9a 60 0 a 2 2(a 2) a 1 3 + + + + − +⇔ < ⇔+ − + + − − < 20 a 2 a 13 3Đk 2 a 1 ⎫⇔ ⇔ > − ⎪⇒ − < ≠⎬⎪− < ≠ ⎭ Cho hàm số có đồ thị (C) . Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ 3 2y 2x 3x 12x 1= + − − Ta có | 2 0 0y 6x 6x 12 , M(x ,y )= + − ⇒ tiếp tuyến tại M (C)∈ | 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 00(x ) y y (x x ) y (6x 6x 12)(x x ) 2x 3x 12x 1 (T)= − + = + − − + + − − (T) qua gốc toạ độ O(0,0) 3 2 20 0 0 0 0: 4x 3x 1 0 (x 1)(4x x 1) 0+ + = ⇔ + − + = 0 0x 1 y 12 M( 1,1⇔ = − ⇒ = ⇒ − 2) Cho hàm số 31y x x 3 3 = − + 2 có đồ thị (C) . Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng 1 2y x 3 3 = − + Gọi 30 0 0 1A x , x x 3 3 ⎛ − +⎜⎝ ⎠ 2 ⎞⎟ là điểm bất kỳ thộc (C) . Tiếp tuyến (T) với (C) có hệ số góc 200 | (x )k y (x 1) (1)= = − Do (T) vuông góc với đường thẳng 1 2y x 3 3 = − + k 3⇒ = Khi đó 20 0x 1 3 x 2− = ⇔ = ± Vậy 1 2 4A 2, ,A ( 2,0) 3 ⎛ ⎞ −⎜ ⎟⎝ ⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2x 3x 6y x 1 − += − , đồ thị (C) . Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhêu tiếp tuyến đến hàm số (C) , tìm toạ độ tiếp điểm Gọi (T) là tiếp tuyến của (C) QuaO Hệ số góc k ⎧⎨⎩ (T) : y kx⇔ = 2 2 2 x 3x 6 kx x 1 x 2x 3 k (x 1) ⎧ − + =⎪ −⎪⇔ ⎨ − −⎪ =⎪ −⎩ có nghiệm 2 2(x 1)(x 3x 6) (x 2x 3)x x 1 ⎧ − − + = − −⇔ ⎨ ≠⎩ 2x 6x 3 0 x 3 6 x 1 ⎧ − + =⇔ ⇔ =⎨ ≠⎩ ± Vậy từ O kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến (C) 1 2 M (3 6,3 6 3)x 3 6 y 3 6 3 M (3 6, 3 6 3x 3 6 y 3 6 3 ⎡⎡ ⎡ = + −= + = −⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = − − −= − = − − ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ ) Cho hàm số 3 2y mx (m 1)x (m 2)x m 1 , (Cm)= − − − + + − 1.Tìm m để (Cm) đạt cực đại tại x = -1 2.Khi m = 1 , tìm trên đường thẳng y = 2 những điểm từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 1.m =1 2. 3(C) : y x 3x ; A(a,2) (d) : y 2 (d) : y k(x a) 2= − ∈ = ⇒ = − + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 3 2 x 3x k(x a) 2 3x 3 k ⎧ − = − +⎨ − =⎩ 2 x 1 f(x) 2x (3a 2)x 3a 2 0 = −⎡⇔ ⎢ = − + + + =⎣ Qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) có 2 nghiệm khác 1 f(x) 0⇔ = f ( 1) 0 f 0− Δ >⎧⇔ ⎨ ≠⎩ 2(3a 2) 8(3a 2) 0 a a 3 2 3a 2 3a 2 0 a 1 ⎧+ − + > 2⎧ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨+ + + + ≠⎩ ⎪ ≠ −⎩ Vậy điểm cần tìm là A(a,2) ; 2a a 2 a 3 ∧ ≠ −1 1 Cho hàm số , đồ thị (C). Tìm tất cả các điểm thuộc trục tung sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 4 2y x 2x= − + − Gọi A(0,a) , (d) là đường thẳng qua A dạng Oy∈ : y kx a= + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ : 4 2 4 2 3 x 2x 1 kx a 3x 2x 1 a 0 (1) 4x 4x k ⎧− + − = + ⇔ − − − =⎨− + =⎩ Từ A có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi (1) phải có 3 nghiệm Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1 a 0 a 1⇔− − = ⇔ = − . Khi đó 4 2 23x 2x 0 x 0 x 3 − = ⇔ = ∨ = ± Vậy toạ độ điểm cần tìm là A(0,-1) Cho hàm số ; đồ thị (C) 3 2y x 3x 2= − + 1.Qua A(1,0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C) . Hãy viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên 1.Gọi (d) là đường thẳng qua A(1,0) có hệ số góc k dạng y k(x 1)= − là tiếp tuyến của (C) khi hệ 3 2 2 x 3x 2 k(x 1 3x 6x k ⎧ − + = −⎨ − =⎩ ) 3 b có nghiệm 3(x 1) 0 x 1 k 3⇔ − = ⇒ = ⇒ = − Vậy có 1 tiếp tuyến (d) : kẻ đến (C) y 3x= − + 2.Gọi (T) là tiếp tuyến khác của (C) song song tiếp tuyến tại A dạng y 3x= − + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ : 3 2 2 x 3x 2 3x b 3x 6 3 ⎧ − + = − +⎨ − = −⎩ 3 2b x 3x 2 b 3 (T) : y 3x 3 x 1 ⎧ = − +⇔ ⇒ = ⇒ = −⎨ =⎩ + (T) (d)≡ vậy không có tiếp tuyến nào khác song song với tiếp tuyến tại A Cho hàm số 4 2xy 3x 2 2 = − + 5 a , có đồ thị (C) 1.Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị tại điểm M có hoành độ Mx = .CMR hoành độ các giao điểm của tiếp tuyến (d) với đồ thị là nghiệm của phương trình 2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0− + + − = 2.Tìm tất cả các giá trị của a để tiếp tuyến (d) cắt đồ thị tại 2 điểm P,Q khác nhau và khác M.Tìm qũy tích trung điểm K của đoạn thẳng PQ 1.Gọi 4 4 2 2 (a) | (a) a 5 a 5M a, 3a (C) y 3a y 2a(a 3) 2 2 2 2 ⎛ ⎞− + ∈ ⇒ = − + ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 2 Tiếp tuyến tại M có phương trình 2 4 23 5y 2a(a 3)x a 3a 2 2 = − − + + Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C) là : 4 2 2 4x 5 33x 2a(a 3)x a 3a 2 2 2 − + = − − + +2 5 2 2 2 2 2(x a) (x 2ax 3a 6) 0⇔ − + + − = 2.Qũy tích trung điểm K Theo trên để (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt P và Q và khác M thì phương trình : = 0 có 2 nghiệm khác a 2x 2ax 3a 6+ + − | 2 2 2 2 2 a 3a (3a 6) 0 a 1a 2a 3a 6 0 ⎧⎧ ⎪⇔⎨ ⎨ ≠+ + − ≠ ⎪⎩ ⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó K 4 2 K K K x a ; x 3; x K 7 5y x 9x 2 2 ⎧ = − ≤ ≠⎪⎨ = − + +⎪⎩ 1 Vậy quỹ tích trung điểm K là đường cong 4 27y x 9x 2 2 5= − + + và giới hạn bởi 1 x 3≠ ≤ Cho hàm số có đò thị là (Cm).Định m để các tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại A và B điểm cố định vuông góc nhau 4 2y x 2mx 2m= − + − +1 x Điểm cố định A(-1,0) B(1,0) và | 3y 4x 4m= − + | | A By 4 4m ;y 4 4m⇒ = − = − + Tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau | |BAy .y 1⇔ = − 3 5(4 4m)(4m 4) 1 m m 4 4 ⇔ − − = − ⇒ = ∨ = Cho hàm số x 1y x 1 += − có đồ thị (C) . Tìm những điểm trên trục tung mà từ mỗi điểm ấy chỉ có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) Gọi A(0,a) qua A có phương trình Oy∈ (d)⇒ y kx a= + Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 2 2 2 x 1 kx a x 1 2xx 1 a (a 1)x 2(a 1)x a 1 0 (1 2 x 1 (x 1)k (x 1) +⎧ = +⎪ + −−⎪ ⇒ = + ⇔ − − + + + =⎨ − − −⎪ =⎪ −⎩ ) Từ A có thể kẻ được 1 tiếp tuyến đến (C) (1)⇔ có 1 nghệm ™ Xét (1) 1a 1 0 a 1 4x 2 0 x A(0,1) 2 − = ⇔ = ⎯⎯→− + = ⇒ = ⇒ ™ a 1 0 a 1 a 1 A(a, 1 ' 0 2a 2 0 ⎧ − ≠ ≠⎧⇔ ⇔ = − ⇒⎨ ⎨Δ = + =⎩⎩ )− Cho hàm số x 1y x 1 −= + có đồ thị (C) Tìm trên đường thẳng y = x những điểm sao cho có thể kẻ được 2 tiếp tuyến với đồ thị và góc giữa 2 tiếp tuyến đó bằng 4 π Gọi M(x0,y0) tiếp tuyến tại M tiếp xúc (C) dạng 0 0y x M(x ,x )∈ = ⇔ ⇒ 0y k(x x ) x0= − + (d) Phương trình hoành độ của (d) và (C) 0 0 x 1kx kx x (1) x 1 −− + = + Theo ycbt thì (1) có nghiệm kép 2 0 0 0 0kx (k kx x 1)x x kx 1 0⇔ + − + − + − + = có nghiệm kép 2 2 2 2 0 0 0 k 0 (1 x ) k 2(x 3)k (x 1) 0 (2) ≠⎧⇔ ⎨Δ = + − + + − =⎩ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) tạo thành góc 4 π (2)⇔ có 2 nghiệm phân biệt thỏa 2 1 2 1 2 1 2 1 2 k k k k tan 1 1 1 k .k 4 1 k .k ⎛ ⎞− −π= = ⇔ =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ 00 2 22 2 0 0 0 1 2 1 2 0 0 k x 1x 1 0 8(x 1) 0 2(x 3) x 15 1(k k ) 5k .k 1 0 (1 x ) x 1 ≠⎧+ ≠⎧ ⎪⎪⇔ Δ = + > ⇔ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎨ ⎨ + − 0− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪+ − − = + +⎩ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ 0 02 0 x 1 M( 7, 7) x 7 x 1 8 M( 7, 7) ⎧≠ − − −⎧ ⎪⇔ ⇔ = ± ⇒⎨ ⎨+ =⎩ ⎪⎩ Cho Parabol . Tìm những điểm trên trục Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau 1 góc 45 2(P) : y 2x x 3= + − 0 Gọi M(0,m) . Phương trình qua M có hệ số góc k là y kOy∈ x m (d)= + Phương trình hoàng độ giao điểm của (P) và (d) là : 2 22x x 3 kx m 2x (1 k)x m 3 0 (1)+ − = + ⇔ + − − − = (d) là tiếp tuyến của (P) khi (1) có nghiệm kép 0⇔Δ = 2k 2k 8m 25 0 (2⇔ − + + = ) 5 Có 1 2 1 2k k 2 ; k .k 8m 2+ = = + Hai tiếp tuyến hợp nhau 1 góc 450 khi 0 2 1 1 2 k ktan 45 1 1 k .k −= = + 2 2 1 2 1 2 1 2(k k ) 4k k (1 k k )⇔ + − = + (3) Qua M kẻ được 2 tiếp tuyến tạo nhau góc 450 khi (2) có 2 nghiệm phân biệt thỏa (3) | 22 k m 31 8m 25 0 16m 112m 193 04 4(8m 25) (8m 26) < −⎧Δ = − − = ⎧⇔ ⇔⎨ ⎨ + + =− + = + ⎩⎩ 3 14 3 14m m 4 4 + −⇔ = − ∨ = Vậy 1 2 3 14 3 14M 0, ,M 0, 4 4 ⎛ ⎞ ⎛+ −−⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎠ Cho hàm số 2xy x 1 = − gọi đồ thị là (C) . Tìm trên đường y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới (C) 2 tiếp tuyến lập nhau góc 450 Gọi A(a,4) là đường thẳng tuỳ ý trên y = 4 Gọi (T) là đường thẳng QuaA(a,4) có dạng: y k(x a) 4 Có hệ số góc là k ⎧ = − +⎨⎩ Và mọi đường thẳng (T1) và (T2) đi qua A có hệ số góc k đều có dạng : 1 2y k (x a) 4 và y k (x a) 4= − + = − + Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Do (T1) và (T2) tạo nhau 1 góc 450 khi 0 1 2 1 2 k ktan 45 1 k .k −= + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2(1 k k ) (k k ) (1 k k ) (k k ) 4k k 0 (1)⇔ + = − ⇔ + − + + = Do (T) là tiếp tuyến của đồ thị (C) 2x k(x a) 4 x 1 ⇔ = − +− có nghiệm kép 2(1 k)x (4 ka k)x 4 ka 0⇔ − − − − + − = có nghiệm kép khác 1 22 2 k 11 k 0 k (a 1) 4(a 2) 0 (2)(a 1) k 4(a 2)k 0 ⎧ ≠⎧− ≠⎪ ⎪⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎡ ⎤− − − =Δ = − − − = ⎪⎪ ⎣ ⎦⎩⎩ Qua A kẻ được tới (C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 gó 450 khi phương trình (2) có 2 nghiệm k1,k2 (k 1)≠ và thỏa mãn hệ thức (1) 2 k 0 4(a 2)k (a 1) =⎧⎪ −⎨ =⎪ −⎩ thỏa mãn (1) khi 2 2 22 2 4(a 2)k 1 a 3(a 1) a 1 4(a 2) a 2a 7 0k 0.(1 0) 0 4.0 0 (a 1) −⎧ = ≠ ≠⎧⎪ −⎪ ⎪⇔ ≠⎨ ⎨−⎡ ⎤⎪ ⎪ + − == + − + + = ⎩⎢ ⎥⎪ −⎣ ⎦⎩ a 1 2 a 1 2 ⎡ = − −⇔ ⎢ = − +⎢⎣ 2 2 Vậy 1 2A ( 1 2 2,4) , A ( 1 2 2,4)− − − + Cho hàm số 2x x 2y x 1 + += − có đồ thị (C) . Tìm trên (C) các điểm A để tiếp tuyến của đồ thị tại A vuông góc với đường thẳng đi qua A và có tâm đối xứng của đồ thị Giả sử 0 0 0 4A x ,x 2 x 1 ⎛ + +⎜ −⎝ ⎠ ⎞⎟ là điểm bất kỳ trên (C) và I(1,3) là giao điểm 2 đường tiếm cận 0 0 0 4AI 1 x ,1 x x 1 ⎛ ⎞⇒ = − − −⎜ ⎟−⎝ ⎠ uur Như vậy là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AI AI uur Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tiếp xúc với (C) tại A , có hệ số góc | 2 0 0 0(x ) 4k y 1 a 1,1 (x 1) (x 1) ⎛ ⎞= = − ⇒ = −⎜− −⎝ ⎠ r 2 4 ⎟ là vectơ chỉ phương của (d) ; do đó (d) (AI) a.AI 0⊥ ⇔ = r uur 0 4x 1 8⇒ = ± Vậy có 2 điểm 4 4 4 4 1 24 4 4 3 8 8 4 3 8 8A 1 8, , A 1 8, 8 8 ⎛ ⎞ ⎛− + + +− +⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟⎟⎠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm số 2x 3x 2y x − += .Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc nhau Gọi M(1,m) .Đường thẳng (T) qua M có hệ số góc k dạng : x 1∈ = y k(x 1) m= − + Từ M kẻ được 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau tới (C) khi hệ 2 2 2 x 3x 2 k(x 1) m x x 2 k x ⎧ − + = − +⎪⎪⎨ −⎪ =⎪⎩ ( I ) có 2 nghiệm thỏa mãn 1 1 2 2 (x ,k ) (x ,k ) ⎧⎨⎩ 1 2 k .k 1= − Từ ( I ) 2(m 2)x 4x 2 0 (*) , x 0⇒ + − + = ≠ Theo ycbt 2 2 1 2 2 2 1 2 m 2 0 ' 4 2(m 2) 0 (x 2) (x 2). 1 x x ⎧⎪ + ≠⎪⎪⇔ Δ = − + >⎨⎪ − −⎪ = −⎪⎩ 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 m 2 m 0 (x x ) 2 (x x ) 2x x 4 (x x ) ⎧ ≠ −⎪⎪⇔ <⎨⎪ ⎡ ⎤− + − + = −⎪ ⎣ ⎦⎩ 2 2 2 m 0 2 4 42 4 m 2 m 2 m 2 m 2 − ≠ <⎧⎪ ⎡ ⎤⇔ ⎨⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + = −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ 22 + 2 2 m 02 m 0 m 3 m 6m 2 0 m 3 7 − ≠ <⎧− ≠ <⎧ ⎪⇔ ⇔ ⇔ =⎨ ⎨+ + = = − ±⎪⎩ ⎩ 7− ± Vậy 1 2M (1, 3 7) , M (1, 3 7)− − − + Cho hàm số .Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến của đồ thị (C) , trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau. 3y x 3x= + 2 Gọi M(m,0) là điểm bất kỳ trên trục hoành Đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc là k dạng : y k(x m)= − (d) là tiếp tuyến (C) khi 3 2 2 x 3x k(x m) ( I ) 3x 6x k ⎧ + = −⎨ + =⎩ Qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau khi ( I ) có 3 giá trị k sao cho 2 trong 3 giá trị đó tích bằng -1 Khi đó ( I ) 3 2 2 2x 3x (3x 6x)(x m) x 2x 3(1 m)x 6m 0⎡ ⎤⇔ + = + − ⇔ + − − =⎣ ⎦ 2 x 0 2x 3(1 m)x 6m 0 (*) =⎡⇔ ⎢ + − − =⎣ Theo ycbt (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 2 m 33m 10m 0 1 m 0m 0 3 ⎢⇔ ⇔⎨ ⎢− < ≠≠⎩ ⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Khi đó pt (*) có 2 nghiệm và 1 2 1 2 2x x (m 1 3 x x 3m ⎧ + = −⎪⎨⎪ = −⎩ ) Khi qua M kẻ được 3 tiếp tuyến của (C) thì 2 21 1 1 2 2 2 3k 3x 6x , k 3x 6x , k 0= + = + = Theo bài toán : 2 21 2 1 1 2 2k k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1= − ⇔ + + = − 1m 27 ⇒ = thỏa hoặc m < −3 1 m 0 3 − < ≠ Vậy 1M ,0 27 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ Cho hàm số 22x x 1y x 1 − += − có đồ thị (C) . Tìm trên trục hoành 4 điểm từ đó dựng được tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 . Viết phương trình tiếp tuyến đó Tiếp tuyến hợp với Ox góc 450 là tiếp tuyến có hệ số góc k 1= ± TH1: | 2 2k y 1 2 1 x 1 2 (x 1) = = ⇔ − = ⇒ = ±− 1 2 (T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2 (T ) : y x 2 2 2x 1 2 y 3 3 2 ⎡⎡ ⎡ = + −= − = −⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = + += + = + ⎢⎢ ⎢⎣ ⎣ ⎣ TH2: | 2 2 2k y 1 2 1 x 1 (x 1) 3 = = − ⇔ − = − ⇔ = ±− 3 4 2 2x 1 y 3 5 (T ) : y x 4 2 63 3 (T ) : y x 4 2 62 2x 1 y 3 5 3 3 ⎡ ⎡= − = −⎢ ⎢ ⎡ = − − −⎢ ⎢⇒ ⇒ ⇒ ⎢⎢ ⎢ = − + +⎢⎣= + = +⎢ ⎢⎣ ⎣ Cho hàm số có đồ thị (C) 3 2y x 3x 2= − + 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó qua 23A , 2 9 ⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠ 2.Tìm trên đường thẳng y = -2 các điểm từ đó có thể kẻ đến đồ thị (C) 2 tiếp tuyến vuông góc 1.Tiếp tuyến (C) qua A : 23y k x 2 9 ⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠ Ta có : 3 2 2 23x 3x 2 k x 2 9 3x 6x k ⎧ ⎛ ⎞− + = − −⎪ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎨⎪ − =⎩ 2(x 2)(3x 10x 3) 0⇒ − − + = x 2, k 0 x 3, k 9 1 5x , k 3 3 ⎡⎢ = =⎢⇔ = =⎢⎢ = = −⎢⎣ tiếp tuyến ⇒ (d) : y 2 (d) : y 9x 25 5 6(d) : y x 3 2 ⎡⎢ = −⎢ = −⎢⎢ = − +⎢⎣ 1 7 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi A(a,-2) y 2∈ = − Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc là k , có phương trình y k(x a) 2= − − Điều kiện (T) và (C) tiếp xúc nhau là: 3 2 2 2 x 3x 2 k(x a) 2 (x 2) 2x (3a 1)x 2 0 3x 6x k ⎧ − + = − − ⎡ ⎤⇒ − − − + =⎨ ⎣ ⎦− =⎩ 2 1 2 1 2 x 2 ; k 0 y 2 3a 1g(x) 2x (3a 1)x 2 0 có x x ;x .x 1 2 = = ⇒ = −⎡⎢⇔ −⎢ = − − + = + = =⎣ Để từ A dựng 2 tiếp tuyến vuông góc khi g(x) = 0 có 2 nghiệm x1,x2 sao cho k1(x1).k2(x2) = -1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 g (2) 5a 1 a0 (3a 1) 16 0 3 k .k 1 (3x 6x )(3x 6x ) 1 27a 55 g 0 a 2 a 2 ⎧ Δ > ⎪⎧ ⎧ − − > ⎪⎪ ⎪⇔ = − ⇔ − − = − ⇔ =⎨ ⎨ ⎨⎪ ⎪ ⎪≠ ≠ ≠⎩⎩ ⎪⎩ 55 55a A , 27 27 ⎛ ⎞⇔ = ⇒ −⎜ ⎟⎝ ⎠2 2 Cho hàm số . Tìm những điểm trên đường thẳng y = 2 từ đó dựng được 3 tiếp tuyến đến đồ thị 3 2y x 3x= − + − Gọi A(a,2) y 2∈ = Đường thẳng (T) qua A có hệ số góc k có phương trình : y k(x a) 2= − + là tiếp tuyến của (C) khi hệ : có nghiệm 3 2 2 x 3x 2 k(x a) 2 3x 6x k ⎧− + − = − +⎨− + =⎩ 2 2 (x 2) 2x (3a 1)x 2 0 x 2 0 2x (3a 1)x 2 g(x) 0 ⎡ ⎤⇒ − − − + = ⇔ − =⎡⎣ ⎦ ⎢ − − + = =⎣ Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) khi g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 thỏa : g (2) 50 3(a 1)(3a 5) 0 a 1 a 3 g 0 a 2 a 2 ⎧Δ >⎧ + − > ⎧⎪ ⎪⇔ ⇔ ⇔⎨ ⎨ ⎨≠ ≠⎩⎪ ⎪⎩ ≠⎩ Vậy 5a 1 a a 3 ∧ ≠ 2 Cho họ đường cong (m 1)x m(Cm) : y ,m 0 x m − += − ≠ .Chứng minh rằng (Cm) tiếp xúc 1 đường thẳng cố định tại 1 điểm cố định khi m: thay đổi Gọi (x0,y0) là điểm cố định mà (Cm) đi qua khi 00 0 (m 1)x m y x m − += − 0 0 0 0(x y 1)m x (y 1) 0 :⇔ + − − + = có nghiệm m 0∀ ≠ ; 0x m≠ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 0 0 0 0 0 0 0 0 x y 1 0 x 0 x 2 x (y 1) 0 y 1 y 1 ⎧+ − = = =⎧ ⎧⎪⇔ ⇔ ∨⎨ ⎨ ⎨+ = = = −⎪⎩ ⎩⎩ Điều kiện ; nên A(0,1) thỏa bài toán m 0∀ ≠ 0x m≠ Vậy A(0,1) là điểm cố định mà (Cm) đi qua Ta lại có 2 2 | | 2 2(0) m my y 1 ; (x m) (0 m) =− −= ⇒ = − ∀− − m 0≠ Vậy phương trình tiếp tuyến với (Cm) tại A là |A A(0)y y y (x x )− = − y x 1⇔ = + Cho hàm số ,đồ thị là (C) . Tìm trên đường thẳng y = -4 những điểm A mà từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 3y x 12x 12= − + Gọi A(a,-4) y 4∈ = − (d) : y k(x a) 4⇒ = − − Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ 3 2 x 12x 12 k(x a) 4 3x 12 k ⎧ − + = − −⎨ − =⎩ 2 x 2 g(x) 2x (4 3a)x 8 6a 0 =⎡⇔ ⎢ = + − + − =⎣ Để qua A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt g(x) 0⇔ = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 (2) g 40 a 4 a 3 g 0 a 2 ⎧ ⎧Δ > ⎪ ⎪⇔ ⇒⎨ ⎨≠⎪ ⎪ ≠⎩⎩ Vậy những điểm 4A(a, 4);a 4 a a 2 3 − ∧ ≠ thỏa bài toán Cho hàm số , có đồ thị là (C) 4 3y x 4x 3= − + 1.Chứng minh rằng tồn tại một tiếp tuyến duy nhất tiếp xúc với đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt 2.Viết phương trình tiếp tuyến thứ 2 với đồ thị song song với tiếp tuyến vừa kể . Cho biết hoành độ tiếp điểm 3.Dựa vào các kết quả trên , tuỳ theo tham số m , suy ra số nghiệm phương trình : 4 3x 4x 8x m 0− + + = 1.Tiếp tuyến tại 2 điểm của (C) dạng y ax b= + (d) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là: 4 3x 4x 3 ax b− + = + 4 3x 4x ax 3 b 0⇔ − − + − = (1) Để (d) tiếp xúc (C) thì phải có đồng thời 2 nghiệm kép 4 3 2x 4x ax 3 b (x ) (x )⇔ − − + − = −α −β 2 4 3 4 3 2 2 2x 4x ax 3 b x 2( )x ( 4 )x 2 ( )x⇔ − − + − = − α +β + α +β + αβ − αβ α +β Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Đồng nhất thức 2 vế 2 2 2 2 2 2 4 0 2 ( ) a a 8 3 b b 1 α+β = α +β =⎧ ⎧⎪ ⎪α +β + αβ = αβ = −⎪ ⎪⇔⎨ ⎨αβ α +β = = −⎪ ⎪⎪ ⎪α β = − = −⎩ ⎩ 2 1tiếp tuyến : y 8x 1 (d ) hoành độ tiếp điểm : 1 3 ; 1 3 = − −⎧⎪⇒ ⎨ α = − β = +⎪⎩ 2.Tiếp tuyến song song y 8 x= − −1 Ta có | 3 2y 8 4x 12x 8 x 1 y 0 x 1 3 x 1 3 = − ⇔ − = − ⇔ = ⇒ =⎡⎢ = −⎢⎢ = +⎣ )Vậy tiếp tuyến thứ 2 có phương trình 2y 8x 8 (d= − + 3. 3 34 4x 4x 8x m 0 x 4x 3 8x m− + + = ⇔ − + = − + 3 Là phưong trình hoành độ giao điểm giữa 34(C) : y x 4x 3 (d) : 8x m 3 ⎧ = − +⎨ − +⎩ { } { } { } 1 2 (d ) Oy 0, 1 , (d) Oy 0,3 m (d ) Oy 0,8 ∩ = − ∩ = − ∩ = -m + 3 m Nghiệm phương trình +∞ m < -5 2 nghiệm 8 m = -5 3 nghiệm (có 1 nghiệm kép x = 1) -5 < m < 4 4 nghiệm phân biệt -1 m = 4 2 nghiệm kép x = 1 3 ± −∞ m > 4 Vô nghiệm Cho hàm số 2(3m 1)x m my x m + − += + , m 0≠ có đồ thị là (Cm) 1.Với giá trị nào của m thì giao điểm của đồ thị với trục hoành , tiếp tuyến sẽ song song với đường thẳng y = x – 20 . Viết phương trình tiếp tuyến ấy 2.CMR : (Cm) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định 3.Trên đường thẳng x = 1 , chỉ ra tất cả các điểm mà không có đường nào của (Cm) đi qua 1. 2 2 0 0 m m 1(Cm) Ox : (3m 1)x m m 0 x ;m 0;m 3m 1 3 −∩ + − + = ⇔ = ≠ ≠+ − Ta có : 2 2 | | 02 2 4m (3m 1)y y (x m) 4m += ⇒ =+ Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x – 10 2 | 0 2 (3m 1)y 1 4m + 1⇔ = ⇔ = 10 0 20 0 A( 1,0) , (T ) : y x 1m 1 , x 1 , y 0 3 31 3 B ,0 , (T ) : y xm , x , y 0 5 55 5 − =⎡= − = − =⎡ ⎢⎢⇔ ⇔ ⎛ ⎞⎢⎢ + = −= − = = ⎜ ⎟⎢⎣ ⎝ ⎠⎣ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2.Gọi đường thẳng cố định là y = ax + b Phương trình hoành độ giao điểm : 2(3m 1)x m m ax b x m + − + = ++ [ ]2 2ax (a 3)m b 1 x m (b 1)m 0⇔ + − + − + + − = ĐKTX : [ ]2 2 a 0a 0 m (a 10a 9)m 2 (a 3)(b 1) 2a(b 1) m (b 1) 00 ≠⎧≠⎧ ∀ ⇔⎨ ⎨ − + + − − − − + − =Δ =⎩ ⎩ 2 1 2 a 1 (T ) : y x 1 a 9 (T ) : y 9x 1 b 1 ⎧ =⎡ = +⎧⎪⎢⇔ ⇔=⎨ ⎨⎣ = +⎩⎪ =⎩ 3.Gọi A(1,a) x 1∈ = Ycbt : 23m 1 m mA (Cm)Khi: a 1 m + − +∉ = + vô nghiệm m 2m (a 4)m a 1⇔ + − + − = 0 vô nghiệm m khi m 0Δ < 2a 12a 20 0 2 a 10⇔ − + < ⇔ < < Những điểm mà (Cm) không qua là A(1,a) ; 2 a 10< < Cho đường cong ; đồ thị (C) 3y 3x 4x= − 1.Viết phương trình tiếp tuyến của (C) để tiếp tuyến đó đi qua M(1,3) 2.Tìm trên đường cong y = -9x + 8 những điểm mà từ đó vẽ được 2 tiếp tuyến đến (C) và chúng vuông góc nhau 1.Gọi (d) là đường thẳng qua M(1,3) và có hệ số góc là k có pt : y = k (x – 1) và có x0 là hoành độ tiếp điểm , khi đó ta có : 30 0 0 0 2 0 0 3x 4x k(x 1) 3 x 0 ; k 3 ; y 3x 3 12x k 3x ; k 24 ; y 24x 27 2 ⎧ − = − + ⇔ = = =⎧⎪⎨ ⎨− =⎩ = = − = − +⎪⎩ 2.Gọi . Mọi đường thẳng qua A có hệ số góc là k đều có phương trình : A(a, 9a 8) y 9x 8− + ∈ = − + y k(x a) 9a 8= − − + và x0 là hoành độ tiếp điểm khi hệ 3 0 0 2 0 3x 4x k(x a) 9a 8 3 12x k ⎧ − = − − +⎨ − =⎩ có nghiệm 0 2 0 0 0 0 2 0 0( )x (x 1) 2x (2 3a)x 2 3a 0 x 1 ; k 9 f 2x (2 3a)x 2 3a ⎡ ⎤⇔ − − − + − =⎣ ⎦ = =⎡⇔ ⎢ = − − + − =⎣ 0 Theo bài toán ta có = 0 có 2 nghiệm phân biệt 0( )xf 2 2(2 3a) 8(2 3a) 0 a a 2 (*) 3 ⇔ − − − > ⇔ > ∨ < − 0( )xf = 0 thỏa k1.k2 = -1 0 2 2 1 2 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 (x ) (3 12t )(3 12t ) 1 9 36 (t t ) 2t t 144t t 1 Với t t là 2 nghiệm của f = 0 ⇔ − − = − ⎡ ⎤⇔ − + − + = −⎣ ⎦ Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Gọi (Cm) là đồ thị 2x (1 2m)x my f (x) x 1 + − −= = − . Hãy xác định giá trị m để (Cm) cắt Ox tại 2 điểm và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với Giải 2 2 x 2x my ' f '(x) (x 1) + += = + ; my x 2m ;(m 0) x 1 = − + ≠+ (Cm) cắt Ox tại hai điểm phân biệt ⇔ phương trình : 2x (1 2m)x m 0+ − − = (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ 2 2 (1 2m) 4( m) 0 ( 1) (1 2m)( 1) m 0 ⎧Δ = − − − >⎪⎨ − + − − − ≠⎪⎩ ⎧⎨ đúng. ⇔ 24m 1 0 m 0 + > ≠⎩ ≠Vậy với m thì (Cm) cắt Ox tại 2 điểm phân biệt với 0 1 2( ,0), ( ,0)M x N x 1 2,x x là 2 nghiệm của phương trình (1). Khi đó ta có : 1 2x x 2m 1+ = − và 1 2x x m= − Tiếp tuyến tại M, N vuông góc nhau ⇔ 1 2'( ) '( ) 1f x f x = − ( )