Chuyên đề Giải phương trình trên tập số phức

Chuyên đề2: Giải phương trình trên tập số phức A. Đề bài : Hãy tìm các căn bậc 2 của các số phức : 3+4i ; 1 - i ; -2 + 3i ;z=1+i; z=7-24i 3;Giải các phương trình sau : a) z2=z+1;b) z2+(1-3i).z-2(1+i) = 0;c) z2+4 = 0;d) z2+2z+5 = 0 Bài2: Hãy giải các phương trình sau trong tập C 1/ ;2, ;3, 4 ;5 ; 6; 4;Giải phương trình : z+ = k với k thứ tự bằng 1; ; 2i . 5;Giải các phương trình : a) z3+1 = 0; b) z3+i = 0;c) z4-1 = 0; d) z4+4 = 0 6,Tìm các số thực b, c để phương trình ( ẩn z) : z2+bz+c = 0 nhận số phức z0= 1+i làm nghiệm. 7;Tìm các giá trị thực a, b, c để phương trình : z3+az2+bz+c = 0Nhận z1=1+i và z2=2 làm nghiệm. 8;Tìm các số thực a, b để có phân tích : 2z3-9z2+14z-5 = (2z-1)(z2-az+b)Rồi giải phương trình :2z3-9z2+14z-5 = 0. 9;Tìm các số thực a, b để có phân tích : z4-4z2-16z-16 =( z2-2z-4) (z2+az+b)Rồi giải phương trình:z4-4z2-16z-16 = 0 10. Giải phương trình : z4-z3++z+1 = 0 bằng cách đặt ẩn phụ w=z- 11. Giải các phương trình sau : (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 12. Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b)Từ đó giải phương trình : f(z) = 0 13. Giải phương trình :z4-5z3+8z2-10z+12 = 0 14. Giải phương trình : -iz = 1-2i 15. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời : = 1 và 16. Tìm số phức z thỏa mãn : = 1 17,Giai pt a/ b/ d/ e/ B.Hướng dẫn giải và đáp số; 1. a) đs : z= 1+2i ;b) z= (1-3i);c) Cách 1 : Gọi z=x+yi với x.y ẻ R.ị =x-y (2-i) (x-yi) -4=0 Û (2x-y-4)+(-x-2y)i = 0 Û Û Vậy z = Cách 2 : sử dụng các kết quả : z1=z2Û và , ta có : (2-i) -4=0 Û Û =4 Û (2+i).z=4Ûz= 1d) -2+3i=0Û z= Û z =2+3i 2a) ( (2-i) . +3+i).(iz+) = 0 Û Để giải phương trình : (2-i). +3+i =0 ta sử dụng kết qủa : (2-i). +3+i =0 Û (2+i).z+3-i = 0 Û z = Û z =-1+i Phương trình : iz+=0Û -z+=0 Û z = đs : z1 =2+3i , z2 = 2b) đs: z=± 2i 3. a) đs : z =± b) =(1-3i)2+8(1+i)=2i =(1+i)2. ịmột căn bậc hai của bằng 1+i phương trình có hai nghiệm là z= hay c) z2+4 = 0Û z4-4i2 = 0 Û(z2-2i)(z2+2i) = 0Û vậy z1=1+i, z2=-1-i, z3= 1-i, z4=-1+i d) z2+2z+5 = 0Û z2+2z+1=-4Û(z+1)2=4i2Û z1 =- 1+2i, z2 =- 1-2i Có thể tính : ’=1-5 =-4. ả =z+yi là một căn bậc hai của ’ Ûả2=-4 ÛÛÛ ị ả =±2i Vậy z1=-1+2i, z2 = -1-2i 4. z+ = k Û z2-kx +1=0 Û (z-)2= Ûz=± Với ả là một căn bậc hai của k2-4Ûả2=k2-4 Với k=1 thì ả2=-3=3i2 ị ả=i. Vậy z=±i Với k= thì ả2 =-2 =2i2ịả=i. Vậy z = (1±i) Với k=2i thì ả2 =-8=8i2ịả =2i. Vậy z = i±i hay z = (1±)i 5. a) z3+1 = 0 Û (x+1)(z2-z+1) = 0 Û (z+1)[ (z-)2+] = 0 b) đs : z1 =i , z2=-i , z3 =--i c) đs : z =± 1 , z =± i d) đs : z1,2 =1±i , z3,4 =-1±i 6. Giải : vì z0 =1+i là nghiệm của phương trình , nên ta có : (1+i)2+b(1+i) +c = 0 Û (b+c)+(2+b)i = 0 Û Ûb=-2; c=2 7. Xác định a, b , c từ hệ phương trình: Trừ từng vế hai phương trình, ta được: (1+i)[2i+(1+i)a+b]=8+4a+2b (-3a-b-8)+(2a+b+2)i=0 ÛÛ Thay các kết quả của a, b vào phương trình 2 , ta được : c=-4 đs : a=-6 ; b=10 ; c= -4. 8. a) đs : a=-4; b=5 b) phương trình :(2z-1)(z2-4z+5) = 0 có ba nghiệm là z=2±i và z= 9. a) đs : a=2; b=4. b) z4-4z2-16z-16=0 Û(z2-2z-4)(z2+2z+4)=0 Û 10. z4-z3++z+1 = 0 Û (z4+1)-(z3-z)+=0. Chia cả hai vế cho z2, ta được : (z2+) –(z-) + =0 Û Û Phương trình : z-= +i cho nghiệm z1=1+i ; z2 =- (1-i) Phương trình : z- = -i cho nghiêm z3=-(1+i) ; z4= 1-i 11. (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 Ta thấy zạ0 ( vì sao ?). Chia cả hai vế cho z2 và đặt , Dẫn tới phương trình : t2+2t-3 = 0 Ût=1 hoặc t=-3. Với t=1 , ta có : z2+3z+6 = z Û z2+2z+6 = 0 Û z = -1±i Với t=-3 , ta có : z2+3z+6 = -3z Û z2+6z+6 = 0Û z = -3 ± 12. đs : a = -4 ; b = 3. Phương trình : (z2-4z+3)(z2+4) = 0Û 13. z4-5z3+8z2-10z+12 = 0 Û (z4-5z3+6z2)+(2z2-10z+12) = 0 Û z 2(z2-5z+6) +2(z2-5z+6) = 0 Û(z2-5z+6)(z2+2) = 0 Phương trình có bốn nghiệm là : z1=2 ; z2=3; z3=1+i ; z4=-1-i 14. -iz = 1-2i Û = 1+(z-2)i Z=x+yi , với x, y R . = 1+(z-2)i Vì là một số thực dương , nên (1-y)+(x-2)i là số thực dương. Suy ra : Û Vậy : z =2-i 15. a) = 1 Û Û (x-1)2+y2 = x2+(y-1)2 Û x=y (a) Û x2+(y-3)2 = x2+(y+1)2 Ûy = 1 (b) Từ (a) và (b) : z = 1+i 16. = 1 Û(z+i)4 = (z-i)4 Û (z+i)4-(z-i)4=0 Û [(z+i)2+(z-i)2].[(z+i)2-(z-i)2=0 Û (2z2-2)(4zi) = 0 Û 8z3i-8zi = 0 Û 8i(z3-z) = 0 Û z(z2-1) = 0 Û z = 0; z = ± 1