Chuyên đề hay về Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR TRONG HÌNH HỌC Problem 5 The triangle ABC has unequal sides, centroid G, incenter I and orthocenter H. Show that angle GIH > 90o. Solution Let N be the midpoint of OH. Then IN = (IO + IH)/2, so IH = 2IN - IO (we use bold to represent vectors). G lies on the line OH with OG = OH/3 (the Euler line), so OG = 2GN and hence IG = (2IN + IO)/3. Hence IH.IG = (4IN2 - IO2)/3. We have the well-known results OI2 = R2 - 2rR (Euler's formula and IN = R/2 - r (Feuerbach's theorem - usually stated as "the incircle and the nine-point circle touch" - N is the center of the nine-point circle and R/2 is the radius of the nine-point circle). Hence IH.IG = (R2 - 4Rr + 4r2 - R2 + 2Rr)/3 = -2r(R - 2r)/3 < 0. If you are fluent with vector formulae for the triangle, the following solution by Mehul Srivastav is straightforward Use vectors origin O the circumcenter. Take the vector OA to be A etc. Then G = (A + B + C)/3, H = A + B + C (Euler line), I = (aA + bB + cC)/(a+b+c). The last formula is not so well-known, but is easy to verify. Check, for example, that b AI.AB = c AI.AC (for that it is convenient to relocate the origin to A). We have to show that (G-I).(H-I) < 0, or G.H + I2 - I.(G+H) < 0. Note that since the origin is the circumcenter we have B.C = R2cos2A = R2cos2A - R2sin2A = (R2 - a2/4) - a2/4 = R2 - a2/2. Similarly for C.A and A.B. Obviously A2 = B2 = C2 = R2. Hence 3G.H = A2 + B2 + C2 + 2A.B + 2B.C + 2C.A = 9R2 - (a2 + b2 + c2). We have I2 = (aA + bB + cC)2/(a+b+c)2 = ( (a2 + b2 + c2)R2 + 2ab(R2 - c2/2) + 2ac(R2 - b2/2) + 2bc(R2 - a2/2) )/(a+b+c)2 = R2 - (abc2 + ab2c + a2bc)/(a+b+c)2 = R2 - abc/(a+b+c). (3/4)(a+b+c)I.(G+H) = (aA + bB + cC).(A + B + C) = (a+b+c)R2 + (a+b)A.B + (b+c)B.C + (c+a)C.A = 3(a+b+c)R2 - (c2(a+b) + a2(b+c) + b2(a+c))/2. So we wish to show that 3R2 - (a2+b2+c2)/3 + R2 -abc/(a+b+c) - 4R2 + (2/3)(a2b + b2a + ... )/(a+b+c) 2(a2b + b2a + ... ) or a3 + b3 + c3 - (a2b + b2a + ... ) + 3abc > 0 or a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) + c(c-a)(c-b) > 0 (*). wlog a > b > c. So a(a-c) - b(b-c) > 0. Hence a(a-b)(a-c) + b(b-a)(b-c) > 0. Obviously c(c-a)(c-b) > 0. So (*) holds and he nce the result. BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR VÀ PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R Võ Thành Văn Lớp 11 Tốn-Khối chuyên THPT-ĐHKH Huế *LỜI MỞ ĐẦU: Như các bạn đã biết,bất đẳng thức Schur là một bất đẳng thức mạnh và cĩ nhiều ứng dụng,tuy nhiên nĩ vẫn cịn khá xa lạ với nhiều bạn học sinh THCS cũng như THPT.Qua bài viết này,tơi muốn cũng cấp thêm cho các bạn một kĩ thuật để sử dụng tốt BDT Schur,đĩ là kết hợp với phương pháp đổi biến . Trước hết tơi xin nhắc lại về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến . I-BẤT ĐẲNG THỨC SCHUR: Với các số thực dương a,b,c và bất kì ta luơn cĩ Hai trường hợp quen thuộc được sử dụng nhiều là k=1 và k=2: II-PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN P,Q,R: Đối với một số bài bất đẳng thức thuần nhất đối xứng cĩ các biến khơng âm thì ta cĩ thể đổi biến lại như sau: Đặt Ta cĩ một số đẳng thức sau: . Đặt Khi đĩ Cĩ thể thấy ngay lợi ích của phương pháp này là mối ràng buộc giữa các biến p,q,r mà các biến a,b,c ban đầu khơng cĩ như: Những kết quả trên đây chắc chắn là chưa đủ,các bạn cĩ thể phát triển thêm nhiều đẳng thức,bất đẳng thức liên hệ giữa 3 biến p,q,r.Và điều quan trọng mà tơi muốn nĩi đến là từ bất đẳng thức và ,ta cĩ: (từ ) (từ ) Tuy nhiên trong một số trường hợp thì cĩ thể các đại lượng cĩ thể nhận giá trị âm lẫn giá trị dương nên ta thường sử dụng . Cĩ lẽ đến đây các bạn đã hiểu được phần nào về bất đẳng thức Schur và phương pháp đổi biến p,q,r.Sau đây là một số ví dụ minh họa,nhưng trước hết,các bạn hãy tập làm thử rồi xem đáp án sau: III-VÍ DỤ MINH HỌA 3.1:Bất đẳng thức Schur: Ví dụ 1:Võ Thành Văn: Cho a,b,c là các số thực khơng âm.Chứng minh rằng: Lời giải: Đặt Áp dụng BDT Holder,ta cĩ: Ta cần chứng minh: (đúng theo BDT Schur) Vậy ta cĩ đpcm. Ví dụ 2:APMO 2004: Cho 3 số thực dương .Chứng minh rằng: Lời giải Lời giải 1:Khai triển bất đẳng thức trên,ta cần chứng minh: Ta cĩ: (theo BDT Schur) Áp dụng các BDT trên,ta cĩ: Lời giải 2: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta cĩ: Bất đẳng thức cuối đã rất quen thuộc,ta cĩ đpcm. Ví dụ 3:VMO 2002-Trần Nam Dũng Chứng minh rằng với mọi ,ta cĩ: Lời giải: Sử dụng bất đẳng thức AM-GM,ta cĩ: Mặt khác sử dụng bất đẳng thức Schur, Do đĩ Bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 4:Arqady Cho a,b,c là các số khơng âm,trong đĩ khơng cĩ 2 số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng: Lời giải: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz,ta cĩ: Áp dụng 2 bất đẳng thức trên,ta cĩ: Giả sử và đặt . Ta cần chứng minh Bất đẳng thức cuối dễ dàng chứng minh bằng cách xét 2 trường hợp: và Đẳng thức xảy ra khi và . Ví dụ 5:Moldova TST 2005: Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương và thì: Lời giải: Quy đồng mẫu số rồi khai triển,ta cần chứng minh: Áp dụng bất đẳng thức Schur và giả thiết ,ta cĩ: Áp dụng BDT AM-GM,ta cĩ: Mặt khác ta lại cĩ: Vậy ta cĩ đpcm. Ví dụ 6:Vasile Cirtoaje: Cho là các số thực khơng âm thỏa mãn .Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng BDT Schur,ta cĩ: và Ta cần chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta cĩ đpcm. Đẳng thức xảy ra khi . Ví dụ 7:Võ Thành Văn: Cho .Chứng minh rằng: Lời giải: Đổi biến theo p,q,r,bât đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau: () Mặt khác,theo BDT Schur,ta cĩ: Vậy ta cĩ đpcm Ví dụ 8: Phạm Kim Hùng Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng: Lời giải: Quy đồng,rút gọn và đổi biến theo p,q,r,bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng BDT Schur,ta cĩ: Từ giả thiết Thay 2 điều trên vào bất đẳng thức cần chứng minh,ta cĩ: Bất đẳng thức cuối đúng nên ta cĩ đpcm. Ví dụ 9:CRUX Cho a,b,c là các số thực khơng âm thỏa mãn .Chứng minh rằng: * Bài này đã được anh Hùng sử dụng cho phần BDT TRê-bư-sép trong cuốn Sáng tạo BDT,tuy nhiên bây giờ các bạn sẽ được thấy một lời giải với BDT Schur và phương pháp đổi biến p,q,r rất tự nhiên. Lời giải: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh và chuyển về dạng ,ta cĩ: Theo BDT AM-GM thì Theo BDT Schur,ta cĩ: Nên ta cần chứng minh: Vậy BDT được chứng minh. 3.2: Phương pháp đổi biến p,q,r: Ví dụ 10: Phạm Kim Hùng Cho a,b,c là các số thực khơng âm thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng: Lời giải: Quy đồng mẫu số rồi khai triển,ta cần chứng minh: Sử dụng bất đẳng thức quen biết ,ta cĩ: Tiếp tục sử dụng bất đẳng thức trên,ta cần chứng minh: hay với . Áp dụng BDT AM-GM,ta cĩ nên cần chứng minh: Bắt đẳng thức cuối hiển nhiên đúng nên ta cĩ đpcm. Đẳng thức xảy ra khi hoặc và các hốn vị. Ví dụ 11: Dương Đức Lâm Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng Lời giải:Võ Quốc Bá Cẩn Đặt bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta cĩ Đến đây ta cần chứng minh Giả sử chuyển về dạng ,BDT trở thành Từ ta cĩ: Ví dụ 12: Võ Quốc Bá Cẩn Cho thỏa mãn .Chứng minh rằng Lời giải:Nguyễn Thúc Vũ Hồng Quy đồng,rút gọn,đổi biến BDT thành và xét hàm theo ,ta cần chứng minh Áp dụng BDT Schur,ta cĩ .TH1:,khi đĩ .TH2:,khi đĩ với Đẳng thức xảy ra khi . Ví dụ 13:Vasc Cho a,b,c là các số thực khơng âm.Chứng minh rằng: Lời giải: Chuẩn hĩa ,ta cĩ bất đẳng thức: Đến đây ta sử dụng một thủ thuật khi dùng bất đẳng thức Schur ,đĩ là chia trường hợp để giải quyết: Nếu thì ta cĩ và (dpcm) Nếu ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh thành một hàm theo : Xét Vì nên suy ra Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và các hốn vị *Với kĩ thuật xét trường hợp để giải ,chúng ta cĩ thể dễ dàng giải quyết các bài tốn sau: Bài tốn 1: Xét 3 số thực khơng âm thỏa mãn .Chứng minh rằng: Gợi ý: Nhân vào rồi rút gọn,chuyển BDT về dạng p,q,r,ta cần chứng minh Đến đây chúng ta xét 2 TH và Bài tốn 2: Cho a,b,c là các số thực khơng âm thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng Gợi ý:Đưa BDT về 1 hàm theo : Đến đây chúng ta chia thành 2 TH: TH1: TH2: vo thanh van Jun 3 2008, 08:37 PM Ví dụ 14: Nguyễn Phi Hùng: Cho là các số thực khơng âm thỏa mãn .Chứng minh rằng: Lời giải: Theo giả thiết ta cĩ Mặt khác theo bất đẳng thức Schur bậc 4 ta cĩ: Vì vậy ta cần chứng minh (đpcm) Đẳng thức xảy ra và các hốn vị. Ví dụ 15:Cho và .Chứng minh rằng Lời giải: Đổi biến thành ,ta cĩ bổ đề: Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta cĩ: Ta cĩ: Nên cần chứng minh Sử dụng bổ đề,ta cĩ: vo thanh van Jun 3 2008, 08:38 PM Ví dụ 16:Võ Thành Văn Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn .Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức Schur,ta cĩ: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng theo BDT AM-GM nên ta cĩ đpcm. Ví dụ 17:Nguyễn Mạnh Dũng Cho . Chứng minh rằng: Lời giải: Ta cĩ: Đặt Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Áp dụng BDT Schur,ta cĩ: Ta cần chứng minh: Bất đẳng thức cuối hiển nhiên đúng vì và Ta cĩ đpcm Đẳng thức xảy a khi và chỉ khi và các hốn vị vo thanh van Jun 3 2008, 08:40 PM Ví dụ 18:HSG Tốn QG THPT năm 2006 bảng B Chứng minh rằng với mọi số dương a,b,c thỏa mãn abc=1 thì Lời giải: Đặt ,ta cĩ ,đồng thời đổi biến thành p,q,r,ta cĩ bất đẳng thức: Mà bất đẳng thức trên đúng theo BDT Schur nên ta cĩ đpcm. Ví dụ 19: Phạm Sinh Tân Cho la các số thực khơng âm , tìm số nhỏ nhất để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất và đẳng thức xảy ra khi ba biến lệch nhau , chỉ rõ đằng thức xảy ra Lời giải: Đổi biến BDT theo p,q,r và chuẩn hĩa p=1.Ta cần chứng minh bất đẳng thức: Ta cĩ: Đẳng thức xảy ra khi hoặc và các hốn vị. *Một số bài tập tương tự: Bài tốn 3:Phạm Sinh Tân Với 3 số thực khơng âm a,b,c,chứng minh rằng Bài tốn 4:Phạm Sinh Tân Với a,b,c là các số thực khơng âm và khơng cĩ quá hai số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng: vo thanh van Jun 3 2008, 08:42 PM Ví dụ 20: Dương Đức Lâm Cho a,b,c là các số thực khơng âm.Chứng minh rằng: Lời giải: Ta cĩ: Đặt ,ta cĩ: Lúc đĩ BDT trở thành Đưa bất đẳng thức về dạng ,từ giả thiết,ta cĩ và lúc đĩ,bất đẳng thức trở thành Nếu ,sử dụng BDT Schur,ta cĩ: điều này đúng vì Nếu ,ta cĩ , Vậy BDT được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi hoặc và các hốn vị vo thanh van Jun 3 2008, 08:44 PM Ví dụ 21: Cho a,b,c là các số thực khơng âm thỏa mãn a+b+c=3.Chứng minh rằng: Lời giải: Chuyển đổi BDT về như sau: Ta thấy BDT trên đúng do : Theo BDT AM-GM : và theo BDT Schur thì Vậy BDT đựoc chứng minh. Đẳng thức xảy ra và các hốn vị Ví dụ 22:Darij Grinberg Cho là các số thực khơng âm và khơng cĩ hai số nào đồng thời bằng 0.Chứng minh rằng: Lời giải: Áp dụng BDT Cauchy-Schwarz,ta cần chứng minh: Đổi biến theo p,q,r,khi đĩ bất đẳng thức viết thành: Áp dụng BDT Schur,ta cĩ và BDT quen biết ,ta cĩ đpcm. Ví dụ 23: Muhai Piticari,Dan Popescu Chứng minh rằng với và ,ta có Lời giải: Đởi biến về p,q,r,ta cần chứng minh Mặc khác BDT trên đúng theo BDT Schur nên ta có đpcm. Và một ví dụ điển hình cho phương pháp này là BDT IRAN 96: Ví dụ 24:IRAN 96: Chứng minh rằng nếu thì Lời giải: Sử dụng phương pháp đổi biến p,q,r,ta chuyển bất đẳng thức về dạng như sau: Biến đổi tương đương,rút gọn,ta cần chứng minh Bất đẳng thức cuối đúng nên ta cĩ đpcm. vo thanh van Jun 3 2008, 08:47 PM Qua các ví dụ trên,có lẽ các bạn cũng đã hình dung được ít nhiều về bất đẳng thức Schur và những ứng dụng của nó trong phương pháp đởi biến p,q,r.Để kết thúc bài viết này,mời các bạn cùng giải mợt sớ bài tập sau: Bài tập 1:Cho a,b,c là các sớ thực khơng âm thoả mãn .Chứng minh rằng (Vasile Cirtoaje) Bài tập 2: Darij Grinberg Cho a,b,c là các sớ thực khơng âm.Chứng minh rằng Bài tập 3: Vasile Cirtoaje Cho a,b,c là các sớ thực khơng âm thoả mãn Chứng minh rằng Bài tập 4:Vũ Đình Quý Cho 3 sớ thực dương thỏa mãn abc=1.Chứng minh rằng: Bài tập 5:VMO 2002 Chứng minh rằng với các sớ thực a,b,c thoả mãn ,ta có Bài tập 6: Junior TST 2003,Romania Cho a,b,c là các sớ thực dương thoả mãn .Chứng minh rằng: Bài tập 7: Balkan Contest Cho là các sớ thực dương thoả mãn .Chứng minh rằng: Bài tập 8: Phạm Kim Hùng Chứng minh rằng nếu a,b,c là các sớ thực khơng âm và thì Bài tập 9: Lê trung Kiên,Võ Quốc Bá Cẩn Cho 3 sớ thực khơng âm thỏa mãn .Chứng minh rằng Bài tập 10:Tìm số nhỏ nhất sao cho BDT sau đúng với mọi khơng âm: Bài tập 11: Phạm Kim Hùng Cho a,b,c là các số thực khơng âm.Chứng minh rằng: Bài tập 12:Chứng minh rằng nếu dương thỏa mãn thì Bài tập 13: Cho là các số thực dương và Cmr Bài tập 14: Cho thỏa mãn .Chứng minh rằng Bài tập 15:Vasile Cirtoaje Cho là các số thực dương thỏa mãn .Chứng minh rằng CHÚC CÁC BẠN THÀNH CƠNG !!!