Chuyên đề : Giá trị lớn nhất và các giá trị nhỏ nhất của hàm số

CHUYÊN ĐỀ : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ GIÁO VIÊN SOẠN : HUỲNH CẨM THẢO A/ Mở đầu : Trong các , kỳ thi chọn học sinh giỏi vòng tỉnh ,kỳ thi chọn học sinh giỏi quốc gia , kỳ thi chọn học sinh giỏi Olimpic , kỳ thi đại học ta thấy xuất hiện BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ . Đây là dạng toán khó đòi hỏi học sinh phải vận dụng linh hoạt và sáng tạo để giải chúng . Sau nhiều năm giảng dạy học sinh giỏi , bản thân tôi rút ra được một số kinh nghiệm và phân loại chúng thành các dạng sau : 1/ Dùng các bất đẳng thức . 2/ Sử dụng hàm số 3/ Kết hợp cả 2 phương pháp trên . B/ Các bài toán cụ thể : 1/ Dùng các bất đẳng thức : Baøi toaùn 1: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z . Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Cách 1 :Theo bất đẳng thức BCS : Cộng các bất đẳng thức trên theo vế ta được : Cách 2 : Trong mp Oxy xeùt Ta coù: (2) Ta chæ caàn chöùng minh: Thaät vaäy : VT(2) = ( do x+y+z . Baøi toaùn 2: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Theo bất đẳng thức BCS : Đặt: Baøi toaùn 3: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 4 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa : Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : Ta có : Đặt t = yz , t thuộc đoạn [-3 ; 3 ] .Khi đó : Vì (2) đúng nên (1) đúng do . Vậy MaxP = 10 khi và chỉ khi : x,y,z là các hoán vị của (2 ; 2 ; -1 ) Baøi toaùn 5: Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Vậy : MaxP = khi x = 1 , y = - 1 MinP =- khi x = -1 , y = 1 . Baøi toaùn 6: Cho x,y,z laø ba soá thực thay ñoåi thoûa: . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Đặt : Từ (1) và (2) suy ra : Baøi toaùn 7: Cho x,y, z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi thoả xyz = 1. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 8: Cho x,y, z thuộc đoạn [-2 ; 4] và x > y > z .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 9: Cho x,y, z laø ba soá thöïc khoâng aâm thay ñoåi .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Ñaët : Vì (2) ñuùng vôùi moïi t khoâng aâm neân (1) ñuùng . Vaäy : Baøi toaùn 10: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z =3.Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 11: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : Döï ñoaùn : MinP=2 khi x = y = 1. Giaûi : Ta chöùng minh : Töø giaû thieát : Do ñoù : Theo bất đẳng thức Cauchy : Suy ra : (2) đúng (1) đúng . Vậy : Baøi toaùn 12: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 13: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø x+y+z = 3xyz .Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Đặt : Baøi toaùn 14: Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi vaø .Tìm giaù giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Đặt : Suy ra : Baøi toaùn 15: Cho x,y laø hai soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : dự đoán MaxP đạt được khi x = y = 1.Khi đó MaxP = Theo bất đẳng thức Cauchy : Vì (2) ñuùng neân (1) ñuùng. Baøi toaùn 16: Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi vaø xy+yz+zx =3.Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy : Caùch 2 : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 17 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 1.Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 18 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : Baøi toaùn 19 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giaûi : Theo bất đẳng thức Cauchy : BT20: Tìm GTLN cuûa haøm soá: Giaûi: ÑK :x Daáu “=” xaûy ra khi Baøi toaùn 21 : Cho x, y là các số thực thay đổi thoả mãn: 2x(1- x) ≥ y(y - 1). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = x – y + 3xy. Giải Ta có: 2x(1 - x) ≥ y(y - 1) ( Bất đẳng thức Cô si – Svac ) Đặt t = 2x + y thì (1) thành t2 – 3t ≤ 0 0 ≤ t ≤ 3 Khi đó : (Hằng đẳng thức ) Vậy P ≤ 3 . Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = 1 Vậy MaxP = 3 khi x = y = 1 Baøi toaùn 22:Cho a,b,c dương .CMR : . Giải : Do vai trò a,b,c như nhau nên ta giả sử : . Ta chứng minh : ( 2) đúng ( 1) đúng . Do đó : Theo bất đẳng thức Cô – si (4 ) đúng (3 ) đúng (đpcm) Baøi toaùn 23: Cho x,y,laø 2 soá thöïc döông thay ñoåi vaø .Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Do vai trò x,y như nhau nên ta dự đoán : MinP=2 khi x=y = 1 . Ta CM : Mà : Theo bất đẳng thức Cô – si : (3) đúng (1) đúng MinP = 2 khi x = y = 1 Baøi toaùn 24: Cho .Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa hàm số : Giải : Đặt : Baøi toaùn 25:Cho x,y,z là 3số thực không âm đôi một khác nhau.Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Do vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : . Đặt : Dấu” = “ xảy ra khi và chỉ khi : Cách 2 :Do vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : x>z>y : Xét tương tự . Vậy : MinP = 4 khi : Baøi 26 : Cho x,y,z khaùc nhau ñoâi moät . Tìm ø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc :. . Giải : Cách 1 : Đặt : Đặt : Ta chứng minh : Do (2) đúng nên (1) đúng .Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t3 + t2 -2t-1 = 0 . Xét hàm số f(t) = t3 + t2 -2t-1 liên tục trên đoạn [ 0 ; 1 ] và f(0).f(1) < 0 nên phương trình (3) có nghiệm . Vậy MinP = 5 . Cách 2 : Đặt : Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : Xét hàm số f(t) = x3 -2x2 –x +1 liên tục trên đoạn [ 0 ; 1 ] và f(0).f(1) < 0 nên phương trình (3) có nghiệm .Vậy MinP = 5 . 2/ Sử dụng hàm số : Baøi toaùn 1 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc khoâng aâm thay ñoåi vaø x+y+z = 1.Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Do vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : Xét hàm số : Baøi toaùn 2 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa : Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Vai trò x,y,z như nhau nên ta giả sử : Ta có : Đặt t = yz , t thuộc đoạn [-3 ; 3 ] .Khi đó : Xét hàm số : Baøi toaùn 3 : Cho x,y,z laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa :. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Từ (1), (2) : Baøi toaùn 4 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa :. Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Ta có : Lập bảng biến thiên ta được : Baøi toaùn 5 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa:. Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải :Ta có: Xeùt haøm số : Baøi toaùn 6 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa : Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Đặt : Baøi toaùn 7 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi vaø x+y+z = 3.Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : Giải : Xét hàm số : Lập bảng biến thiên ta được : Baøi toaùn8 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc dương thay ñoåi thoûa:. Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Đặt : f(t) nghịch biến trên . Baøi 9 : Cho x,y,z laø ba soá khoâng aâm thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Giải : Bài tập tham khảo Baøi 1 : Tìm GTLN vaø GTNN cuûa haøm soá: Baøi 2 :Cho x, y >0 vaø x+y=1.Tìm GTNN cuûa P= Baøi 3 :Cho x,y döông vaø x+y. Tìm Min P bieát : . Baøi 4 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 5 : Cho x,y laø hai soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 6 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 7 : Cho x,y,z laø ba soá khoâng aâm thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò nhỏ nhaát cuûa bieåu thöùc : (Đs : MinP = ) Baøi 8 :. Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : . Baøi 9 : Cho x,y,z laø ba soá thöïc döông thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 10 : Cho x,y,z laøñoä daøi ba caïnh cuûa moät tam giaùc . Tìm ø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 11 : Cho x,y laø hai soá döông thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 12 : Cho x,y,z thuoäc [ 0 ; 2 ] vaø x,y,z khaùc nhau ñoâi moät . Tìm ø giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc :. . Baøi 13 :. Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá : . Baøi 14 : Cho x,y laø hai soá thay ñoåi thoûa . Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc : . Baøi 15 : Chứng minh rằng : . Baøi 16 : Chứng minh rằng : . Baøi 17 : Cho x,y,z thuoäc [ 0 ; 1 ] .Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa :P=(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z) Taøi liệu tham khảo 1/ Phân loại và phương pháp giải bất đẳng thức –Vasile Cirtoaje ( Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà nội ) . 2/ Các bài thi học sinh giỏi quốc gia ( Nhà xuất bản giáo dục – 2007 ). 3/ Tuyển tập 10 năm đề thi Olimpic 30 tháng 4 – Môn toán 10 ( Nhà xuất bản giáo dục – 2006 ). 4/ Tuyển tập 10 năm đề thi Olimpic 30 tháng 4 – Môn toán 11 ( Nhà xuất bản giáo dục – 2006 ). 5/ Khám phá bất đẳng thức – Phạm Văn Thuận – Lê Vĩ ( Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà nội ) .