Chuyên đề Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRèNH! Cách giải chung. Bước 1. Lập phương trình. Trong bước này chúng ta cần thực hiện các công việc sau: - Tóm tắt bài toán. (bước này các em chỉ làm ngoài nháp) +) Liệt kê các đại lượng đã biết (bài toán cho) +) Liệt kê các đại lượng chưa biết liên quan (bài toán yêu cầu tính) +) Xác định mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và chưa biết Chọn một hoặc hai trong các đại lượng chưa biết làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn. Tính các đại lượng chưa biết còn lại theo ẩn. Dựa vào các mối liên hệ giữa các đại lượng đã biết và chưa biết để lập hệ phương trình. Bước 2. Giải hệ phương trình vừa lập. Bước 3. Đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm hợp lí rồi kết luận. Dạng 1: Bài toỏn tỡm số Cỏch viết một số thập phõn dưới dạng hệ thập phõn. Tổng quỏt: . Cỏch viết một số tự nhiờn dưới dạng số chia, thương và số dư. Nếu số tự nhiờn a chia cho số tự nhiờn b được thương là q và số dư là r thỡ ta viết: VD1: Cho một số tự nhiờn cú hai chữ số. Biết rằng, nếu lấy số đú chia cho tổng cỏc chữ số của chỳng thỡ được thương là 4 dư 15. Cũn nếu viết số đú theo thứ tự ngược lại thỡ được một số mới lớn hơn số đó cho 18 đơn vị. Tỡm số đó cho. Giải: Bảng túm tắt Hàng chục Hàng đơn vị Số đú Số ban đầu x y 10x+y Số mới y x 10y+x Tổng cỏc chữ số x+y Quan hệ (10x+y) = (x+y).4+15 hay (10y+x) – (10x+y) =18 hay - Gọi x là chữ số hàng chục của số tự nhiờn cần tỡm (x∈N,). - Gọi y là chữ số hàng đơn vị của số tự nhiờn cần tỡm (y∈N,). Khi đú, số tự nhiờn cần tỡm là . Số mới viết theo thứ tự ngược lại là: . Tổng cỏc chữ số của số tự nhiờn đó cho là: . Theo bài ra, ta cú hệ phương trỡnh: Vậy số tự nhiên cần tìm là 79. Dạng 2: Bài toán chuyển động trên bộ. 1) Kiến thức cần nhớ. - Bài toán chuyển động có ba đại lượng chính là: Vận tốc (v), quóng đường (s) và thời gian (t). Trong đó: , , . Trong 3 đại lượng đó, chỉ có một đại lượng là đã biết, hai đại lượng còn lại là chưa biết. Trong mỗi bài toán thường có hai mối liên hệ chính. +) Mối liên hệ thứ nhất giúp ta tính được một trong các đại lượng chưa biết. +) Mối liên hệ còn lại giúp ta lập được phương trình của bài toán. 2) Chú ý: +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành cùng một lúc thì vật về đích sau đi mất nhiều thời gian hơn. +) Nếu hai vật chuyển động, về đích cùng một lúc thì vật khởi hành trước đi mất nhiều thời gian hơn. +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành và về đích cùng một lúc thì vật nghỉ lại đi ít thời gian hơn. +) Nếu hai vật chuyển động, khởi hành từ hai vị trí A và B () đi ngược chiều nhau thì tổng quãng đường chúng đi được kể từ lúc khởi hành đến lúc gặp nhau bằng quãng đường AB. VD1: Bỏc Toàn đi xe đạp từ thị xó về làng, cụ Ba Ngần cũng đi xe đạp, nhưng từ làng lờn thị xó. Họ gặp nhau khi bỏc Toàn đó đi được 1 giờ rưỡi, cũn cụ Ba Ngần đó đi được 2 giờ. Một lần khỏc, hai người cũng đi từ hai địa điểm như thế nhưng họ khởi hành đồng thời; sau 1 giờ 15 phỳt họ cũn cỏch nhau 10,5km. Tớnh vận tốc của mỗi người, biết rằng làng cỏch thị xó 38km. Giải: Đổi 1 giờ 15 phỳt = 1,25 giờ Bảng túm tắt Bỏc Toàn Cụ Ba Ngần Tổng Vận tốc x y Quóng đường đi được lần 1 1,5x 2y 1,5x+2y Quóng đường đi được lần 2 1,25x 1,25y 1,25x+1,25y Quan hệ 1,5x+2y=38 1,25x+1,25y=38-10,5 hay x+y=22 Gọi x, y (km/h) là vận tốc đi xe của bỏc Toàn và cụ Ba Ngần (0<x,y). Theo bài ra, ta cú hệ phương trỡnh: 1,5x+2y=38x+y=22⟺1,5x+2y=382x+2y=44⟺1,5x+2y-2x+2y=-6x+y=22 ⟺-0,5x=-6x+y=22⟺x=12y=22-12=10 (thỏa) Vậy vận tốc của bỏc Toàn và cụ Ba Ngần lần lượt là 12 km/h và 10 km/h. VD2: Treõn moọt ủửụứng troứn chu vi 1,2 m, ta laỏy 1 ủieồm coỏ ủũnh A. Hai ủiểm chuyeồn ủoọng M , N chaùy treõn ủửụứng troứn , cuứng khụỷi haứnh tửứ A vụựi vaọn toỏc khoõng ủoồi . Neỏu chuựng di chuyeồn traựi chieàu nhau thỡ chuựng gaởp nhau sau moói 15 giaõy. Neỏu chuựng di chuyeồn cuứng chieàu nhau thỡ ủieồm M seừ vửụùt N ủuựng 1 voứng sau 60 giaõy.Tỡm vaọn toỏc moói ủieồm M, N ? Giaỷi: Bảng túm tắt Điểm M Điểm N Vận tốc x y Quóng đường di chuyển trỏi chiều 15x 15y Quóng đường di chuyển cựng chiều 60x 60y Quan hệ 15x + 15y = 1,2 hay x+y=0,08 ; 60x - 60y =1,2 hay x-y=0,02 Goùi x, y(m/s) lần lượt laứ vaọn toỏc cuỷa ủieồm M và N (x > y >0) Theo bài ra, ta coự heọ phửụng trỡnh : x+y=0,08 x-y=0,02⟺x+y+x-y=0,1x-y=0,02⟺2x=0,1x-y=0,02⟺x=0,05y=0,05-0,02=0,03 (thỏa) Vaọy vaọn toỏc ủieồm M laứ : 0,05m/s vaứ vaọn toỏc ủieồm N laứ : 0,03m/s Dạng 3. Bài toán liên quan đến các yếu tố hình học. VD. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45m. Tính diện tích thửa ruộng, biết rằng nếu chiều dài giảm 2 lần và chiều rộng tăng 3 lần thì chu vi của thửa ruộng vẫn không thay đổi. Giải: Bảng túm tắt Chiều rộng Chiều dài Chu vi Độ dài x y x+y.2 Sau thay đổi 3x y2 3x+y2.2 Quan hệ x=y-45 hay x-y=-45 x+y.2=3x+y2.2 hay -4x+y=0 Gọi x, y (m) lần lượt là độ dài chiều rộng và chiều dài của thửa ruộng (045). Theo bài ra, ta cú hệ phương trỡnh: x-y=-45-4x+y=0⟺x-y+-4x+y=-45-4x+y=0⟺-3x=-45-4x+y=0⟺x=15y=4.15=60 thỏa Vậy diện tớch của thửa ruộng là: S=15.60=900m2 Dạng 4. Bài toán công việc. Cách giải: Bước 1. Gọi x là thời gian để Tổ I (Nhóm I, Đội I, vòi nước thứ nhất) làm xong công việc. Gọi y là thời gian để Tổ II (Nhóm II, Đội II, vòi nước thứ hai) làm xong công việc. Đặt điều kiện cho x và y. Neỏu 1 coõng vieọc laứm xong trong x giụứ thỡ 1 giụứ laứm ủửụùc 1/x coõng vieọc. Bước 2. Tính khối lượng công việc mà Tổ I, Tổ II và cả hai Tổ làm được trong mỗi giờ. Tính khối lượng công việc mà Tổ I, Tổ II làm được trong khoảng thời gian mà bài toán cho. Bước 3. Dựa vào hai mối liên hệ của bài toán để lập hệ phương trình dạng: Bước 4. Giải hệ phương trình vừa lập. (bằng cách đặt và ) Bước 5. Đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm hợp lí trả lời. VD: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì chỉ hoàn thành được 25% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người hoàn thành công việc trong bao lâu? Giải: Ta có 25%= . Người thứ nhất Người thứ 2 Cả 2 người Thời gian làm xong việc x y 16 Năng suất trong 1h 1x 1y 116 Cụng việc đó làm 3x 6y 14 Quan hệ 1x+ 1y=116 ; 3x+6y=14 Gọi x,y(h) lần lượt là thời gian để người thợ thứ nhất và thứ 2 làm một mình xong công việc. (x,y > 16) Theo bài ra, ta có hệ phương trình (với và ) Vậy một mình người thứ nhất làm xong công việc sau 24 giờ. người thứ hai làm xong công việc sau 48 giờ. Dạng 5. Bài toán phần trăm (%). 1) Kiến thức cần nhớ. Trong bài toán phần trăm thường có sự thay đổi về số lượng sản phẩm giữa hai lần sản xuất, sự thay đổi này thường được biểu diển dưới dạng tăng hay giảm lượng %. Lưu ý: +) Nếu sản xuất thứ hai tăng (vượt mức) a% so với lần sản xuất thứ nhất thì số sản phẩm lần hai () được tính theo công thức: +) Nếu sản xuất thứ hai giảm (giảm mức) b% so với lần sản xuất thứ nhất thì số sản phẩm lần hai () được tính theo công thức: 2) Cách giải: B 1. Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm mà Tổ I (Nhóm I, Đội I) và Tổ II (Nhóm II, Đội II) sản xuất được trong lần sản xuất thứ nhất, rồi đặt điều kiện cho x, y. B 2. Tính số sản phẩm mà Tổ I, Tổ II sản xuất được trong lần sản xuất thứ hai theo x và y. B 3. Dựa vào hai mối liên hệ của bài toán để lập hệ phương trình. B 4. Giải hệ phương trình vừa lập, đối chiếu điều kiện rồi kết luận. VD 1. Tháng thứ nhất hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai, tổ I vượt mức 15% và tổ II vượt mức 10% so với tháng thứ nhất. Vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1010 chi tiết máy. Hỏi tháng thứ nhất mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy ? Giải: Bảng túm tắt Tổ I Tổ II Cả 2 tổ Thỏng 1 x y 900 Thỏng 2 1,15x 1,1y 1010 Quan hệ x+y=900 ; 1,15x+1,1y=1010 Gọi x, y ( chi tiết mỏy) lần lượt là số chi tiết mỏy mà tổ I và tổ II sản xuất trong thỏng 1,(x,y∈N,0<x,y<900). Theo bài ra, ta có hệ phương trình: (thoả) Vậy tháng thứ nhất tổ I sản xuất được 400 chi tiết mỏy và tổ II sản xuất được 500 chi tiết mỏy. VD 2. Trong kì thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH, hai trường trung học cơ sở A và B có tất cả 450 học sinh dự thi. Biết số học sinh trúng tuyển của trường A bằng 75% số học sinh dự thi của trường A, số học sinh trúng tuyển của trường B bằng 90% số học sinh dự thi của trường B. Tổng số học sinh trúng tuyển của hai trường bằng 80% số học sinh dự thi của cả hai trường. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường. Giải: Bảng túm tắt Trường A Trường B Cả 2 trường Số HS dự thi x y 450 Số HS trỳng tuyển 0,75x 0,9y 0,8.450=360 Quan hệ x+y=450 ; 0,75x+0,9y=360 Gọi x,y (học sinh) lần lượt là số Học Sinh dự thi của trường Avà B (x,y∈N,). Theo bài ra, ta có hệ phương trình: x+y=450 0,75x+0,9y=360⇔0,9x+0,9y=4050,75x+0,9y=360⟺0,9x+0,9y-0,75x+0,9y=45x+y=450⟺0,15x=45x+y=450 ⟺x=300300+y=450⟺x=300y=150 thỏa Vậy trường A có 300 Học Sinh tham gia dự thi và trường B có 150 Học Sinh tham gia dự thi. Dạng 6. Baứi toaựn coự noọi dung vaọt lý , hoaự hoùc VD: Moọt dung dũch chửựa 30% axit nitụric (tớnh theo theồ tớch ) vaứ moọt dung dũch khaực chửựa 55% axit nitụric. Caàn phaỷi troọn theõm bao nhieõu lớt dung dũch loaùi 1 vaứ loaùi 2 ủeồ ủửụùc 100 lớt dung dũch 50% axit nitụric? Giaỷi: Bảng túm tắt Loại 1 Loại 2 Tổng 2 loại Số lớt dung dịch x y 100 Lượng axit chưa trong dung dịch 0,3x 0,55y 50 Quan hệ x+y=100 ; 0,3x+0,55y=50 Goùi x,y (lit) lần lượt laứ soỏ lớt dung dũch loaùi 1 vaứ 2 (0<x,y<100). Theo bài ra, ta coự heọ phửụng trỡnh: x+y=100 0,3x+0,55y=50⟺0,3x+0,3y=30 0,3x+0,55y=50⟺x+y=100 0,3x+0,55y-0,3x+0,3y=20 ⟺x+y=100 0,25y=20 ⟺x=20y=80 thỏa Vậy cần phải trộn thờm 20 lit dung dịch loại 1 và 80 lit dung dịch loại 2.