Chuyên đề giải bài hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1 CHUYÊN ĐỀ GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Để giải được các bài tốn hình khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào :  Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ).  Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ  Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng.  Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách giữa hai đường thẳng  Góc giữa hai đường thẳng  Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng  Góc giữa hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc  Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc  giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu cos.' SS  2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta luôn có: SC SC SB SB SA SA V V ABCS CBAS ''' . '''. .. Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chĩp tam giác a. Dạng tam diện vuơng Ví dụ 1. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c đơi một vuơng gĩc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC cĩ khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 2 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3  zM = 3. Tương tự  M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1a b c   1 2 3M (ABC) 1a b c     (1). O.ABC 1V abc6 (2). 31 2 3 1 2 3(1) 1 3 . .a b c a b c     1 abc 276  . (2) min 1 2 3 1V 27 a b c 3      . Ví dụ: 1) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng :  2S abc a b c   (Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a)                                      2 2 2 2 2 2 BCD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 BC c; b;0 ,BD c;0;a , BC,BD ab;ac;bc 1 1S BC,BD a b a c b c 2 2 đpcm a b a c b c abc(a b c) a b a c b c abc(a b c) Theo BĐT Cauchy ta được : a b +b c 2ab c b c +c a            2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2bc a Cộng vế : a b a c b c abc(a b c) c a a b 2ca b b. Dạng khác Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuơng gĩc với đáy và ABC vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải z y x A B C D GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 3 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuơng gĩc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] =  IH, IK  (1). SB ( 1; 3; 4)    , SC (0; 3; 4)   suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t       , SC: x 0 y 3 3t z 4t      và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0.    5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25 IH.IKcos[H, SB, C] IH.IK    = Chú ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đĩ ta khơng cần phải tìm K. Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC). Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC . Gọi I là trung điểm của BC, ta cĩ: 3 a 3AI BC2 2  a 3 a 3OA , OI3 6   Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 03      a 3I ; 0; 06       , a 3 aB ; ; 06 2     , a 3 aC ; ; 06 2       , a 3 a hM ; ; 12 4 2      và a 3 a hN ; ; 12 4 2       . 2 (AMN) ah 5a 3n AM, AN ; 0; 4 24               , 2 (SBC) a 3n SB, SC ah; 0; 6               2 2 2 (AMN) (SBC) AMN 5a 1 a 10(AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN12 2 16               . 2. Hình chĩp tứ giác a) Hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với đáy và đáy là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuơng. b) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng (hoặc hình thoi) tâm O đường cao SO vuơng gĩc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cĩ GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 4 O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD đều cạnh a và vuơng gĩc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuơng gĩc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta cĩ: H(0; 0; 0),    a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2    a a a 3, C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; .2 2 2      3. Hình lăng trụ đứng Tùy theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Ví dụ: Cho h×nh lËp phư¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gãc mp’ (A'BD) Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz sao cho O  A; B  Ox; D  Oy vµ A'  Oz Gi¶ sư h×nh lËp ph¬ng ABCD A'B'C'D' cã c¹nh lµ a ®¬n vÞ  A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1) Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa mỈt ph¼ng (A'BD): A' D' C' C B A D B' I O I' Z Y X GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 5 x + y + z = a hay x + y + z –a = 0  Ph¸p tuyÕn cđa mỈt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1) VËy AC' vu«ng gãc (A'BC) 2. Tø diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mét vu«ng gãc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc Oxyz sao cho A  O D Ox; C  Oy vµ B  Oz  A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0)  Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: 1 4 4 3    x y z  3x + 3y + 4z – 12 = 0 Kho¶ng c¸ch tõ A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: Nhấn mạnh cho học sinh: II. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: §Ĩ gi¶i mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian b»ng ph­¬ng ph¸p sư dơng täa ®é §Ị c¸c trong kh«ng gian ta lµm nh­ sau: * B­íc 1: ThiÕt lËp hƯ täa ®é thÝch hỵp, tõ ®ã suy ra täa ®é c¸c ®iĨm cÇn thiÕt. * B­íc 2: ChuyĨn h¼n bµi to¸n sang h×nh häc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch: + ThiÕt lËp biĨu thøc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh. + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®iỊu kiƯn ®Ĩ suy ra kÕt qu¶ cÇn chøng minh. + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t­ỵng cÇn t×m cùc trÞ. + ThiÕt lËp biĨu thøc cho ®èi t­ỵng cÇn t×m quü tÝch v.v III. LuyƯn tËp. Bµi 1: Cho h×nh chãp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu cã ®é dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa ABC. I lµ trung ®iĨm cđa SO. z O B y C x D A GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 6 1. MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m tØ lƯ thĨ tÝch cđa tø diƯn SBCM vµ tø diƯn SABC. 2. H lµ ch©n ®­êng vu«ng gãc h¹ tõ I xuèng c¹nh SB. CMR: IH ®i qua träng t©m G cđa SAC. Lêi gi¶i: Chän hƯ trơc Oxyz sao cho O lµ gèc täa ®é AOx, S Oz, BC//Oy Täa ®é c¸c ®iĨm: 3 ( ;0;0) 3 A ; 3 1( ; ;0) 6 2  B ; 3 1( ; ;0) 6 2 C ; 6(0;0 ) 3 S ; 6(0;0; ) 6 I Ta cĩ: (0;1;0)  BC ; 3 1 6( ; ; ) 6 2 6     IC ; 6 3, ( ;0; ) 6 6        BC IC  Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: 6 3 6 ( 0) 0( 0) ( ) 0 6 6 6       x y z Hay: 6 2 0 6    z mà ta lại cĩ: 3 6( ;0; ) // (1;0; 2) 3 3        SASA SA u Phư¬ng tr×nh ®ưêng th¼ng SA: 3 ; 3  x t 0; 2  y z t . + Täa ®é ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ: 3 (1) 3 0 (2) 2 (3) 6 2 0(4) 6               x t y y t x z Thay (1) (2) (3) vµo (4) cã: 3 6 3 6 ; 0; ( ;0; ) 12 4 12 4     x y z M ; 3 6( ;0; ) 4 12 12         SM SA SM  M n»m trªn ®o¹n SA vµ 1 4  SM SA ( ) 1 ( ) 4  SBCM SABC V V . 2. Do G lµ träng t©m cđa ASC  SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC  GI  (SNB)  GI vµ SB ®ång ph¼ng (1) Ta l¹i cã täa ®é G 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 9 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18      GI 3 1 6 ( ; ; ) 18 6 18      GI . 0 (2)      GI SB GI SB Tõ (1) vµ (2)   GI SB H GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 7 Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A1B1C1 cã ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gãc víi mỈt ph¼ng (ABC). Gäi D lµ trung ®iĨm cđa BB1; M di ®éng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cđa diƯn tÝch MC1D. Lêi gi¶i: + Chän hƯ trơc täa ®é Oxyz sao cho A  O; B  Oy; A1  Oz. Khi ®ã.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) 1 3 ( ; ;2 ) 2 2 a a C a vµ D(0;a;a) Do M di ®éng trªn AA1, täa ®é M (0;0;t)víi t  [0;2a] Ta cã : 1 1 1 , 2       DC MS DC DM Ta cĩ: 1 3 ( ; ; ) 2 2 (0; ; )        a a DC a DM a t a ,      DG DM ( 3 ; 3( ); 3) 2     a t a t a a 2 2 2, ( 3 ) 3( ) 3 2           a DG DM t a t a a 1 2 2 2 2 4 12 15 2 1 . . 4 12 15 2 2      DC M a t at a a S t at a z x y I O B A C S M z x y I O H A C S G N z x C C1 M A A1 B1 B D GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 8 Gi¸ trÞ lín nhÊt hay nhá nhÊt cđa 1DC M S tïy thuéc vµo gi¸ trÞ hµm sè XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t [0;2a]) f'(t) = 8t – 12a 3 '( ) 0 2    a f t t Lập BBT gi¸ trÞ lín nhÊt cđa 1 2 15 4 DC M a S khi t =0 hay M A Chú ý + Hình chĩp tam giác đều cĩ đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng khơng nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. + Tứ diện đều là hình chĩp tam giác đều cĩ cạnh bên bằng đáy. + Hình hộp cĩ đáy là hình bình hành nhưng khơng nhất thiết phải là hình chữ nhật. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIÁC Bài 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng gĩc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bài 2. Cho ABC vuơng tại A cĩ đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuơng gĩc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tính thể tích hình chĩp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chĩp O.ABC cĩ các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bài 4. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA, OB, OC đơi một vuơng gĩc. Gọi , ,    lần lượt là gĩc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). 1. Chứng minh H là trực tâm của ABC . 2. Chứng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 .OH OA OB OC   3. Chứng minh 2 2 2cos cos cos 1.      4. Chứng minh cos cos cos 3.      Bài 5. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. 1. Tính gĩc  giữa (OMN) và (OAB). 2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANP . 3. Chứng minh rằng gĩc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuơng khi và chỉ khi 2 2 2 1 1 1 .a b c  Bài 6. Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC vuơng cân tại A, SA vuơng gĩc với đáy. Biết AB = 2,  0(ABC),(SBC) 60 . 1. Tính độ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SB, C]. Bài 7. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đơi một. GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 9 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chĩp. 2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. Bài 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuơng gĩc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuơng gĩc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích MAB theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bài 10. Cho tứ diện S.ABC cĩ ABC vuơng cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuơng gĩc với đáy. Vẽ AH vuơng gĩc với SB tại H, AK vuơng gĩc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuơng gĩc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của gĩc giữa SB và (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ ABC vuơng tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuơng gĩc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin gĩc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 3. Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuơng gĩc với đáy và SA a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bài 13. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng ( ) đi qua AB và vuơng gĩc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để ( ) cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ABK . 3. Tính h theo a để ( ) chia hình chĩp thành hai phần cĩ thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đĩ tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a, SA = a và vuơng gĩc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích SBE. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chĩp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đĩ. Bài 15. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA a 3 . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA 3 2 cm. Mp( ) đi qua A và vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuơng gĩc với SB, AK vuơng gĩc với SD. 2. Chứng minh BD song song với ( ) . 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của SAC . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3. Tính gĩc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 10 4. Tìm điều kiện của a và b để  3cosCMN 3 . Trong trường hợp đĩ tính thể tích hình chĩp S.BCNM. Bài 18. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. SAD đều và vuơng gĩc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mặt phẳng ( ) qua H và vuơng gĩc với SC tại I. Chứng tỏ ( ) cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tâm O. SO vuơng gĩc với đáy và SO 2a 3 , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( ) qua A vuơng gĩc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B', C', D' . 1. Chứng minh B 'C 'D ' đều. 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bài 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m (0 m a)  . 1. Tìm vị trí điểm M để diện tích SBM lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho am 3 , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 3. CÁC BÀI TỐN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện cĩ diện tích nhỏ nhất. Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuơng gĩc với (AB’D’). 2. Tính gĩc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2).  a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đĩ MN là đoạn vuơng gĩc chung của AD’ và DB. Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các điểm M, N thỏa AM mAD, BN mBB' (0 m 1).        Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp A'BD . 4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cĩ độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuơng ADD’A’. 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r của đường trịn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ cĩ đáy hình thoi cạnh a,  0BAD 60 . Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng. Bài 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ cĩ đáy là tam giác vuơng tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng ( ) qua B và vuơng gĩc với B’C. 1. Tìm điều kiện của a, b, c để ( ) cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trùng với C và C’). 2. Cho ( ) cắt CC’ tại I. GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 11 a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. b. Tính gĩc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. Bài tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= 3a và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 1) Tính MN và SO. 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) . Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH (ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC . Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc  ,, . Chứng minh rằng: 1) 2coscoscos 222   2) 2222 ABCOCAOBCOAB SSSS   Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho 4 3 , 2 a DN a BM  . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho 2 6a SD  , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB= 2a . OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE. b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P). Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB= 2a , )(ABCSC  , ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a) 1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất. 2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 12 cạnh AD,CD. Lấy 'BBP sao cho BP=3PB'. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương . Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tính theo a khoảng cách giữa AD' và B'C. 2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số 3 MD AM . Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C). 3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C. Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a..Gọi M, N là trung điểm của BC và DD' 1) CMR )( '' BDAAC  . 2) CMR )//( 'BDAMN . 3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=600 . B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB'=a 1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD'). Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN. 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2 . Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 2 Cạnh bên SC (ABC) và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN. Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB' .Chứng minh rằng 'A C MN . Tính độ dài đọan MN 2) Gọi P là tâm của mặt CDD'C' . Tính diện tích MNP . Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA= a 6 2 Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi ; ;   lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : cos cos cos 3      Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng