Chuyên đề: Hàm số bậc ba

Câu 1: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị hàm số y = |x|3 – 6x2 + 9|x|. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: |x|3 – 6x2 + 9|x| - 3 + m = 0. Câu 2: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm những điểm trên (C), mà tại đó tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng . Câu 3: Cho hàm số (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi . Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Câu 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số . Câu 5: Cho hàm số y = x3 – 3x (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 1. Chứng minh rằng: khi m thay đổi, đường thẳng d: y = m(x + 1) + 2 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Xác định m để (C) cắt d tại ba điểm phân biệt A, B, C sao cho tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau. Câu 6: Cho hàm số y = x3 – 3(a – 1)x2 + 3a(a – 2)x + 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 0. Câu 7: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 0. Trong tất cả các tiếp tuyến với (C), hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Chứng minh rằng: với mọi m, hàm số luôn có cực đại và cực tiểu. Hãy xác định m để khoảng cách giữa điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất. Câu 8: Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 -12x – 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi qua gốc toạ độ. Câu 9: Cho hàm số y = x3 – 3x2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết tiếp tuyến ấy vuông góc với đthẳng . Câu 10: Cho hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0. Chứng minh rằng: với mọi m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x1, x2 và x2 – x1 không phụ thuộc m Câu 11: Cho hàm số y = 2x3 + 3(m – 3)x2 + 11 – 3m (Cm) Cho m = 2. Viết phương trình tiếp tuyến củ (C2), biết tiếp tuyến đi qua điểm . Tìm các giá trị của m để hàm số có hai cực trị. Gọi M1 và M2 là các điểm cực trị, tìm m để các điểm M1, M2 và B(0; -1) thẳng hàng. Câu 12: Cho hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx - 5 Với những giá trị nào của m thì hàm số có cực đại, cực tiểu. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. Chứng minh rằng: từ điểm M(1; -4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C). Câu 13: Cho hàm số Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Xác định m để đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và cực tiểu đxứng nhau qua đthẳng y = x. Câu 14: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(2m – 1)x + 1 (Cm). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khi m = 2. Xác định m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định. Xác định m sao cho hàm số có một cực đại và một cực tiểu. Tính toạ độ của điểm cực tiểu. Câu 15: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 3m + 4 (Cm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0, gọi đồ thị (C0). Viết phương trình tiếp tuyến với (C0) tại giao điểm của (C0) với trục hoành. Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành. Câu 16: Cho hàm số y = 3x – x3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dựa vào (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: sinx.cos2x + 2sinx – m = 0, với x Î [0; p]. Câu 17: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 – 3(1 + 2m)x + 1 (1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y = x + 1 tại 3 điểm phân biệt A, B, C thoả mãn điều kiện AB = 2BC. Câu 18: Cho hàm số y = -x3 + 9x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(3; 0) và có hệ số góc k: + Tìm k để d là tiếp tuyến của (C) + Tìm k để d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt Câu 19: Cho hàm số y = x3 – (2m + 1)x2 + (m2 – 3m + 2)x + 4 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Xác định m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, cực tiểu ở về hai phía của trục tung. Câu 20: Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ đều đi qua. Chứng minh rằng những điểm cố định đó thẳng hàng. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khảo sát ở trên, biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Câu 21: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(-1; 2). Câu 22: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đt d: y = 9x + 8. Tìm các giá trị của k để đường thẳng y = kx + 1 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Câu 23: Cho hàm số y = x3 + mx2 – x – m Chứng minh rằng: với mọi m, hàm số luôn có cực đại, cực tiểu. Với mỗi m, viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (1; +∞). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. Câu 24: Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 0. Chứng minh rằng: với mọi m, hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu. Câu 25: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất. Câu 26: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số. Có bao nhiêu tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3). Viết phương trình các tiếp tuyến đó. Câu 27: Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x – m2 + 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm . Câu 28: Cho hàm số y = x3 – 3x2 + m – 1 (Cm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3. Xác định số nghiệm của phương trình x3 – 3x2 + m = 0 tuỳ theo giá trị của m. Cho đường thẳng d: y = k(x – 2) + m – 5. Tìm k để đường thẳng d là tiếp tuyến của (Cm). Câu 29: Cho hàm số y = x3 + 3x2 + mx (Cm) Tìm các giá trị của m để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C4) của hàm số khi m = 4. Tính diện tích của miền giới hạn bởi (C4), trục hoành và tiếp tuyến của (C4) tại điểm U(-1; -2). Câu 30: Cho hàm số y = x3 – 2x2 + x Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và đường thẳng y = 4x.