Chuyên đề Giải hình học không gian bằng phương pháp tọa ðộ

1 ThS. ðoàn Vương Nguyên toancapba.com CHUYÊN ðỀ GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ðỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN ðể giải ñược các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa ñộ ta cần phải chọn hệ trục tọa ñộ thích hợp. Lập tọa ñộ các ñỉnh, ñiểm liên quan dựa vào hệ trục tọa ñộ ñã chọn và ñộ dài cạnh của hình. Ta thường gặp các dạng sau 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c ñôi một vuông góc. ðiểm M cố ñịnh thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt ñến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là 1, 2, 3. Tính a, b, c ñể thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 ⇒ zM = 3. Tương tự ⇒ M(1; 2; 3). pt(ABC): x y z 1 a b c + + = 1 2 3 M (ABC) 1 a b c ∈ ⇒ + + = (1). O.ABC 1 V abc 6 = (2). 3 1 2 3 1 2 3 (1) 1 3 . . a b c a b c ⇒ = + + ≥ 1 abc 27 6 ⇒ ≥ . (2) min 1 2 3 1V 27 a b c 3⇒ = ⇔ = = = . b. Dạng khác Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với ñáy và ABC∆ vuông tại C. ðộ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung ñiểm của cạnh AB, H là ñiểm ñối xứng của C qua M. Tính cosin góc phẳng nhị diện [H, SB, C] 2 Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ, ta có: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt ñường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] = ( )IH, IK



 (1). SB ( 1; 3; 4)= − −

 , SC (0; 3; 4)= −

 suy ra: ptts SB: x 1 t y 3 3t z 4t  = − = −  = , SC: x 0 y 3 3t z 4t  = = −  = và (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. ( ) ( )5 15 3 51 32I ; ; , K 0; ; 8 8 2 25 25⇒ IH.IK cos[H, SB, C] IH.IK ⇒ =



 = Chú ý: Nếu C và H ñối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi ñó ta không cần phải tìm K. Ví dụ 3 (trích ñề thi ðại học khối A – 2002). Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñộ dài cạnh ñáy là a. Gọi M, N là trung ñiểm SB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC). Hướng dẫn giải Gọi O là hình chiếu của S trên (ABC), ta suy ra O là trọng tâm ABC∆ . Gọi I là trung ñiểm của BC, ta có: 3 a 3 AI BC 2 2 = = a 3 a 3 OA , OI 3 6 ⇒ = = Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuông góc với OA. ðặt SO = h, chọn hệ trục tọa ñộ như hình vẽ ta ñược: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), a 3A ; 0; 0 3      a 3 I ; 0; 0 6  ⇒ −    , a 3 a B ; ; 0 6 2  −    , a 3 a C ; ; 0 6 2  − −    , a 3 a h M ; ; 12 4 2  −    và a 3 a hN ; ; 12 4 2  − −    . 2 (AMN) ah 5a 3 n AM, AN ; 0; 4 24    ⇒ = =      





 , 2 (SBC) a 3 n SB, SC ah; 0; 6    = = −      



 3 2 2 2 (AMN) (SBC) AMN 5a 1 a 10 (AMN) (SBC) n .n 0 h S AM, AN 12 2 16∆  ⊥ ⇒ = ⇒ = ⇒ = =  





  . 2. Hình chóp tứ giác a) Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ñáy và ñáy là hình vuông (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa ñộ như dạng tam diện vuông. b) Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông (hoặc hình thoi) tâm O ñường cao SO vuông góc với ñáy. Ta chọn hệ trục tọa ñộ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta có O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có ñáy hình chữ nhật ABCD và AB = b. SAD∆ ñều cạnh a và vuông góc với ñáy. Gọi H là trung ñiểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa ñộ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), ( ) ( )a aA ; 0; 0 , B ; b; 02 2 ( ) ( ) a a a 3 , C ; b; 0 , D ; 0; 0 , S 0; 0; . 2 2 2  − −    3. Hình lăng trụ ñứng Tùy theo hình dạng của ñáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Chú ý + Hình chóp tam giác ñều có ñáy là tam giác ñều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng ñáy. Chân ñường cao là trọng tâm của ñáy. + Tứ diện ñều là hình chóp tam giác ñều có cạnh bên bằng ñáy. + Hình hộp có ñáy là hình bình hành nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật. II. CÁC DẠNG BÀI TẬP 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TAM GIÁC Bài 1 (trích ñề thi ðại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD). Bài 2. Cho ABC∆ vuông tại A có ñường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên ñường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy ñiểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung ñiểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trên EF. 1. Chứng minh H là trung ñiểm của SD. 2. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACE). 3. Tính thể tích hình chóp A.BCFE. Bài 3. Cho hình chóp O.ABC có các cạnh OA = OB = OC = 3cm và vuông góc với nhau từng ñôi một. Gọi H là hình chiếu của ñiểm O lên (ABC) và các ñiểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H lên (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là ñiểm ñối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện ñều. Bài 4. Cho hình chóp O.ABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc. Gọi , , α β γ lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của ñỉnh O trên (ABC). 1. Chứng minh H là trực tâm của ABC∆ . 2. Chứng minh 2 2 2 2 1 1 1 1 . OH OA OB OC = + + 3. Chứng minh 2 2 2cos cos cos 1.α + β + γ = 4 4. Chứng minh cos cos cos 3.α + β + γ ≤ Bài 5. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung ñiểm BC, CA, AB. 1. Tính góc ϕ giữa (OMN) và (OAB). 2. Tìm ñiều kiện a, b, c ñể hình chiếu của O trên (ABC) là trọng tâm ANP∆ . 3. Chứng minh rằng góc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuông khi và chỉ khi 2 2 2 1 1 1 . a b c = + Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông cân tại A, SA vuông góc với ñáy. Biết AB = 2,  0(ABC),(SBC) 60= . 1. Tính ñộ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (SBC). 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SB, C]. Bài 7. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng ñôi một. 1. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp hình chóp. 2. Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài 8 (trích ñề thi ðại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là ñường thẳng (d). Trên (d) lấy hai ñiểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy ñiểm C, trong (Q) lấy ñiểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ ñỉnh A ñến (BCD) theo a. Bài 9. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M là trung ñiểm của SC. 1. Tính diện tích MAB∆ theo a. 2. Tính khoảng cách giữa MB và AC theo a. 3. Tính góc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có ABC∆ vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với ñáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuông góc với CS. 2. Gọi I là giao ñiểm của HK và BC. Chứng minh B là trung ñiểm của CI. 3. Tính sin của góc giữa SB và (AHK). 4. Xác ñịnh tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bài 11. Cho hình chóp S.ABC có ABC∆ vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với ñáy. Gọi D là trung ñiểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai ñường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cách giữa BC và SD. 3. Tính cosin góc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có ñáy là tam giác ñều cạnh a. SA vuông góc với ñáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ ñỉnh A ñến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng AB và SC. Bài 13. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñộ dài cạnh ñáy là a, ñường cao SH = h. Mặt phẳng ( )α ñi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm ñiều kiện của h theo a ñể ( )α cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích ABK∆ . 3. Tính h theo a ñể ( )α chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi ñó tâm mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp trùng nhau. 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH CHÓP TỨ GIÁC Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc với ñáy. Gọi E là trung ñiểm CD. 5 1. Tính diện tích ∆SBE. 2. Tính khoảng cách từ ñỉnh C ñến (SBE). 3. (SBE) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần ñó. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA a 3= . 1. Tính khoảng cách từ ñỉnh C ñến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai ñường thẳng SD và AC. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 16. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy hình vuông cạnh 3cm. Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA 3 2= cm. Mp( )α ñi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuông góc với SB, AK vuông góc với SD. 2. Chứng minh BD song song với ( )α . 3. Chứng minh HK ñi qua trọng tâm G của SAC∆ . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bài 17. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung ñiểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A ñến (BCN). 2. Tính khoảng cách giữa SB và CN. 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4. Tìm ñiều kiện của a và b ñể  3cosCMN 3 = . Trong trường hợp ñó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a. SAD∆ ñều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung ñiểm của AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mặt phẳng ( )α qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ ( )α cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính góc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bài 19. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi tâm O. SO vuông góc với ñáy và SO 2a 3= , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng ( )α qua A vuông góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD tại B', C', D' . 1. Chứng minh B'C 'D'∆ ñều. 2. Tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bài 20. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. ðường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy ñiểm M, ñặt MD = m (0 m a)≤ ≤ . 1. Tìm vị trí ñiểm M ñể diện tích SBM∆ lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho am 3 = , gọi K là giao ñiểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ðỨNG Bài 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung ñiểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N ñồng phẳng. 2. Tính khoảng cách giữa IK và AD. 3. Tính diện tích tứ giác IKNM. Bài 22 (trích ñề thi ðại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính góc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bài 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm ñiểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bài 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 6 1. Chứng minh A’C vuông góc với (AB’D’). 2. Tính góc giữa (DA’C) và (ABB’A’). 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các ñiểm M, N thỏa AM = DN = k (0 k a 2).< < a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k ñể MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi ñó MN là ñoạn vuông góc chung của AD’ và DB. Bài 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Các ñiểm M, N thỏa AM mAD, BN mBB' (0 m 1).= = ≤ ≤











 Gọi I, K là trung ñiểm của AB, C’D’. 1. Tính khoảng cách từ ñiểm A ñến (A’BD). 2. Chứng minh I, K, M, N ñồng phẳng. 3. Tính bán kính ñường tròn ngoại tiếp A 'BD∆ . 4. Tính m ñể diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. Bài 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có ñộ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung ñiểm AB, N là tâm hình vuông ADD’A’. 1. Tính bán kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r của ñường tròn (C) là giao của (S) và mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) và hình lập phương. Bài 27 (trích ñề thi ðại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ ñứng ABCD.A’B’C’D’ có ñáy hình thoi cạnh a,  0BAD 60 .= Gọi M, N là trung ñiểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cùng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a ñể B’MDN là hình vuông. Bài 28. Cho hình lăng trụ ñứng tam giác ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng ( )α qua B và vuông góc với B’C. 1. Tìm ñiều kiện của a, b, c ñể ( )α cắt cạnh CC’ tại I (I không trùng với C và C’). 2. Cho ( )α cắt CC’ tại I. a. Xác ñịnh và tính diện tích của thiết diện. b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và ñáy.