Chuyên đề Giải hình học trong không gian bằng các phương pháp tọa độ

CHUYÊN ĐỀ GIẢI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ I. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để giải được các bài toán hình không gian bằng phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp. Lập tọa độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài cạnh của hình. PHƯƠNG PHÁP: Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí của gốc O) Bước 2: Xác định toạ độ các điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất cả các điểm hoặc một số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ các điểm ta có thể dựa vào : Ý nghĩa hình học của tọa độ điểm (khi các điểm nằm trên các trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ). Dựa vào các quan hệ hình học như bằng nhau, vuông góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ Xem điểm cần tìm là giao điểm của đường thẳng, mặt phẳng. Dưạ vào các quan hệ về góc của đường thẳng, mặt phẳng. Bước 3: Sử dụng các kiến thức về toạ độ để giải quyết bài toán Các dạng toán thường gặp: Độ dài đọan thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách giữa hai đường thẳng Góc giữa hai đường thẳng Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Góc giữa hai mặt phẳng Thể tích khối đa diện Diện tích thiết diện Chứng minh các quan hệ song song , vuông góc Bài toán cực trị, quỹ tích Bổ sung kiến thức : 1) Nếu một tam giác có diện tích S thì hình chiếu của nó có diện tích S' bằng tích của S với cosin của góc giữa mặt phẳng của tam giác và mặt phẳng chiếu 2) Cho khối chóp S.ABC. Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Ta luôn có: 3) Các công thức tính góc. - Góc giữa hai đường phẳng: với , lần lượt là các véctơ chỉ phương của - Góc giữa đường thẳng và : với là véctơ chỉ phương của ; là véctơ pháp tuyến của - Góc giữa và : với lần lượt là véctơ pháp tuyến của và . * Các công thức tính khoảng cách: - Khoảng cách từ 1 điểm M(x0, y0, z0) đến : Ax + By + Cz + D = 0 4) Nhận dạng các bài toán hình học không gian có thể giải bằng phương pháp tọa độ: Đó là những bài toán liên quan đến: a. Hình hộp lập phương, Hình hộp chữ nhật. b. Hình chóp tam giác SABC có SA(ABC); với đáy ABC là tam giác vuông tại A. c. Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông. d. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SO(ABCD). e. Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và . f. Tứ diện đều, hình chóp tam giác đều. g. Một số bài toán khác. Đối với những bài toán này, giáo viên cần hướng dẫn cho học viên cách chọn một hệ trục toạ độ thích hợp, thuận lợi cho việc xác định toạ độ các điểm để dùng phương pháp toạ độ giải chúng. Ta thường gặp các dạng sau: 1. Hình chóp tam giác a. Dạng tam diện vuông Ví dụ 1. Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đôi một vuông góc. Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mp(OBC), mp(OCA), mp(OAB) là l 1, 2, 3. Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). d[M, (OAB)] = 3 zM = 3. Tương tự M(1; 2; 3). pt(ABC): (1). (2). (1) 27 Vậy: Vmin = 27 Ví dụ: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại A, AD = a, AC = b, AB = c. Tính diện tích S của tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh rằng : (Dự bị 2 – Đại học khối D – 2003) Giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có tọa độ các điểm là :z y x A B C D A(0;0;0), B(c;0;0), C(0;b;0), D(0;0;a) b. Dạng khc Ví dụ 2. Tứ diện S.ABC cĩ cạnh SA vuông góc với đáy và vuơng tại C. Độ dài của các cạnh là SA = 4, AC = 3, BC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, H là điểm đối xứng của C qua M. Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [H, SB, C] Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta cĩ: A(0; 0; 0), B(1; 3; 0), C(0; 3; 0), S(0; 0; 4) và H(1; 0; 0). mp(P) qua H vuông góc với SB tại I cắt đường thẳng SC tại K, dễ thấy [H, SB, C] = (1). , suy ra: ptts SB: , SC: v (P): x + 3y – 4z – 1 = 0. = Ch ý: Nếu C và H đối xứng qua AB thì C thuộc (P), khi đó ta không cần phải tìm K. Ví dụ 3 (trích đề thi Đại học khối A – 2002). Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểm SB, SC. Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vuơng gĩc với (SBC). Hướng dẫn giải Gọi O l hình chiếu của S trn (ABC), ta suy ra O l trọng tm . Gọi I là trung điểm của BC, ta có: Trong mp(ABC), ta vẽ tia Oy vuơng gĩc với OA. Đặt SO = h, chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ ta được: O(0; 0; 0), S(0; 0; h), , , , v . , . 2. Hình chĩp tứ gic a) Hình chĩp S.ABCD cĩ SA vuơng gĩc với đáy và đáy là hình vuơng (hoặc hình chữ nhật). Ta chọn hệ trục tọa độ như dạng tam diện vuông. b) Hình chĩp S.ABCD có đáy là hình vuơng (hoặc hình thoi) tm O đường cao SO vuông góc với đáy. Ta chọn hệ trục tọa độ tia OA, OB, OS lần lượt là Ox, Oy, Oz. Giả sử SO = h, OA = a, OB = b ta cĩ O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(–a; 0; 0), D(0;–b; 0), S(0; 0; h). c) Hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD v AB = b. đều cạnh a và vuông góc với đáy. Gọi H là trung điểm AD, trong (ABCD) ta vẽ tia Hy vuông góc với AD. Chọn hệ trục tọa độ Hxyz ta có: H(0; 0; 0), 3. Hình lăng trụ đứng Ty theo hình dạng của đáy ta chọn hệ trục như các dạng trên. Ví dụ: Cho h×nh lp phư¬ng ABCD A'B'C'D'. CMR AC' vu«ng gc mp’ (A'BD) A' D' C' C B A D B' I O I' Z Y X Li gi¶i: Chn hƯ trơc ta ® Oxyz sao cho O º A; B Î Ox; D Î Oy vµ A' Î Oz Gi¶ sư h×nh lp ph¬ng ABCD A'B'C'D' c c¹nh lµ a ®¬n vÞ Þ A(0;0;0), B (a;0;0), D(0;a;0), A' (0;0;a) C'(1;1;1)Þ Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa mỈt ph¼ng (A'BD): x + y + z = a hay x + y + z –a = 0 Þ Ph¸p tuyn cđa mỈt ph¼ng (A'BC): n (A'BC) = (1;1;1) mµ AC' = (1;1;1) Vy AC' vu«ng gc (A'BC) 2. T diƯn ABCD: AB, AC, AD ®«i mt vu«ng gc víi nhau; AB = 3; AC = AD= 4 TÝnh kho¶ng c¸ch t A tíi mỈt ph¼ng (BCD) z O B y C x D A Li gi¶i: + Chn hƯ trơc Oxyz sao cho A º O D ÎOx; C Î Oy vµ B Î Oz Þ A(0;0;0); B(0;0;3); C(0;4;0); D(4;0;0) Þ Phư¬ng tr×nh ®o¹n ch¾n cđa (BCD) lµ: Û 3x + 3y + 4z – 12 = 0 Kho¶ng c¸ch t A tíi mỈt ph¼ng (BCD) lµ: Nhấn mạnh cho học sinh: II. Ph­¬ng ph¸p gi¶i: §Ĩ gi¶i mt bµi to¸n h×nh hc kh«ng gian b»ng ph­¬ng ph¸p sư dơng ta ® §Ị c¸c trong kh«ng gian ta lµm nh­ sau: * B­íc 1: Thit lp hƯ ta ® thÝch hỵp, t ® suy ra ta ® c¸c ®iĨm cÇn thit. * B­íc 2: ChuyĨn h¼n bµi to¸n sang h×nh hc gi¶i tÝch trong kh«ng gian. B»ng c¸ch: + Thit lp biĨu thc cho gi¸ trÞ cÇn x¸c ®Þnh. + Thit lp biĨu thc cho ®iỊu kiƯn ®Ĩ suy ra kt qu¶ cÇn chng minh. + Thit lp biĨu thc cho ®i t­ỵng cÇn t×m cc trÞ. + Thit lp biĨu thc cho ®i t­ỵng cÇn t×m qu tÝch v.v III. LuyƯn tp. Bµi 1: Cho h×nh chp SABC, c¸c c¹nh ®Ịu c ® dµi b»ng 1, O lµ t©m cđa DABC. I lµ trung ®iĨm cđa SO. MỈt ph¼ng (BIC) c¾t SA t¹i M. T×m t lƯ thĨ tÝch cđa t diƯn SBCM vµ t diƯn SABC. 2. H lµ ch©n ®­ng vu«ng gc h¹ t I xung c¹nh SB. CMR: IH ®i qua trng t©m G cđa DSAC. Li gi¶i: Chn hƯ trơc Oxyz sao cho O lµ gc ta ® AÎOx, S ÎOz, BC//Oy Ta ® c¸c ®iĨm:;;;; Ta cĩ: ;; Þ Phư¬ng tr×nh mỈt ph¼ng (IBC) lµ: Hay: m ta lại cĩ: Phư¬ng tr×nh ®ưng th¼ng SA: . + Ta ® ®iĨm M lµ nghiƯm cđa hƯ: Thay (1) (2) (3) vµo (4) c: ; Þ M n»m trªn ®o¹n SA vµ . 2. Do G lµ trng t©m cđa DASC Þ SG ®i qua trung ®iĨm N cđa AC Þ GI Ì (SNB) Þ GI vµ SB ®ng ph¼ng (1) Ta l¹i c ta ® G T (1) vµ (2) z x y I O H A C S G N z x y I O B A C S M Bµi 2: Cho h×nh l¨ng trơ ABCD A1B1C1 c ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a. AA1 = 2a vµ vu«ng gc víi mỈt ph¼ng (ABC). Gi D lµ trung ®iĨm cđa BB1; M di ®ng trªn c¹nh AA1. T×m gi¸ trÞ lín nht, nh nht cđa diƯn tÝch DMC1D. Li gi¶i: + Chn hƯ trơc ta ® Oxyz sao cho A º O; B Î Oy; A1 Î Oz. Khi ®.A(0;0;0), B(0;a;0); A1 (0;0;2a) vµ D(0;a;a) Do M di ®ng trªn AA1, ta ® M (0;0;t)víi t Î [0;2a] Ta c : Ta cĩ: z x C C1 M A A1 B1 B D Gi¸ trÞ lín nht hay nh nht cđa ty thuc vµo gi¸ trÞ hµm s XÐt f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 f(t) = 4t2 – 12at + 15a2 (t Î[0;2a]) f'(t) = 8t – 12a Lập BBT gi¸ trÞ lín nht cđakhi t =0 hay Mº A Ch ý + Hình chĩp tam gic đều có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nhưng không nhất thiết phải bằng đáy. Chân đường cao là trọng tâm của đáy. + Tứ diện đều là hình chĩp tam giác đều có cạnh bên bằng đáy. + Hình hộp cĩ đáy là hình bình hnh nhưng không nhất thiết phải là hình chữ nhật. II. CC DẠNG BI TẬP 1. CC BI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TAM GIC Bi 1 (trích đề thi Đại học khối D – 2002). Cho tứ diện ABCD cĩ cạnh AD vuơng góc (ABC), AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD). Bi 2. Cho vuông tại A có đường cao AD và AB = 2, AC = 4. Trên đường thẳng vuông góc với (ABC) tại A lấy điểm S sao cho SA = 6. Gọi E, F là trung điểm của SB, SC và H là hình chiếu của A trn EF. 1. Chứng minh H là trung điểm của SD. 2. Tính cosin của gĩc giữa hai mặt phẳng (ABC) v (ACE). 3. Tính thể tích hình chĩp A.BCFE. Bi 3. Cho hình chĩp O.ABC cĩ cc cạnh OA = OB = OC = 3cm v vuơng gĩc với nhau từng đôi một. Gọi H là hình chiếu của điểm O lên (ABC) và các điểm A’, B’, C’ lần lượt là hình chiếu của H ln (OBC), (OCA), (OAB). 1. Tính thể tích tứ diện HA’B’C’. 2. Gọi S là điểm đối xứng của H qua O. Chứng tỏ S.ABC là tứ diện đều. Bi 4. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA, OB, OC đôi một vuông góc. Gọi lần lượt là góc nhị diện cạnh AB, BC, CA. Gọi H là hình chiếu của đỉnh O trên (ABC). 1. Chứng minh H l trực tm của . 2. Chứng minh 3. Chứng minh 4. Chứng minh Bi 5. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuơng gĩc với nhau từng đôi một. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. 1. Tính gĩc giữa (OMN) v (OAB). 2. Tìm điều kiện a, b, c để hình chiếu của O trn (ABC) l trọng tm . 3. Chứng minh rằng gĩc phẳng nhị diện [N, OM, P] vuơng khi v chỉ khi Bi 6. Cho hình chĩp S.ABC cĩ vuông cân tại A, SA vuông góc với đáy. Biết AB = 2, . 1. Tính độ dài SA. 2. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SB, C]. Bi 7. Cho hình chĩp O.ABC cĩ OA = a, OB = b, OC = c vuông góc với nhau từng đôi một. 1. Tính bn kính r của mặt cầu nội tiếp hình chĩp. 2. Tính bn kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp. Bi 8 (trích đề thi Đại học khối D – 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, giao tuyến là đường thẳng (d). Trên (d) lấy hai điểm A và B với AB = a. Trong (P) lấy điểm C, trong (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với (d) và AC = BD = AB. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và khoảng cách từ đỉnh A đến (BCD) theo a. Bi 9. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a. Cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. 1. Tính diện tích theo a. 2. Tính khoảng cch giữa MB v AC theo a. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [A, SC, B]. Bi 10. Cho tứ diện S.ABC cĩ vuông cân tại B, AB = SA = 6. Cạnh SA vuông góc với đáy. Vẽ AH vuông góc với SB tại H, AK vuông góc với SC tại K. 1. Chứng minh HK vuơng gĩc với CS. 2. Gọi I là giao điểm của HK và BC. Chứng minh B là trung điểm của CI. 3. Tính sin của gĩc giữa SB v (AHK). 4. Xác định tâm J và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp S.ABC. Bi 11. Cho hình chĩp S.ABC cĩ vuông tại C, AC = 2, BC = 4. Cạnh bên SA = 5 và vuông góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. 1. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AC và SD. 2. Tính khoảng cch giữa BC v SD. 3. Tính cosin gĩc phẳng nhị diện [B, SD, C]. Bi 12. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với đáy và . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến (SBC). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC. Bi 13. Cho hình chĩp tam gic đều S.ABC có độ dài cạnh đáy là a, đường cao SH = h. Mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với SC. 1. Tìm điều kiện của h theo a để cắt cạnh SC tại K. 2. Tính diện tích . 3. Tính h theo a để chia hình chĩp thnh hai phần cĩ thể tích bằng nhau. Chứng tỏ rằng khi đó tâm mặt cầu nội tiếp v ngoại tiếp trng nhau. 2. CC BI TỐN VỀ HÌNH CHĨP TỨ GIC Bi 14. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a, SA = a v vuơng gĩc với đáy. Gọi E là trung điểm CD. 1. Tính diện tích SBE. 2. Tính khoảng cch từ đỉnh C đến (SBE). 3. (SBE) chia hình chĩp thnh hai phần, tính tỉ số thể tích hai phần đó. Bi 15. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh a. Cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy và . 1. Tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SBD). 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bi 16. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy hình vuơng cạnh 3cm. Cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy và cm. Mp đi qua A v vuơng góc với SC cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. 1. Chứng minh AH vuơng gĩc với SB, AK vuơng gĩc với SD. 2. Chứng minh BD song song với . 3. Chứng minh HK đi qua trọng tâm G của . 4. Tính thể tích hình khối ABCDKMH. Bi 17. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = b. Cạnh bn SA vuơng gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M, N là trung điểm cạnh SA, SD. 1. Tính khoảng cách từ A đến (BCN). 2. Tính khoảng cch giữa SB v CN. 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC). 4. Tìm điều kiện của a và b để . Trong trường hợp đó tính thể tích hình chóp S.BCNM. Bi 18. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a. đều và vuông góc với (ABCD). Gọi H là trung điểm của AD. 1. Tính d(D, (SBC)), d(HC, SD). 2. Mặt phẳng qua H và vuông góc với SC tại I. Chứng tỏ cắt các cạnh SB, SD. 3. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, SC, D]. Bi 19. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thoi tm O. SO vuơng gĩc với đáy và , AC = 4a, BD = 2a. Mặt phẳng qua A vuơng gĩc với SC cắt cc cạnh SB, SC, SD tại . 1. Chứng minh đều. 2. Tính theo a bn kính mặt cầu nội tiếp S.ABCD. Bi 20. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a. Đường cao SA = 2a. Trên cạnh CD lấy điểm M, đặt MD = m. 1. Tìm vị trí điểm M để diện tích lớn nhất, nhỏ nhất. 2. Cho , gọi K là giao điểm của BM và AD. Tính góc phẳng nhị diện [A, SK, B]. 3. CÁC BÀI TẬP VỀ HÌNH HỘP – LĂNG TRỤ ĐỨNG Bi 21. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Gọi I, K, M, N lần lượt là trung điểm của A’D’, BB’, CD, BC. 1. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 2. Tính khoảng cch giữa IK v AD. 3. Tính diện tích tứ gic IKNM. Bi 22 (trích đề thi Đại học khối A – 2003). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính gĩc phẳng nhị diện [B, A’C, D]. Bi 23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tìm điểm M trên cạnh AA’ sao cho (BD’M) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ nhất. Bi 24. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. 1. Chứng minh A’C vuơng gĩc với (AB’D’). 2. Tính gĩc giữa (DA’C) v (ABB’A’). 3. Trên cạnh AD’, DB lấy lần lượt các điểm M, N thỏa AM = DN = k a. Chứng minh MN song song (A’D’BC). b. Tìm k để MN nhỏ nhất. Chứng tỏ khi đó MN là đoạn vuông góc chung của AD’ v DB. Bi 25. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ cĩ AB = 2, AD = 4, AA’ = 6. Cc điểm M, N thỏa Gọi I, K là trung điểm của AB, C’D’. 1. Tính khoảng cách từ điểm A đến (A’BD). 2. Chứng minh I, K, M, N đồng phẳng. 3. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp . 4. Tính m để diện tích tứ giác MINK lớn nhất, nhỏ nhất. Bi 26. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài cạnh là 2cm. Gọi M là trung điểm AB, N là tâm hình vuơng ADD’A’. 1. Tính bn kính R của mặt cầu (S) qua C, D’, M, N. 2. Tính bán kính r của đường trịn (C) l giao của (S) v mặt cầu (S’) qua A’, B, C’, D. 3. Tính diện tích thiết diện tạo bởi (CMN) v hình lập phương. Bi 27 (trích đề thi Đại học khối B – 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Gọi M, N là trung điểm cạnh AA’, CC’. 1. Chứng minh B’, M, D, N cng thuộc một mặt phẳng. 2. Tính AA’ theo a để B’MDN là hình vuơng. Bi 28. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A. Cho AB = a, AC = b, AA’ = c. Mặt phẳng qua B v vuơng gĩc với B’C. 1. Tìm điều kiện của a, b, c để cắt cạnh CC’ tại I (I khơng trng với C v C’). 2. Cho cắt CC’ tại I. a. Xác định và tính diện tích của thiết diện. b. Tính góc phẳng nhị diện giữa thiết diện và đáy. Bi tập : MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA= và vuông góc với đáy 1) Tính khỏang cách từ A đến mặt phẳng (SBC). 2) Tính khỏang cách từ tâm O hình vuông ABCD đến mặt phẳng (SBC). 3) Tính khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SAC). Bài 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a, SO vuông góc với đáy.Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm SA và BC. Biết rằng góc giữa MN và (ABCD) bằng 600 1) Tính MN và SO. 2) Tính góc giữa MN và mặt phẳng (SBD) . Bài 3: Cho hình thoi ABCD tâm O, cạnh bằng a và AC=a, Từ trung điểm H của cạnh AB dựng SH(ABCD) với SH=a 1) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD). 2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC). Bài 4: Cho góc tam diện Oxyz, trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A,B,C 1) Hãy tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) theo OA=a, OB=b, OC=c 2) Giả sử A cố định còn B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA=OB+OC . Hãy xác định vị trí của B và C sao cho thể tích tứ diện OABC là lớn nhất. Bài 5: Cho tứ diện OABC (vuông tại O), biết rằng OA,OB,OC lần lượt hợp với mặt phẳng (ABC) các góc . Chứng minh rằng: 1) 2) Bài 6: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, sa vuông góc với đáy. Gọi M,N là hai điểm theo thứ tự thuộc BC,DC sao cho . CMR hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau. Bài 7: Cho tam giác đều ABC cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại D lấy điểm S sao cho , CMR hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau. Bài 8: Trong không gian cho các điểm A,B,C theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một sao cho OA=a , OB=. OC=c (a,c>0). Gọi D là điểm đối diện với O của hình chữ nhật AOBD và M là trung điểm của đọan BC. (P) là mặt phẳng qua A,M và cắt mặt phẳng (OCD) theo một đường thẳng vuông góc với AM. a) Gọi E là giao điểm của (P) với OC , tính độ dài đọan OE. b) Tính tỉ số thể tích của hai khối đa diện được tạo thành khi cắt khối chóp C.AOBD bởi mặt phẳng (P). c) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (P). Bài 9: Cho tứ diện SABC có SC=CA=AB=, , ABC vuông tại A, các điểm M thuộc SA và N thuộc BC sao cho AM=CN=t (0<t<2a) 1) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị của t để MN ngắn nhất. 2) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BC và SA. Bài 10: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi có AC=4, BD=2 và tâm O.SO=1 vuông góc với đáy. Tìm điểm M thuộc đoạn SO cách đều hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD). Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Gọi M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AD,CD. Lấy sao cho BP=3PB'. Tính diện tích thiết diện do (MNP) cắt hình lập phương . Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, AD=2a, AA'=a 1) Tính theo a khoảng cách giữa AD' và B'C. 2) Gọi M là điểm chia đọan AD theo tỷ số . Hãy tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C). 3) Tính thể tích tứ diện AB'D'C. Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a..Gọi M, N là trung điểm của BC và DD' 1) CMR . 2) CMR . 3) Tính khoảng cách giữa BD nà MN theo a Bài 14: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, góc A=600 . B'O vuông góc với đáy ABCD, cho BB'=a 1) Tính góc giữa cạnh bên và đáy. 2) Tính khoảng cách từ B, B' đến mặt phẳng (ACD'). Bài 15: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a tâm I . Trên hai tia Ax, By cùng chiều và cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) lần lượt lấy hai điểm M,N . Đặt AM=x, CN=y 1) Tính thể tích hình chóp ABCMN. 2) CMR điều kiện cần và đủ để góc MIN=900 là 2xy=a2 . Bài 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân ABC với cạnh huyền AB = 4 Cạnh bên và SC = 2 .Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm AB 1) Tính góc của hai đường thẳng SM và CN 2) Tính độ dài đọan vuông góc chung của SM và CN. Bài 17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BB' .Chứng minh rằng . Tính độ dài đọan MN 2) Gọi P là tâm của mặt CDD'C' . Tính diện tích . Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) . Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng SA= Bài 19: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA;OB;OC đôi một vuông góc . Gọi lần lượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC);(OCA) và (OAB).Chứng minh rằng : Bài 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA=a . Gọi E là trung điểm của cạnh CD . Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE. Bài 21: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và góc BAC = 1200, cạnh bên BB' = a. Gọi I là trung điểm CC'. Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông ở A. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I).