Chuyên đề Hàm số 12 - Luyện thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đại học, cao đẳng

TRUNG TAÂM GIA SÖ ÑÆNH CAO CHAÁT LÖÔÏNG SÑT: 0978421673-TP HUEÁ CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 12 LUYỆN THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAOĐẲNG Hueá, thaùng 7/2012 * Biện luận số nghiệm phương trình * Phương trình tiếp tuyến * Tương giao, tiếp xúc và họ đương cong * Điểm đặc biệt, khoảng cách , tâm-trục đối xứng TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư1 MỤC LỤC Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình Vấn đề 2: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số  Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M  Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc  Dạng 3: Viết phương trình đi qua điểm A cho trước  Dạng 4: Tìm những điểm trên đồ thị   : ( )C y f x sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước  Dạng 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d hoặc trên (C) mà từ đó kẻ được 1,2,3... tiếp tuyến với đồ thị  Dạng 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau  Dạng 7: Lập tiếp tuyến chung của hai đồ thị  Dạng 8: Sự tiếp xúc của đường cong  Dạng 9: Một số dạng khác về tiếp tuyên Một số bài toán chọn lọc về tiếp tuyến Vấn đề 3: Vẽ đồ thị hàm số có dấu giá trị tuyệt đối  Dạng 1: Từ đồ thị hàm số ( ) : ( )C y f x vẽ đồ thị hàm số ( ') : ( )C y f x  Dạng 2: Từ đồ thị hàm số  ax xUy  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’)  ax xUy  hoặc   ax xUy   Dạng 3: Cho hàm số  xfy  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’) :  y f x  Dạng 4: Cho hàm số  xfy  (C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C’)  y f x Vấn đề 4: Sự tương giao của đồ thị Vấn đề 5: Điểm đặc biệt trên đồ thị hàm số  Dạng 1: Tìm điểm trên đồ thị (C) có tọa độ nguyên  Dạng 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x) đối xứng qua đường thẳng y=ax+b TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư2  Dạng 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C):y=f(x ) đối xứng qua điểm I(a;b) Vấn đề 6: Họ đường cong  Dạng 1: Tìm điểm cố định của họ đường cong  Dạng 2:Tìm điểm họ đồ thị không đi qua  Dạng 3: Tìm điêmt mà một số đồ thị của họ đồ thị đi qua Vấn đề 7: Tâm đối xứng -Trục đối xứng Vấn đề 8: Khoảng cách  Dạng 1: Đối với hàm phân thức hữu tỉ  Dạng 2: Cho đồ thị (C) có phương trình y=f(x). Tìm trên (C) điểm M thỏa điều kiện K  Dạng 3: Cho đường cong (C) và đường thẳng d : Ax+By+C=0 . Tìm điểm I trên (C) sao cho khoảng cách từ I đến d là ngắn nhất .  Dạng 4: Cho đường cong (C) có phương trình y=f(x) và đường thẳng d : y=kx+m. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho :  AB là hằng số a  AB ngắn nhất . Luyện tập TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư3 Vấn đề 1: Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình Khi đó (1) có thể xem là phương trình hoành độ giao điểm của hai đường: ( ) : ( ); :C y f x d y m   d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.  Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1) Thực hiện tương tự như trên, có thể đặ t ( )g x k . Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m. BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho hàm số 3 21 3 33y x x x    a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 21 3 03 x x x m    Hướng dẫn: a) Bảng biến thiên Đồ thị: y c. x m c. A c. (C) c.(d) : y = m c.yCĐ yCT xAc. Dạng 1: ( , ) 0 ( )F x m f x m   (1) Dạng 2: ( , ) 0 ( ) ( )F x m f x g m   (2) TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư4 b) 3 2 3 21 13 0 3 3 33 3x x x m x x x m           Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng 3y m    9m  hoặc 53m  : phương trình có 1 nghiệm  m=9 hoặc 53m  : phương trình có 2 nghiệm  5 93 m  : phương trình có 3 nghiệm Bài 2. Cho hàm số 21 xy x   có đồ thị (C) a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 1 2m x x   Hướng dẫn: a) Bảng biến thiên và đồ thị: b) TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư5 Bài 3. Cho hàm số y = x4 – 4x2 + 3 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị 2.Tìm a để phương trình : 03log4 324  axx có 4 nghiệm thực phân biệt . Hướng dẫn: Phương trình tương đương với x4 – 4x2 + 3 = a3log Theo đồ thị câu 1 bài toán yêu cầu tương đương 1 a3log < 3  1log3 a 1log1 3  a  1 33 a  Bài 4. Cho hàm số 4 25 4,y x x   có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C). 2. Tìm m để phương trình 4 2 2| 5 4 | logx x m   có 6 nghiệm phân biệt. Hướng dẫn : TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư6 9 4412 9log 12 144 124m m    Bài 5. Cho hàm số: 4 26 5y x x   1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của 2. Tìm m để phương trình: 4 2 26 log 0x x m   có 4 nghiệm phân biệt trong đó 3 nghiệm lớn hơn – 1. Hướng dẫn : Pt  x4 – 6x2 + 5 = 5 + log2m Nhìn vào đồ thị ta thấy yêu cầu bài toán  2 10 5 log 5 132m m      BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Cho hàm số 4 22 1y x x   có đồ thị (C) 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2. Dựa vào đồ thị (C ), biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 4 22 0 (*)x x m   Bài 2. Cho hàm số 3 23y x x   1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Dùng (C) tìm k để phương trình : 3 2 3 23 3 0x x k k     có 3 nghiệm phân biệt. Bài 3. Cho hàm số 3 2y x mx m    , với m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m =3. 2. Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo k số nghiệm của 3 3 1 0x x k    Bài 4 . Cho hàm số 3 23 1y x x   1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình sau: 3 23 1 2 mx x   .. . .. xo y 4 5 1-1 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư7 Bài 5 . Cho hàm số 4 22 3 ( )y x x C    1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) 2. Tìm m để phương trình 4 22 0x x m   có 4 nghiệm phân biệt BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1 . Cho hàm số 3 3 1 ( )y x x C   a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:  3 3 0x x m    3 3 1 2x x m   Bài 2. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: 4 21 2 32y x x   b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 4 21 2 02 x x m   c) Tìm k để phương trình 4 24 6 2x x k   có 6 nghiệm phân biệt Bài 3. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau: 2 43 xy x   b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình  2 2 3 0x m x     2 3x m x   Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: a) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m       b) 3 33 1; 3 1 0y x x x x m        TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư8 c) 3 3 23 1; 3 2 2 0y x x x x m m        d) 3 33 1; 3 4 0y x x x x m        e) 4 2 4 22 2; 4 4 2 02 xy x x x m        f) 4 2 4 22 2; 2 2 0y x x x x m       Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị (T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 1. 3 2 3 2 3 2( ) : 3 6; ( ) : 3 6 ; 3 6 3 0C y x x T y x x x x m           2. 33 2 2( ) : 2 9 12 4; ( ) : 2 9 12 4;C y x x x T y x x x        3 22 9 12 0x x x m    3. 2 2 2 2( ) : ( 1) (2 ); ( ) : ( 1) 2 ;( 1) 2 ( 1) (2 )C y x x T y x x x x m m           Bài 6. Cho hàm số 2( ) 1 xy f x x    . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 3 0x y  . c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của 23 ( 2) 2 0x m x m     Bài 7. Cho hàm số 1( ) 1 xy f x x    . a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) c ủa hàm số. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng 2 0x y  . c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của 22 ( 1) 1 0x m x m     TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư9 Vấn đề 2 : Tiếp tuyến của đồ thị hàm số Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x) tại điểm  0 0 0;M x y :  Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).  Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0.  Tính y = f (x). Suy ra y(x0) = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  là: y – y0 = f (x0).(x – x0) * Chú ý: - Điểm  0 0 0;M x y được gọi là tiếp điểm - 0x là hoành độ tiếp điểm và 0y là tung độ tiếp điểm - Điểm M Ox thì tọa độ của M là  ;0M x ; điểm M Oy thì tọa độ của M là  0;M y VÍ DỤ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 23 2y x x   1. Tại điểm (2; 2) 2. Tại điểm có hoành độ 1x   3. Tại điểm có tung độ 2y   4. Tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng 1y x  . BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: a) (C): 3 23 7 1y x x x    tại A(0; 1) b) (C): 4 22 1y x x   tại B(1; 0) c) (C): 3 42 3 xy x   tại C(1; –7) d)(C): 21 2 1y x x    tại D(0; 3) Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra: DẠNG 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM M(x0;y0) TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư10 a) (C): 2 3 3 2 x xy x    tại điểm A có 4Ax  b) (C): 3( 2)1 xy x   tại điểm B có 4By  c) (C): 12 xy x   tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung. d) (C): 3 3 1y x x   tại điểm uốn của (C). e) (C): 4 21 924 4y x x   tại các giao điểm của (C) với trục hoành. Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ ra: a) (C): 3 22 3 9 4y x x x    và d: 7 4y x  . b) (C): 3 22 3 9 4y x x x    và (P): 2 8 3y x x    . c) (C): 3 22 3 9 4y x x x    và (C’): 3 24 6 7y x x x    . Bài 4. Cho hàm số 3 22 3 12 1y x x x    có đồ thị (C). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) biết tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ . Hướng dẫn:      0 0 2 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 M ; ( ), Phöông trình tieáp tuyeán taïi M: y= 6 6 12 2 3 12 1 Tieáp tuyeán ñi qua O(0;0) neân 1 12 x y C x x x x x x x x y             BTTT: Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số    3 21 3 1 2y x m x m x m       tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua  2; 1A  . Đáp số: 2m   Bài 6. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng S cho trước: a) (C): 2 1 x my x   tại điểm A có 2Ax  và S = 1 2 . b) (C): 32 x my x   tại điểm B có 1Bx   và S = 9 2 . TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư11 c) (C): 3 1 ( 1)y x m x    tại điểm C có 0Cx  và S = 8. Hướng dẫn câu a) 2 4A Ax y m    và '(2) 2f m   . Phương trình tiếp tuyến tại  2;4A m có dạng     : 2 2 4y m x m       .  Δ Δ 228 3 1 13 8;0 ; 0; .Ta coù:S . 92 2 2 3OAB mmOx A m Oy B OAOBm m                  Bài 7 . Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra: (C): 5 112 3 xy x   tại điểm A có 2Ax  . Câu 8. Cho hàm số 2 3 .2 xy x   Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. Hướng dẫn: Ta có: 00 0 0 2 3; , 22 xM x xx      ,  0 20 1'( ) 2y x x   Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng:   002 00 2 31: ( ) 22 xy x x xx      Toạ độ giao điểm A, B của   và hai tiệm cận là:  0 0 0 2 22; ; 2 2;22 xA B xx      Ta thấy 0 0 2 2 2 2 2 A B M xx x x x     , 0 0 2 3 2 2 A B M xy y yx    . Suy ra M là trung điểm của AB. Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích S = 2 2 2 20 0 0 2 0 0 2 3 1( 2) 2 ( 2) 22 ( 2) xIM x xx x                          TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư12 Dấu “=” xảy ra khi 020 2 0 0 11( 2) ( 2) 3 xx x x       Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3) Bài 9. Cho hàm số 2 11 xy x   . Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm ( 1; 2)I  tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất . Hướng dẫn: Nếu 0 0 3; 2 ( )1M x Cx      thì tiếp tuyến tại M có phương trình 02 0 0 3 32 ( )1 ( 1)y x xx x     hay 2 0 0 03( ) ( 1) ( 2) 3( 1) 0x x x y x       Khoảng cách từ ( 1;2)I  tới tiếp tuyến là   0 0 0 4 4 200 02 0 3( 1 ) 3( 1) 6 1 6 99 ( 1)9 1 ( 1)( 1) x x xd xx xx            . Theo bất đẳng thức Côsi 202 0 9 ( 1) 2 9 6( 1) xx     , vây 6d  . Khoảng cách d lớn nhất bằng 6 khi  220 0 02 0 9 ( 1) 1 3 1 3( 1) x x xx          . Vậy có hai điểm M :  1 3;2 3M    hoặc  1 3;2 3M    Bài 10. Cho hàm số 11 xy x   . Gọi  0 0;M x y là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng 1. Chứng minh M là trung điểm của AB 2. Diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí điểm M. TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư13 3. Tích khoảng cách từ từ điểm M đến hai tiệm cận là không đổi Hướng dẫn câu 2 Gọi   00 0 0 0 0 1; ( ) ( 1)1 xM x y C y xx     . PTTT tại M có dạng: 002 00 12 ( ) 1( 1) xy x x xx      () Giao điểm của 2 tiệm cận: I(1;1) . Ta có A = ()  TCĐ => A= 0 0 31; 1 x x     ; B = ()  TCN => B =  02 1;1x  IA = 0 4 1x  ; IB = 02 1x  . Do đó: SIAB = 12 .IA.IB = 4 (đvdt) không phụ thuộc vị trí M. Bài 11. Cho hàm số 1 xy x  1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho 2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ I đến tiếp tuyến bằng 2 Hướng dẫn: 0 0 0 ; ( )1 xM x Cx     . Phương trình tiếp tuyến tại điểm M có dạng    0 020 0 1: 1 1 xy x xx x     Chuyển  về dạng phương trình tổng quát. Dùng công thức tính khoảng cach từ 1 điểm đến đường thẳng, g iải phương trình ta được 0 0 0 2 x x     TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư14 Baøi 12. Cho haøm soá 2 1 ( )1 xy Cx   1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá 2. Tìm treân ñoà thò (C) nhöõng ñieåm M sao cho tieáp tuyeán taïi M taïo vôùi hai tieäm caän moät tam giaùc coù baùn kính ñöôøng troøn ngoaïi tieáp baèng 2 Höôùng daãn:  00 0 2 1Goïi M ; 1 xx Cx      . Phöông trình tieáp tuyeán taïi M caét hai ñöôøng tieäm caän laàn löôït taïi  0 0 0 2 11; ; 2 1;21 xA B xx      . Ta thaáy tam giaùc taïo thaønh laø tam giaùc ABI vuoâng taïi I coù caïnh huyeàn laø 0 0 02 2 2 xAB x      Baøi 13. Cho haøm soá 4 22 , m laø tham soáy x mx m   1. Khaûo saùt söï bieán thieân vaø veõ ñoà thò haøm soá khi m=1 2. Bieát A laø ñieåm thuoäc ñoà thò haøm soá coù hoaønh ñoä baèng 1. Tìm m ñeå khoaûng töø ñieåm 3 ;14B     ñeán tieáp tuyeán taïi A laø lôùn nhaát. TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư15 Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y =f(x), biết  có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f (x0).   có hệ số góc k f (x0) = k (1)  Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳng  có dạng: y = kx + m.   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) '( ) f x kx m f x k     (*)  Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến  có thể được cho gián tiếp như sau: +  tạo với chiều dương trục hoành góc  thì k = tan +  song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a DẠNG 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN BIẾT HỆ SỐ GÓC TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư16 +  vuông góc với đường thẳng d: y = ax + b (a  0) thì k = 1a +  tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc  thì tan1 k a ka    BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho   23 1( ) : , 0m m x m mC y mx m     . Định m để tiếp tuyến trên (C m) tại giao điểm với trục hoành song song với đường thẳng y=x Hướng dẫn: Hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành 2 0 1, 0; ;13 1 3 m mx mm          2 0 2 0 2 2 4' , ' 1 3 13 1 .........1 3 53 1 x mmy y x mx m m m mm m mm mm m                         Bài 2. (Đại học A2011). Cho hàm số 12 1 xy x    Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y x m  luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi 1 2k k lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng 1 2k k đạt giá trị lớn nhất. Hướng dẫn: Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng :d y x m   21 1, 2 2 1 02 1 2           x x m x x mx mx Phương trình (1) có 2 22 2 ( 1) 1 0,         m m m m  Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm nên d luôn cắt (C) tại hai điểm A, B. TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư17 Hoành độ tiếp điểm tại A, B là 1 2;x x là nghiệm của phương trình (1)  1 2x x m   và 1 2 1. 2 mx x   Ta có:   2 2 21 2 1 2 1 2 22 2 1 2 1 2 1 2 4( ) 4( ) 21 1 4( 1) 2(2 1) (2 1) 4 2( ) 1                  x x x xk k mx x x x x x 1 2k k đạt giá trị lớn nhất bằng 2 1m    BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  có hệ số góc k được chỉ ra: a) (C): 3 22 3 5y x x   ; k = 12 b) (C): 2 12 xy x   ; k = –3 c) (C): 2 3 4 1 x xy x    ; k = –1 Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): 3 22 3 13 xy x x    ; : 3 2d y x  b) (C): 2 12 xy x   ; d: 3 24y x   c) (C): 2 2 3 4 6 x xy x    ; d: 2 5 0x y   d) (C): 4 21 332 2y x x   ; : 4 1d y x   Bài 3. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 3 22 3 13 xy x x    ; d: 28 xy    b) (C): 2 12 xy x   ; d: y x c) (C): 2 3 1 xy x   ; d: y = –3x d) (C): 2 1 2 x xy x    ; : 2d y x  Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với chiều dương trục Ox góc : a) (C): 3 2 02 4; 603 xy x x      b)(C): 3 2 02 4; 753 xy x x      TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư18 c) 03 2( ) : ; 451 xC y x    Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  tạo với đường thẳng d một góc : a) (C): 3 2 02 4; : 3 7; 453 xy x x d y x        b) (C): 3 2 012 4; : 3; 453 2 xy x x d y x         c) 04 3( ) : ; : 3 ; 451 xC y d y xx     d) 03 7( ) : ; : ; 602 5 xC y d y xx       e) 2 03( ) : ; : 1; 602 x xC y d y xx        Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 1 xy x  , biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giác OAB cân tại O. Hướng dẫn: Vì tam giác OAB cân tại O nên đường thẳng AB phải song song với một trong hai đường thẳng có phương trình y x hoặc y x  Ta có:  2 1' 0, 1. 1 y x x       Gọi  0 0 0;M x y là tiếp điểm của đồ thị hàm số Do đó:       00 0 0 0 0 0 2' 1 0 0 0.Phöông trình tieáp tuyeán: loaïi vì A B Vôùi 2 2.Phöông trình tieáp tuyeán: 4 xy x x Vôùi x y y x x y y x thoõa                    Bài 8. Cho hàm số  3 21 12 43 3y x x m x m      , m là tham số 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m=1 TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư19 2. Tìm m để tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của hàm số đi qua  3; 1A  Hướng dẫn:  220 0 0 0 0 0 0 0 '( ) 4 4 2 . '( ) ñaït ñöôïc khi 2 Vôùi 2 3. f x x x m x m m Min f x m x x y m               Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm (2; 3)M m  , sau đó thay tọa độ điểm A vào ta tìm được 2m   . TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư20 Phương pháp: Viết phương trình tiếp tuyến  của (C): y = f(x), biết  đi qua điểm ( ; )A AA x y . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.  Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y 0 = f(x0), y0 = f (x0).  Phương trình tiếp tuyến  tại M: y – y0 = f (x0).(x – x0)   đi qua ( ; )A AA x y nên: yA – y0 = f (x0).(xA – x0) (2)  Giải phương trình (2), tìm được x 0. Từ đó viết phương trình của . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.  Phương trình đường thẳ ng  đi qua ( ; )A AA x y và có hệ số góc k: y – yA = k(x – xA)   tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) '( ) A Af x k x x y f x k      (*)  Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến . BÀI TẬP MẪU: Bài 1. Cho hàm số  x 2y C .x 2   Viết phương trình tiếp tuyến của  C , biết tiếp tuyến đi qua điểm  A 6;5 . Hướng dẫn: Phương trình đường thẳng đi qua  A 6;5 là    d : y k x 6 5   . DẠNG 3: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘTĐIỂM TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư21 (d) tiếp xúc (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm :                      2 2 2 2 2 22 4 x 2x 2 x 6 5k x 6 5 x 2x 2x 2 4 4k kx 2 x 2 4x 24x 04 x 6 5 x 2 x 2 x 2 x 0;k 1 44 1kk x 6;kx 2 4x 2                                                 Suy ra có 2 tiếp tuyến là :    1 2 x 7d : y x 1; d : y 4 2      BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến  của (C), biết  đi qua điểm được chỉ ra: a) (C): 3 3 2y x x    ; A(2; –4) b) (C): 3 3 1y x x   ; B(1; –6) c) (C):  222y x  ; C(0; 4) d)(C): 4 21 332 2y x x   ; 30; 2D     e) (C): 22 xy x   ; E(–6; 5) f) (C): 3 4 1 xy x   ; F(2; 3) g) (C): 2 3 3 2 x xy x    ; G(1; 0) h) 2 2 1 x xy x    ; H(2; 2) TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư22 PHƯƠNG PHÁP:  Gọi M(x0; y0)  (C).  là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f (x0).  Vì  // d nên f (x0) = kd (1) hoặc   d nên f (x0) = 1 dk  (2)  Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0. Từ đó tìm được M(x 0; y0)  (C). BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1. Cho  1( ) :m m x mC y x m    . Định m để tiếp tuyến trên (Cm) có hoành độ x0=4 thì song song với đường phân giác thứ hai của gốc hệ tọa độ. Hướng dẫn:   2 2'( ) , '( ) 1 2mf x f x mx m       Bài 2. Cho hàm số 31 23 3y x x   có đồ thị (C). Tìm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó của đồ thị vuông gốc với đường thẳng 1 23 3y x   Bài 3. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2 3 6 1 x xy x    ; d: 1 3y x b) (C): 2 1 1 x xy x    ; d là tiệm cận xiên của (C) c) (C): 2 1 1 x xy x    ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của DẠNG 4: TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊNĐỒ THỊ   : ( )C y f x SAO CHO TẠI ĐÓ TIẾP TUYẾN CỦA (C) SONG SONG HOẶC VUÔNG GÓC VỚI MỘTĐƯỜNG THẲNG d CHO TRƯỚC TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư23 (C). d) (C): 2 1x xy x   ; d: y = x Bài 4. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): 3 2 10y x x x    ; d: 2y x b) (C): 2 1x xy x   ; d: y = –x Bài 5. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2(3 1) ( 0)m x m my mx m     tại điểm A có yA = 0 và d: 10y x  . Bài 6. Tìm m để tiếp tuyến  của (C) tại điểm được chỉ ra vuông góc với đường thẳng d cho trước: a) (C): 2 (2 1) 2 1 x m x my x      tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C). b) (C): 22 1 3 x mxy x    ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 . TRUNG TÂM GIA SƯ ĐỈNH CAO CHẤT LƯỢNG. SĐT:0978421673. TP HUẾ Chuyên đề LTĐH Trần Đình Cư24 PHƯƠNG PHÁP: Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM)  d.  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM   tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: ( ) ( ) (1) '( ) (2) M Mf x k x x y f x k       Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f (x) + yM (3)  Số tiếp