Chuyên đề Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn có tham số

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN CÓ THAM SỐ Giải và biện luận phương trình ax = -b Ta có: 1. phương trình có nghiệm duy nhất 2. a = 0 phương trình có dạng: 0.x = b a) Nếu b 0 Không có giá trị nào của x nhân với 0 cho tamột số khác 0. Vậy phương trình vô nghiệm; S = . b) Nếu b = 0 Phương trình có dạng 0.x = 0 được nghiệm với mọi x thuộc R. phương trình vô số ngiệm , S = RKết luận : 1. 2. a= 0 a) b 0 S = b) b = 0 S = R Ví dụ 3.15 Giải và biện luận phương trình : a(x-1) = 2(b-x) Giải Ta có : a(x-1) = 2(b-x) (a+2)x = a+ 2b. a+2 0 a -2, phương trình có nghiệm duy nhất a + 2 = 0 a = -2, phương trình có dạng 0.x = -2 + 2b. Nếu -2 + 2b = 0 b = 1, phương trình có dạng 0.x = 0, có nghiệm tuỳ ý. Kết quả: a -2 a = -2 và b 1 S = a = -2 và b = 1 S = R Ví dụ 3.16 Tìm giá trị m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất (a) Giải Đây là phương trình có ẩn ở mẫu. Ta đặt điều kiện cho ẩn: x- 1 0 Ta được : Phương trình (b) có nghiệm duy nhất là : Lúc đó, nghiệm của (b) là: Để là nghiệm của phương trình (a) thì nó phải thoả mãn điều kiện , tức là Kết quả : phương trình có nghiệm duy nhất khi m có nghiệm duy nhất khi m và Ví dụ 3.17 Cho phương trình : (a) Tìm các giá trị của m để phương trình (a) vô nghiệm. Giải Phương trìnhn (a) là phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta đặt điều kiện: Điều kiện: và (*) Ta có (a) (b) Với m = 0 thì phương trình (b) có dạng 0.x = 2 Vậy, trường hợp này phương trình (b) vô nghiệm (1) Với thì phương trình (b) có nghiệm . Nghiệm là nghiệm của (a) khi nó phải thoả mãn các điều kiện (*), tức là: Vậy với m = 1 hoặc m = -2 thì phương trình (a) cũng vô nghiệm (2) Kết quả: phương trình (a) vô nghiệm với các giá trị của BÀI TẬP 121. Giải và biện luận các phương trình: a) m là tham số b) ; m, n là các tham số c) m là tham số d) (m-1)(m+2)x +3m2 + m – 4 = 0; m là tham số. e) (a2 -3a + 2) x = a – 2; a là tham số 122. Giải và biện luận các phương trình a) ; a là tham số b) a là tham số. 123. Giải và biện luận các phương trình : ; a,b,c là tham số 124. Giải và biện luận phương trình: 125. Cho phương trình: Xác định giá trị a để phương trình vô nghiệm. 126. Cho phương trình : m(x-1) + n(2x+1) – x = 2; m,n là tham số Xác định các giá trị m,n để phương trình có vô số nghiệm (S=R) 127. Cho hai phương trình : x= 1 – 2mx (a) (b) Giải và biện luận phương trình (a),phương trình (b) Với những giá trị nao9f của tham số m thì hai phương trình tương đương? HƯỚNG DẪN GIẢI 121. a) 1) (m-2)(m+2) Phương trình cĩ nghiệm 2 a) Với m = +2, phương trình cĩ dạng 0.x = 0 Phương trình được nghiệm với mọi x R Với m = -2, phương trình cĩ dạng 0.x = -4 Phương trình vơ nghiệm Kết quả: Điều kiện: Mẫu chung Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta được: 2) m = 0 Phương trình cĩ dạng 0.x = n 2 Do điều kiện m , ta suy ra n 0 và phương trình trỏ thành 0.x0 Không có giá trị nào của x nhân với 0 cho ta kết quả là một số 0 Vậy phương trình vô nghiệm. Kết quả c) 1) Với và , phương trình có nghiệm 2) a) Với m = 0 phương trình có dạng 0.x = 4 vô nghiệm b) Với m = 2 phương trình có dạng 0.x = S = R c) Với m = -2 phương trình có dạng 0.x = 16 d) 1) và 2) (m-1)(m+2) = 0 a) m – 1 = 0 m=1, phương trình có dạng 0.x = 0 phương trình có nghiệm tuỳ ý b) m = -2 phương trình có dạng 0.x = 2 phương trình vơ nghiệm Kết quả: và m =1 S = R m = -2 e) 2) a = 1 0.x = -1 a =2 0.x = 0 S = R 122. a) Điều kiện : x -1 và x a Ta đưa phương trình về dạng: 2(a-1)x = (a-1)2 khi vậy với giá trị a thì phương trình cĩ nghiệm Khi a= 1, phương trình cĩ dạng 0.x = 0 Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị Khi a = -1 => phương trình vơ nghiệm : b) Điều kiện : x . Mẫu chung x2 – a2 Quy đồng mẫu và khử mẫu, đưa vcề phương trình: (a-1)x = (a-1)(2a-3) 1)Với a = 1 => x = 2a-3 Với điều kiện x a => 2a – 3 a => a 3 x -a => 2a - -a => a 1 Vậy với điều kiện a1 và a 3, phương trình cĩ nghiệm x = 2a- 3. 2) Với a = 1 Phương trình cĩ dạng 0.x = 0 Nghiệm của phương trìnhb là mọi giá trị Kết quả a 1 => S a = 1 => S = 123. điều kiện: a0, b 0, x0, x -(a+b) Đưa các biểu thức cĩ chứa ẩn về vế trái: Quy đồng mẫu : Với a + b 0 thì: (*) ĩ -x(a+b+x) = ab ĩ x2+(a+b)x + ab + 0 ĩ x2 +ax+bx + ab = 0 ĩ x(x+a)+b(x+a) = 0 ĩ (x+a)x+b) = 0 Xét giá trị x = -a. để x = -a là ngiệm của phương trình đã cho thì ta phải cĩ : Vậy với a 0 , b 0 thì x = -a là một nghiệm của phương trình đã cho. Xét giá trị x = -b. Để x = -b là nghiệm của phương trình đã cho thì ta phải cĩ: Vậy với a 0 , b 0, b cũng là một nghiệm của phương trình đã cho.. 2 Với a + b = 0 , phương trình (*) được nghiệm với mọi Trong trường hợp này nghiệm của phương trình đã cho là Kết quả: Nếu a0, b0 thì S= Nếu a0, b 0 và a+ b = 0 thì S 124. Phương trình đã cho tương đương với phương trình : Nếu Phương trình đã cho cĩ nghiệm x = a + b + c => S = Nếu Phương trình đã cho được nghiệm đúng với mọi x 125. Điều kiện x-1 và x0 Mẫu chung : x(x+1) Quy đồng mẫu và khử mẫu, ta đưa về phương trình : (a-3)x=2 Phương trình vơ nghiệm khi a – 3 = 0 => a = 3 Ngồi ra, khi x3 => Kết hợp với điều kiện x-1 Do nên khơng cĩ giá trị nào để x = 0 Kết quả : phương trình vơ nghiệm với các giá trị a = 3, a = 1 126. phương trình được đưa về : (m+2n-1)x = 2 + m –n Để phương trình cĩ vơ số nghiệm thì: m+ 2n -1 = 0 (1) và 2 + m –n = 0 (2) Từ (1) và (2) ta rút ra m = -1, n= 1 127. 1) a) Hai phương trình tương đương khi cĩ tập hợp nghiệm bằng nhau. Ta cĩ hai trường hợp : a) b) Trường hợp cả hai phương trình đều vơ nghiệm. Trường hợp này khơng xảy ra vì phương trình đầu vơ nghiệm với , cịn phương trình sau lại vơ nghiệm với Kết quả : Hai phương trình tương đương khi .