Chuyên đề Đường tròn - Đường thẳng với đường tròn

Chuyên đề ĐƯỜNG TRÒN - ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CHUNG Sau khi học xong chủ đề này, học sinh có khả năng : - Nắm được các tính chất trong một đường tròn (sự xác định một đường tròn, tính chất đối xứng, liên hệ giữa đường kính và dây, liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây) ; vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn ; vị trí tương đối giữa hai đường tròn; đường tròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp và đường tròn bàng tiếp một tam giác . - Rèn luyện kỹ năng về vẽ hình và đo đạt, biết vận dụng các kiến thức về đường tròn trong các bài tập về tính toán, chứng minh . Bài 1: SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được định nghĩa đường tròn, các cách xác định một đường tròn, đường tròn ngoại tiếp tam giác, tam giác nội tiếp đường tròn . Nắm được đường tròn là hình có tâm đối xứng, có trục đối xứng, vị trí tương đối của một điểm với đường tròn . - Rèn kỹ năng chứng minh các điểm thuộc một đường tròn, xác định vị trí của một điểm với một đường tròn . - Rèn thái độ áp dụng kiến thức đã học vào thực tế như tìm tâm một đường tròn, nhận biết một số vật thể hình tròn có tâm đối xứng, có trục đối xứng B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Các cách xác định một đường tròn . a) Một đường tròn xác định khi biết được một điểm làm tâm và một độ dài làm bán kính . b) Một đường tròn xác định khi biết được một đoạn thẳng làm đường kính . (Tâm của đường tròn này là trung điêm của đợn thẳng đã cho) c) Qua ba điểm không thẳng hàng, ta xác định được duy nhất một đường tròn (Tâm của đường tròn này là giao điểm ba đường trung trực của tam giác nhận ba điểm đã cho là đỉnh ; đường tròn này gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác và tam giác này được gọi là tam giác nội tiếp một đường tròn) . Lưu ý : Qua hai điểm phân biệt, ta có thể vẽ được vô số đường tròn . Tâm các đường tròn này nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó . 2 - Ba vị trí tương đối của điểm M với (O ; R) + M nằm ngoài (O ; R) ó OM > R . + M nằm trên (O ; R) ó OM = R . + M nằm trong (O ; R) ó OM < R . Lưu ý : Hình tròn là hình gồm tất cả các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm trong đường tròn . 3 - Đường kính và một số tính chất của đường kính : Định nghĩa : Đường kính là dây đi qua tâm của đường tròn . Tính chất : + Đường kính gấp đôi bán kính . + Đường kính là dây cung lớn nhất trong đường tròn . + Đường kính là trục đối xứng của đường tròn . 4 - Một số định lý bổ sung : a) Tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền . b) Một tam giác nội tiếp trong một đường tròn nhận cạnh lớn nhất làm đường kính thì tam giác đó là tam giác vuông .Có thể tóm tắt hai định lý trên qua mối quan hệ sau : ÐAMB = 900 ó Điểm M nằm trên đường tròn đường kính AB . c) Đường tròn là hình có tâm đối xứng, là hình có trục đối xứng . Tâm đối xứng của đường tròn là tâm của nó . Trục đối xứng của đường tròn là đường kính của nó . II - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 1 : Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn Phương pháp chung : Chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm cố định nào đó, trường hợp đặc biệt có thể chứng minh các điểm đó tạo thành một hình chữ nhật hay nhiều hình chữ nhật có các đường chéo đồng quy, hay chứng minh các điểm đó tạo thành các tam giác vuông có chung cạnh huyền v. v... . Ví dụ 1 : Cho DABC . Gọi M là trung điểm của BC . Vẽ MD vuông góc với AB, ME vuông góc với AC . Trên tia BD và CE lần lượt lấy các điểm I và K sao cho D là trung điểm của BI, E là trung điểm của CK . Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K cùng nằm trên một đường tròn . Giải : Ta có MB = MC (1) Mà DBMI cân tại M (MD^BI và BD=DI) Suy ra MB = MI (2) Tương tự ta chứng minh được MC = MK (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra MB = MC = MI = MK Vậy B, I, C, K cùng nằm trên đường tròn . Ví dụ 2 : Cho tứ giác ABCD có ÐC + ÐD = 900 . Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, BD, DC và CA . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn . Giải : Ta có MN là đường trung bình DABD PQ là đường trung bình DACD Nên MN//PQ//AD và MN=PQ=AD/2 Suy ra MNPQ là hình bình hành . Mặt khác vì ÐC + ÐD = 900+ nên AD^BC Mà MN //AD, NP // BC nên MN^NP Hay ÐMNP= 900 Do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật . Gọi O là giao điểm hai đường chéo MP và NQ của MNPQ, theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật ta có OM = ON = OP = OQ . Vậy bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn (O) . Vấn đề 2 : Vị trí tương đối của một điểm với đường tròn Phương pháp chung : Muốn xác định được vị trí của một điểm với một đường tròn ta dựa vào kết quả so sánh khoảng cách từ điểm đó đến tâm đường tròn với bán kính của đường tròn đó mà kết luận . Ví dụ : Cho (O ; R) và điểm A cố định nằm ngoài (O) . Một điểm B bất kỳ thuộc đường tròn (O) . Chứng minh rằng trung điểm M của AB luôn nằm trên một đường tròn cố định . Giải : Gọi I là trung điểm OA . Ta có I cố định vì O và A cố định . Mà IM là đường trung bình của DOAM nên IM = OB/2 = R/2 (không đổi) Do đó trung điểm M của AB luôn nằm trên một đường tròn cố định với I là trung điểm của OA III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho tam giác đều ABC . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA .Chứng minh bốn điểm B, M, P và C cùng nằm trên đường tròn tâm (N) Hướng dẫn : Vì ABC đều nên AB=AC=BC Mặt khác M,N,P là trung điểm của AB, BC, CA NB=NC=PA=PC=MA=MB (1) Và PN, NM là các đường trung bình của ABC PN=MA=MB, NM=PA=PC (2) Từ (1) và (2) ta có :NB = NC = NM = NP Vậy : bốn điểm B, M, P và C cùng nằm trên đường tròn tâm (N) Bài 2 : Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau . Gọi M, N. P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn . Hướng dẫn : Vì M, N. P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA MN, PQ là các đường trung Bình của ABC và ADC MN// PQ, MN= PQ MNPQ là hình bình hành, mặt khác AC BD MNPQ là hình chữ nhật MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường và MP= NQ bốn điểm M, N, P, Q cùng nằm trên một đường tròn . Bài 3 : Cho 5 điểm A, B, C, D, E biết rằng qua 4 điểm A, B, C, D có thể vẽ được một đường tròn, qua bốn điểm B, C, D, E cũng có thể vẽ được một đường tròn . Hỏi qua 5 điểm A, B, C, D, E ta có thể vẽ được một đường tròn không ? Hướng dẫn : Vì qua 3 điểm B, C, D chỉ dựng được duy nhất một đường tròn nên các điểm A, E cũng phải thuộc đường tròn chứa 3 điểm B, C, D Qua 5 điểm A, B, C, D, E ta có thể vẽ được một đường tròn . Bài 4 : Cho DABC . Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB tại D . Xác định trực tâm của DABC nếu : Đường tròn (O) cắt cạnh AC tại E . Đường tròn (O) cắt tia đối của tia CA tại E . Hướng dẫn : a) D Xét DBC, ta có :Ba điểm D, B, C nằm trên đường tròn (O) đường kính BC (gt) => D DBC vuông tại D => BD CD hay CD AB. Cmtt : BE   AC => BE, CD là hai đường cao của DABC gọi K là giao điểm của chúng => K là trực tâm của DABC b) Chứng minh tương tự phần a Bài 5 : Cho tam giác ABC .Vẽ các đường cao BD và CE . Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn . Có thể khẳng định bao giờ điểm A cũng nằm bên ngoài đường tròn đó không ? Hướng dẫn : Xét  ΔBEC vuông tại E (gt) => 3 điểm B, E, C cùng nằm Trên đường tròn đường kính BC. (1) Xét  ΔBDC vuông tại D (gt) => 3 điểm B, D, C cùng nằm Trên đường tròn đường kính BC. (2) Từ (1) và (2) => 4 điểm B, D, C, E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC b) * Nếu ΔABC có góc A nhọn thì điểm A cũng nằm bên ngoài đường tròn * Nếu ΔABC có góc A vuông thì điểm A trùng với các điểm E, D nên A nằm trên đường tròn * Nếu ΔABC có góc A tù thì điểm A nằm bên trong đường tròn Bài 6 : Trong tất cả các đường tròn đi qua hai điểm phân biệt A và B thì đường tròn nào có đường kính nhỏ nhất ? Giải thích tại sao ? Hướng dẫn : Đường tròn có đường kính AB là đường tròn có đường kính nhỏ nhất vì: Các đường tròn không nhận AB làm đường kính thì AB là dây cung nên AB luôn nhỏ hơn đường kính. Bài 7 : Cho nửa đường tròn (O ; R), đường kính AB và một dây CD . Gọi P và Q là hình chiếu của A và B lên đường thẳng CD . Chứng minh P và Q nằm ngoài (O ; R) Hướng dẫn : * Nếu CD // AB thì tứ giác ABQP là hình chữ nhật => QP = AB mà AB là đường kính và CD Là một dây => QP > CD => P và Q nằm ngoài (O ; R) * Nếu CD không // AB vì P và Q là hình chiếu của A và B lên đường thẳng CD nên tứ giác ABQP là hình thang vuông => QP >AB > CD => P và Q nằm ngoài (O ; R) = = = = = = = = = = = = = & = = = = = = = = = = = = = Bài 2: ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CỦA ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được các tính chất của đường kính, quan hệ vuông góc của đường kính với dây cung . - Vận dụng quan hệ vuông góc của đường kính và dây cung để chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai đường thẳng vuông góc - Rèn tính chính xác trong việc suy luận và chứng minh . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : Định lí 1 : Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính. Định lí 2 :Trong đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây ấy. Định lí 3 :Trong đường tròn, đường kính đi qua trung điểm với một dây không qua tâm thì vuông góc với dây ấy. II - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 3 : Dựng một dây của đường tròn Ví dụ : Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm trong đường tròn . Dựng dây AB nhận P làm trung điểm . Giải : a) Phân tích : Giả sử vẽ được dây AB nhận P làm trung điểm . Ta có OP vuông góc với AB . b) Dựng : Vẽ đoạn OP Vẽ dây AB vuông góc vớ OP tại P . Chứng minh : - Ta có OP vuông góc với OP tại P nên AB đi qua P và P là trung điểm của AB Biện luận : + Nếu P trùng O thì có vô số dây AB thỏa mãn (mỗi dây là một đường kính) + Nếu P khác O thì chỉ có một dây AB thỏa mãn đề bài như cách dựng trên . Vấn đề 4 : Tính toán hình học Ví dụ : Cho đường tròn tâm O và hai dây AB, AC vuông góc với nhau có độ dài theo thứ tự bằng 6 cm và 8 cm . Tính khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Tính bán kính của đường tròn (O) . Giải : a) Vẽ OH ^ AB và OK ^ AC . Suy ra AH=BH=AB/2=3cm, AK=CK=AC/2=4cm, Ta có OHAK là hình chữ nhật (có 3 góc vuông) Nên OH = AK = 4cm ; OK = AH = 3cm b) Ta có DABC vuông tại A nên . Mà DABC vuông tại A nội tiếp trong (O) nên BC là đường kính . Do đó bán kính của đường tròn là BC/2 = 5cm Cách khác : Ta có DOBA vuông tại H nên Vậy bán kính đường tròn (O) là 5cm . Vấn đề 5 : Vận dụng chứng minh . Ví dụ : Cho đường tròn (O) và dây CD cắt đường kính AB tại I . Gọi H, K, M lần lượt là hình chiếu của A, B, O lên CD . Chứng minh CH = DK . Giải : Ta có CM = DM ( OM ^ CD) (1) Mặt khác OM//KB (cùng vuông góc với CD) và OA = OB Nên AN = NK ( N là giao điểm của OM với AK) . Ta lại có AN = NK và NM // AH (cùng vuông góc với CD)nên MH = MK (2) Từ (1) và (2) suy ra CH = DK III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M khác O và nằm trong (O) Qua M dựng dây AM sao cho AB có độ dài lớn nhất (nhỏ nhất) . Dựng điểm P trên đường tròn (O) để góc OPM có số đo lớn nhất Hướng dẫn : a) Dây lớn nhất là đường kính, dây nhỏ nhất là dây vuông góc với OM tại M . b) Vẽ dây PQ qua M ta được góc OPM lớn nhất ó góc POM nhỏ nhất ó PQ nhỏ nhất để áp dụng câu a Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm ngoài (O) . Dựng đường kính CD của đường tròn sao cho AC = BD . Hướng dẫn :Đường kính CD xác định khi biết một mút của nó nên vẽ điểm A' đối xứng với A qua O ta sẽ có DA'BD cân tại D=>cách xác định điểm D trên (O). Bài 3 : Cho tam giác nhọn ABC . Các đường cao AD, BE cắt nhau tại H . Chứng minh rằng : a)A, E, D, B cùng nằm trên một đường tròn ; b) DE < CH Hướng dẫn : a) Chú ý các tam giác ADB và AEB vuông tai E và D. b) Chứng minh C, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính CH . Bài 4 : Cho đường tròn (O ; R), AB là dây cung không đi qua O . I là một điểm di động trên đoạn thẳng AB . Vẽ dây CD của đường tròn (O), CD vuông góc với AB tại I . Đường thẳng qua O song song với AB cắt CD tại K . a) Chứng minh KC = KD . b) Xác định vị trí điểm I để diện tích tứ giác ACBD lớn nhất . Hướng dẫn : a) Chứng minh OK vuông góc với CD . b)SACBD lớn nhất khi CD =2R I là trung điểm của AB Bài 5 : Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R . Vẽ dây BC vuông góc với AD tại trung điểm I của OD . Chứng minh rằng tam giác ABC đều . Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R . Hướng dẫn : a) Chứng minh tam giác ABC cân có một góc bằng 600 b) Tính độ dài BI để suy ra BC. Bài 6 : Chứng minh rằng trong một đường tròn hai dây đi qua tâm không thể cắt nhau tại trung điểm của mỗi dây . Hướng dẫn : Sử dụng phản chứng và dựa vào tiên đề EuClid về vuông góc để lập luận Bài 7 : Từ một điểm A trên đường tròn (O ; R) ta vẽ hai dây AB và AC vuông góc với nhau . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Chứng minh MN có độ dài không đổi khi góc BAC quay quanh A . Hướng dẫn :Tứ giác MANO là hình chữ nhật => MN= OA = R (không đổi) Bài 8 : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và vuông góc với nhau tại I . Giả sử IA = 2cm, IB = 4cm . Hãy tính : Khoảng cách từ tâm O đến mỗi dây . Bán kính đường tròn (O) . Hướng dẫn: Có IA, IB tính được AB và CD và mỗi nửa dây AB, CD, chứng minh được một hình chữ nhật để tính được các khoảng cách từ O đến mỗi dây, sau đó ứng dụng Pitago để tính bán kính . Bài 9 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD song song với nhau . Chứng minh AC = BD và AD = BC Tính khoảng cách từ tâm O đến AC biết khoảng cách từ O đến AM là 2cm, khoảng cách từ O đến CD là 4 cm . Hướng dẫn : a) Cần chứng minh ABDC là hình thang cân theo hướng hình thang có trục đối xứng là đường thẳng đi qua trung điểm của hai đáy . b) Vẽ thêm CH vuông góc với AB và chú ý phải tính trong hai trường hợp AB và CD nằm ở hai phía điểm O, AB và CD nằm ở một phía điểm O Bài 10 : Cho hình thang vuông ABCD (AB^BC, DC^BC) . Vẽ nửa đường tròn đường kính AD cắt BC tại E và F . Gọi I là trung điểm của BC . Chứng minh rằng : a) AD > AB + CD b) ÐAID > 900 c) BE = CF Hướng dẫn : a) AD = 2OE , OE > OI, OI là đường trung bình hình thang ABCD b) OI cắt (O) tại H ,có ÐAID =ÐAIO+ÐOID ;ÐAHD = ÐAHO+ÐOHD = 900 ; ÐAIO >ÐAHO, ÐOID>ÐOHD . Chứng minh BI = CI và EI = IF = = = = = = = = = = = = = & = = = = = = = = = = = = = Bài 3: LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được mối liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây trong một đường tròn - Biết vận dụng mối liên hệ trên để so sánh độ dài hai dây, hai đoạn thẳng, so sánh các khoảng cách . - Rèn tính chính xác trong suy luận và chứng minh . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Trong một đường tròn, hai dây bằng nhau thì cách đều tâm . hai dây cách đều tâm thì bằng nhau 2 - Trong hai dây của một đường tròn, Dây nào gần tâm hơn thì lớn hơn . Dây nào lớn hơn thì gần tâm hơn . II - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 6 : So sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc ... Phương pháp chung : Để so sánh các dây, các đoạn thẳng, các góc với nhau ta có thể sử dụng các định lý về mối quan hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây, các bất đẳng thức trong tam giác, mối quan hệ giữa góc và cạnh trong một tam giác ... Ví dụ 1 : Cho đường tròn (O ; 6cm) và hai dây AB và CD không song song nhau có độ dài theo thứ tự là 8cm và 10cm . Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, CD . Hãy so sánh các góc OMN và ONM . Hãy so sánh diện tích hai tam giác OCD và OAB Giải : a) So sánh hai góc OMN và ONM Ta có AB =8cm < 12cm nên dây AB không qua tâm O Và CD = 10cm < 12cm nên dây CD không qua tâm O Vì AM = MB và CN = ND nên OM^AB và ON^CD Vì AB = 8 cm ON Do đó ÐONM > ÐOMN . b) So sánh diện tích của hai tam giác OCD và OAB Ta có các tam giác OCN và OAM vuông nên và Do đó ; Vì nên Vấn đề 7 : Chứng minh hai dây bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau Phương pháp chung : Để chứng minh hai dây bằng nhau hay các đoạn thẳng có liên quan đến các dây bằng nhau ta có thể chứng minh các dây đó cách đều tâm hay tổng các đoạn thẳng tạo nên đoạn thẳng đó bằng nhau . Ví dụ : Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn . Chứng minh rằng : IO là tia phân giác của một trong các góc tạo bởi hai dây AB và CD . Điểm I chia AB và CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một . Giải : a) Chứng minh IO là phân giác góc DIB Ta vẽ OK^CD và OH^AB. Vì AB = CD nên OK = OH Do đó IO là tia phân giác của góc DIB ( O cách đều hai cạnh của góc đó) b) Chứng minh AI = CI ; DI = BI Xét DIKO và DIHO có OH = OK, OI chung, và ÐK=ÐH=900 nên DIKO = DIHO (ch - gn) Suy ra HI = KI . Mà AH = HB =(OH^AB) ; CK= KD =(OK^CD) Và AB = CD nên AH = HB = CK = KD Do đó AH - HI = CK - KI ; IK + KD = IH + HB Hay AI = CI ; DI = BI . III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O) .Kẻ hai cát tuyến MAB và MCD (A nằm giữa M và B, C nằm giữa M và D) gọi E và F lần lượt là trung điểm của AB và CD . Cho biết ME < MF, hãy so sánh MB và MD Hướng dẫn : Chứng minh được OE > OF nhờ ME2 + OE2 = MF2 + OF2 = MO2 Bài 2 : Cho đường tròn (O) và hai dây AB, CD song song nhau . So sánh khoảng cách từ tâm O đến hai dây AC và BD Hướng dẫn : Chứng minh ABDC là hình thang cân để có AC = BD Bài 3 : Cho DABC cân tại A (ÐA>600) nội tiếp trong đường tròn (O) . Gọi OD, OE, OF lần lượt là khoảng cách từ O đến AB, BC, CA . So sánh : a) OD và OF b) OD và OE Hướng dẫn : a) chú ý AB = AC b) Chú ý điều kiện ÐA>600 và ÐB=ÐC Bài 4 : Cho góc xOy khác góc bẹt, hai cạnh Ox, Oy cắt đường tròn tâm M theo hai dây AB và CD sao cho AB > CD . Vẽ MH ^ AB tại H, MK ^ CD tại K . So sánh OH với OK . Hướng dẫn : Tương tự hướng dẫn bài 1 Bài 5 : Cho đường tròn (O) và các dây AB, CD bằng nhau . Các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD . Chứng minh EO là tia phân giác của góc HEK . Tứ giác ABDC là hình gì ?Vì sao ? Hướng dẫn : a) DEHO=D EKO b) ABDC là hình thang cân Bài 6 : Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB . Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN . Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN . Chứng minh rằng OC là phân giác góc AOB . OC vuông góc với AB . Hướng dẫn : Vẽ các đoạn thẳng OH, OK theo thứ tự vuông góc với AM , BN . Bài 4: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm vững ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, các khái niệm tiếp tuyến, tiếp điểm, tính chất của tiếp tuyến, nắm được mối quan hệ giữa khoảng cách từ tâm đến đường thẳng và bán kính của đường tròn với từng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn . - Vận dụng các hệ thức để nhạn biết vị trí tương đối của đường thẳng với đường tròn . - Có thái độ chuẩn xác trong quá trình nhận biết . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Đường thẳng và đường tròn có nhiều nhất hai điểm chung . 2 - Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng a . Gọi d là khoảng cách từ tâm O với đường thẳng a (d = OH , OH ^a, H Î a) . Ta có ba vị trí tương ối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng a như sau : a - Đường thẳng a cắt đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 2 ó d < R . Khi đó đường thẳng a được gọi là cát tuyến . b - Đường thẳng a tiếp xúc đường tròn (O ; R) ó số điểm chung : 1 ó d = R . Khi đó đường thẳng a được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (O ; R) và H gọi là tiếp điểm . c - Đường thẳng a và đường tròn (O ; R) không giao nhau ó số điểm chung : 0 ó d > R . 3 - Tính chất của một tiếp tuyến : Nếu đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn (O) thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm . II - Một số vấn đề cần thiết : Vấn đề 8 : Vị trí tương đối của một đường thẳng với một đường tròn . Phương pháp chung : Ta sử dụng mối quan hệ hai chiều của vị trí tương đối của đường tròn (O ; R) với đường thẳng bằng cách so sánh khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng với bán kính của đường tròn . Ví dụ : Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm . Vẽ đường tròn (A ; 13cm) . Chứng minh rằng đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy . Gọi B và C là hai giao điểm nói trên . Tính độ dài BC . Giải : a) Đường tròn (A ; 13cm) có hai giao điểm với đường thẳng xy Vẽ AH ^ BC, ta có AH = 12 cm < R = 13cm nên đường thẳng a cắt đường tròn (O ; 13cm) . Do đó đường thẳng xy có hai điểm chung với (A) b) Độ dài BC Vì AH ^BC nên BC = 2.CH và Do đó BC = 10cm Vấn đề 9 : Chứng minh, tính toán hình học : Phương pháp chung : Sử dụng tính chất vuông góc của tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp điểm và các hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh hay tính toán Ví dụ : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB . Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại M . Từ A và B vẽ AE, BF lần lượt vuông góc với d (E, F Î d) . Chứng minh AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn . Kẻ MD ^ AB, chứng minh rằng MD2 = AE.BF Xác định vị trí của M để AE.BF lớn nhất . Giải : a) Chứng minh rằng AE + BF không đổi khi M chạy trên nửa đường tròn . Ta có AE ^ d, BF^d (gt) và OM^d (d là tiếp tuyến của (O)) Nên AE // BF // OM . Mà AO = OB = bk nên EM = MF . Do đó OM là đường trung bình của hình thang AEFB . Cho nên AE + BF = 2OM = không đổi b) Chứng minh MD2 = AE.BF Ta có ÐAMB = 900 (MÎđường tròn đường kính AB) Mà MD ^ AB nên MD2 = AD.BD (1) Xét DAEM và DADM có ÐE=ÐD=900, AM chung và ÐEMA=ÐDMA (phụ với ÐAMD=ÐMAD) Nên DAEM và DADM => AE = AD (2) Tương tự ta chứng minh được BF = BD (3) Từ (1), (2) và (3), ta được MD2 = AE.BF c) Vị trí M để AE.BF lớn nhất Ta có MD2=AE.BF nên AE.BF lớn nhất khi MD lớn nhất . Mà MD £ MO Nên MD lớn nhất khi MD là bán kính tức D trùng với O và M là điểm chính giữa của nửa đường tròn (O) . III - Bài tập áp dụng : Bài 1 : Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho I(- 3 ; 2) . Nếu vẽ đường tròn (I ; 2) thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ . Hướng dẫn : (I ; 2) tiếp xúc với trục Ox và không giao nhau với trục Oy . Bài 2 : Cho đường tròn (O ; 2cm) và một điểm A nằm ngòa đường tròn (O) . một cát tuyến qua A và đường tròn tại B và C sao cho AB = BC . Vẽ đường kính COD . Tính độ dài AD . Hướng dẫn : AD=4cm (có thể chứng minh DADC cân tại D hay AD = 2OB) Bài 3 : Cho hình thang vuông ABCD (ÐA =ÐD =900), AB= 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm . Tính độ dài AD . Chg minh đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC . Hướng dẫn : a) Vẽ thêm BH^CD .b) Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC dến AD để so sánh với bán kính đường tròn và kết luận . Bài 4 : Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA . Tứ giác OCAD là hình gì ? vì sao / Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I . Tính độ dài CI biết OA = R Hướng dẫn : a) OCAD là hình thoi . b) Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông . Bài 5 : Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB . Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, vẽ tiếp tuyến d của nửa đường tròn . Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB . Chứng minh rằng : a) CE = CF b) AC là tia phân giác của góc BAE c) CH2= AE.BF Bài 6 : Cho điểm A và đường tròn (O ; 8cm) biết OA = 16cm . Vẽ một đường thẳng d qua A và tạo với AO một góc a . Hỏi số đo góc a phải như thế nào để : đường thẳng d không giao nhau với đường tròn . đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn . đường thẳng d cắt đường tròn . d cắt đường tròn tại hai điểm C và D sao cho CD = 12cm . Hướng dẫn : Vẽ OI vuông góc với d, ta có OI = AO.sina = 16.sina . So sánh 16.sina với R = 8cm để tìm ra điều kiện của góc a Bài 7 : Cho đường tròn (O ; R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn . Hãy dựng một cát tuyến ABC sao cho AB = BC Hướng dẫn : Giả sử dựng được cát tuyến ABC theo đề bài . Gọi I là trung điểm BC . Ta có BI=AI/3. Vẽ BP//OI ta được AP=2AO/3 và ÐABP = 900. Do đó điểm P xác định được và từ đó xác định được điểm B Bài 8 : Cho đường tròn (O ; R) và điểm I nằm bên trong đường tròn . Dựng dây AB đi qua I và có độ dài bằng k ( k < 2R) . Hướng dẫn : Dây AB đó là tiếp tuyến đi qua I của đường tròn Bài 9 : Cho đường tròn (O ;R) . Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O) . Kẻ cát tuyến ABC sao cho phần ở ngoài (O) là AB = R . Vẽ cát tuyến AED đi qua O (E nằm giữa A và D) . Chứng minh ÐCOD = 3ÐCAD Tính số đo ÐCAD trong trường hợp AB = BC = R . Hướng dẫn : a) Sử dụng góc ngoài tam giác và góc của tam giác cân . b) Tam giác OBC đều . Bài 5: DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . A - MỤC TIÊU CẦN ĐẠT : - Nắm được dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn . - Biết vẽ tiếp tuyến của một đường tròn, biết vận dụng các dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn vào các bài tập chứng minh, tính toán . - Tăng tính thãm mỹ hình học qua hình ảnh tiếp tuyến của đường tròn . B - NỘI DUNG CỤ THỂ : I - Ghi nhớ : 1 - Nếu một đường thẳng đi qua một điểm thuộc đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đố thì đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn . 2 - Nếu một đường thẳng m