Chuyên đề Elip

Elip Lý thuyết. Định nghĩa. Hai điểm F1, F2 gọi là các tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c gọi là tiêu cự của elip. Phương trình chính tắc của Elip. Cho elip như trong định nghĩa. Chọn hệ trục tọa độ Oxy có gốc là trung điểm đoạn thẳng F1F2. Trục Oy là trung trực của F1F2 và F2 nằm trên tia Ox. Giả sử điểm M(x;y) nằm trên elip (E). Khi đó ta có: Phương trình (1) gọi là phương trình chính tắc của elip đã cho. Hình dạng của Elip. a). Tính đối xứng. Cho elip có phương trình (1). Nếu điểm M(x0; y0) nằm trên elip thì các điểm sau đây cũng nằm trên elip: M1(-x0; y0), M2(x0; -y0), M3(-x0; -y0). Ta có tính chất : Elip có phương trình (1) nhận các trục tọa độ làm các trục đối xứng và nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng. b). Hình chữ nhật cơ sở. (vẽ hình) Elip với phương trình chính tắc (1) cắt trục Ox tại hai điểm A1(-a; 0), A2(a; 0), cắt trục Oy tại hai điểm B1(0; -b), B2(0; b). Bốn điểm đó gọi là các đỉnh của elip. Trục Ox được gọi là trục lớn, cũng gọi A1A2 là trục lớn, 2a là độ dài trục lớn. Trục Oy được gọi là trục bé, cũng gọi B1B2 là trục bé, 2b là độ dài trục bé. Vẽ qua A1, A2 hai đường thẳng song song với trục tung ( x= -a, x=a), vẽ qua B1, B2 hai đường thẳng song song với trục hoành (y = -b, y=b). Bốn đường thẳng đó cắt nhau tạo thành hình chữ nhật PQRS. Ta gọi hình chữ nhật đó là hình chữ nhật cơ sở của elip. Ta có tính chất: Mọi điểm của elip (1) nếu không phải là đỉnh đều nằm trong hình chữ nhậtk cơ sở của nó. Bốn đỉnh của elip là trung điểm các cạnh của hình chữ nhật cơ sở. c). Tâm sai. Đ/n: Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn của elip gọi là tâm sai của elip và được ký hiệu là e, e=. Ta có 0 < e < 1. Và e = . Ngoài ra ta có: nên khi e càng gần 0, thì b càng gần a, khi đó đường elip càng béo. Khi e càng gần 1 thì b càng gần 0, hình chữ nhật cơ sở càng dẹt, do đó elip càng gầy. d). Elip và phép co đường tròn. Bài toán: Trog mặt phẳng tọa độ, cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 = a2 và một số k, 0<k<1. Với mỗi điểm M(x; y) thuộc đường tròn (C), lấy điểm M(x’;y’) sao cho x’ = x và y ‘ = ky. Tìm tập hợp các điểm M’. Giải. Đặt b = ka, thì tập hợp các điểm M’ là elip (E) có phương trình (1). Người ta nói phép co về trục hoành theo hệ số k biến đường tròn (C) thành elip (E). Đường chuẩn của elip. Cho elip có phương trình chính tắc (1). Khi đó đường thẳng D1: gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1(-c; 0); đường thẳng D2: gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2(c; 0). Ta có tính chất sau: Với mọi điểm M thuộc elip, ta luôn có: Bài tập. Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của một elip khi biết các thành phần đủ để xác định elip đó. Cách giải: Từ các thành phần đã biết, áp dụng các công thức liên quan tìm a, b trong pt chính tắc. Lập ptct của elip theo công thức (1). Ta có các hệ thức sau : 0 < b < a c2 = a2 – b2. tâm sai e = . Hai tiêu điểm F1(-c; 0), F2(c; 0) các đỉnh của elip: A1(-a; 0), A2(a; 0), B1(0; -b), B2(0; b) 2a là độ dài trục lớn, 2b là độ dài trục bé, tiêu cự : 2c. Diện tích hình chữ nhật cơ sở = 2a*2b. Bài 1: Lập phương trình chính tắc của các elip sau: Tiêu cự bằng 6, trục lớn bằng . Trục lớn bằng 10, tâm sai bằng 0,8. Tiêu cự bằng 6, tâm sai bằng 0,6. Tổng độ dài hai nửa trục là 10, tiêu cự . Tâm sai 2/3 và đi qua J(2; -5/3). Đi qua A(4; ) và B(; 3). Tiêu cự bằng 6 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 50/3. Tâm sai bằng 3/4 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 32/3. Tiêu cự bằng 4, khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 5. Độ dài trục lớn là 8, khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 16. Tâm sai bằng 0,5 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn là 32. Độ dài trục lớn là 26 và tâm sai e = 12/13. Đi qua hai điểm M(4 ;0) và N(2 ; ). Có tiêu cự bằng 6 và đi qua A(;). Có tâm sai bằng và hình chữ nhật cơ sở có chu vi bằng 20. (A-2008) Một tiêu điểm có tọa độ (; 0) và điểm (1; ) nằm trên elip. Đ/s:f) . p) . Vấn đề 2: Xác định các thành phần của một elip. Cách giải: Dựa vào các hệ thức đã nêu ở trên. Bài 1: (DHDL Duy Tân, 2000). Trong mặt phẳng Oxy cho elip (E): Hãy xác định tọa độ các tiêu điểm F1, F2, các đỉnh, và tính tâm sai của elip đã cho. Xác định phương trình đường chuẩn của elip. Hãy viết phương trình đường tròn (C) có đường kính F1F2 . Tìm tọa độ điểm M thuộc elip sao cho MF1 = 4 MF2. Đ/s: M=A2(5;0). Bài 2 : Cho một elip (E) có tâm sai bằng 2/3; bán kính qua tiêu điểm F1 của điểm M thuộc elip (E) bằng 10. Tìm khoảng cách từ M đến đường chuẩn D1 ( D1 là đường chuẩn tương ứng với tiêu điểm F1). Đ/s : 15. Bài 3: Cho elip (E): (a>b>0). Tính tâm sai của elip, biết : Mỗi tiêu điểm nhìn trục nhỏ dưới một góc 2 α. Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục khác nhau bằng k lần tiêu cự (k>1/2). Khoảng cách giữa 2 đường chuẩn bằng k lần tiêu cự. Đ/s: e = cosα. e= . e= . Vấn đề 3: Chứng minh điểm M di động trên một elip. Cách 1: Chứng minh tổng khoảng cách từ M đến hai điểm cố định là một hằng số. Cách 2: Chứng minh trong hệ tọa độ Oxy đã chọn, điểm M(x;y) có tọa đoọ thỏa mãn phương trình dạng (1). Bài 1: Cho hai đường tròn (C1) (F1; R1), (C2) (F2; R2). (C1) nằm trong (C2) và F1 ≠ F2. Gọi M là tâm của đường tròn (C) thay đổi nhưng luôn tiếp xúc ngoài với (C1) và tiếp xúc trong với (C2). Chứng tỏ rằng điểm M di động trên một elip. Bài 2: Cho hai điểm B, C phân biệt, cố định. Chứng minh rằng tập hợp những đỉnh A của tam giác ABC mà đường thẳng Ơle của nó song song với BC là một đường Elip. (Đường thẳng Ơle của một tam giác là đường thẳng đi qua trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp). HD: Chọn hệ trục tọa độ sao cho O là trung điểm BC, BC = trục Oy. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) di động có tọa độ thỏa mãn: , trong đó t là tham số thay đổi. Hãy chứng minh điểm M di động trên một elip. Đ/s: Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A chạy trên trục Ox, điểm b chạy trên trục Oy nhưng độ dài đoạn AB bằng a không đổi. Tìm tập hợp các điểm M thuộc đoạn AB sao cho MB = 2 MA. Đ/s: Vấn đề 4: Điểm thuộc elip. PP: Dựa vào phương trình và các thuộc tính của elip, đặc biệt chú ý tính đối xứng của elip. Bài 1: Cho (E): , và M(2;1). Tìm những điểm trên elip (E) có hoành độ x = - 3 và tính khoảng cách giữa hai điểm đó. Viết phương trình đường thẳng D đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. Giải: x = -3, thay vào pt (E) ta có y = -16/5 ; 16/5. Cách 1 : Lập luận để thấy đt D không thể // Oy, do M không thuộc Ox. ptđt D : y = k(x-2) + 1. Pt hoành độ giao điểm : 16x2 + 25(kx -2k+1)2 - 00 = 0. (16 + 25k2).x2 -50k(2k-1).x + 25(2k-1)2 -400 = 0. (*) Do M nằm trong (E) nên (*) luôn có 2 nghiệm x1, x2. Gọi A(x1; y1), B(x2; y2), M là trung điểm của AB nên x1 + x2 = 2xM. Theo Viet, ta có : . D: 32x+25y -89 =0. Cách 2 : Gọi A(x1; y1), B(x2; y2) thuộc elip (E), M là trung điểm của AB nên ta có: . Vì A, B thuộc (E) nên: Lấy (1) – (2) theo vế ta có: 32x1+25y1 -89 =0. Lập luận tương tự ta cũng có : 32x2+25y2 -89 =0. Do đó có pt đt AB : 32x+25y -89 =0. Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho các elip: Hãy viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của 2 elip trên. Bài 3: Cho elip (E): . Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông nội tiếp (E). Đ/s: Bài 4: (D-2005). Cho elip (E): , và điểm A(2;0). Tìm tọa độ các điểm B, C thuộc elip (E) biết rằng B, C đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều. Đ/s: . Bài 5: Tìm những điểm nằm trên elip (E): Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc vuông. Nhìn hai tiêu điểm dưới một góc 600. Giải : Ta có F1(-2;0), F2(2;0). Gọi M(x ;y) là điểm cần tìm. Khi đó . Theo bài ra ta có : Gọi P(x ;y) là điểm cần tìm, ta có Bài 6 : Cho elip (E) : và d: x- y + 2 = 0, d cắt (E) tại hai điểm B, C. Tìm tọa độ điểm A ẻ (E) sao cho diện tích tam giác ABC là lớn nhất. Giải: Do (E) và d cố định nên B, C cố định. Diện tích tam giác ABC lớn nhất khi d(A,d) lớn nhất. Gọi A(x0;y0) ẻ(E), ta có : (1) Ta cú : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta cú: Bài 7 Cho elip (E): (a>b>0) . Gọi A, B là hai điểm thuộc (E) sao cho OA, OB vuụng gúc với nhau (O là gốc tọa độ). Chứng minh rằng: cú giỏ trị khụng đổi.