Chuyên đề: Hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I. Các phương pháp giải hệ phương trình. Loại 1: Giải hệ bằng phương pháp cộng và phương pháp thế: Bài 1: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: a) b) c) Bài 3 a) b) c) d) e) f) Bài 4 a) b) c) Loại 2: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất, một phương trình không phải bậc nhất a) b) Loại 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ a) b) c) d) e)g) h) i) k) l) m) n) o) p) q) r) u) v) Loại 4: Hê hai phương trình hai ẩn, trong đó vế phải bằng 0 và vế trái phân tích được thành nhân tử Phương pháp: Giải từng phương trình, thế vào phương trình còn lại a) b) c) d) e) f) g) h) Loại 5: Hệ phương trình có vế trái đẳng cấp với x,y vế phải không chứa x,y Phương pháp: Đặt x =ky a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) Loail 6: Hệ phương trình đối xứng loại 1 Đặt x+y = S, xy = P, giải hệ mới thu được tìm S, P Lúc đó ta có thì x, y là nghiệm của phương trình X2 – SX + P =0 giải phương trình này tìm X1, X2 rồi gán x, y tương ứng với 2 nghiệm này. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) m) n) 0) p) q) r) s) t) y) z) Loại 7: Hệ phương trình đối xứng loại 2 Phương pháp: Trừ từng vế a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k)l) Loại 8: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn Rút và thế a) b) c) d) e) f) Tỉ lệ thức hoặc đặt bằng t g) h) i) j) Cộng từng vế: k) l) m) n) o) p) q) r) II. Phương trình chứa tham số. Dạng 1: Giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số tham số. Phương pháp: - Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất bằng phương pháp thế - Biện luận phương trình thu được để suy ra nghiệm của hệ. Phương trình ax = b (1) + Khi a 0 thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất + Nếu thì phương trình (1) có dạng 0x = b. Phương trình vô nghiệm + Nếu thì phương trình (1) có dạng 0x = 0 .Phương trình có vô số nghiệm. - Kết luận. Ví dụ 1: Cho hệ pt: Giải và biện luận hệ theo m. Ví dụ 2: Cho hệ pt: Giải và biện luận hệ theo n. Dạng 2: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình. Phương pháp: Cho hệ pt: có nghiệm Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào và giải. Ví dụ 1: Cho hệ phương trình Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Ví dụ 2: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3. Ví dụ 3: Cho hệ pt: Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Dạng 3: Tìm giá trị tham số khi biết dấu của nghiệm của hệ phương trình. Phương pháp: - Tìm điều kiện để hệ có nghiệm - Tìm nghiệm tổng quát - Thay nghiệm vào biểu thức điều kiện bài cho Ví dụ 1: Cho hệ pt: Tìm m để x < 0, y < 0 Ví dụ 2: Cho hệ pt: Tìm a để điểm M(x;y) nhận nghiệm của hệ làm tọa độ nằm trong góc phần tư thứ IV trong mặt phẳng tọa độ. Dạng 4: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y. Phương pháp: + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát. + Tìm nghiệm thay vào biểu thức liên hệ còn lại Giải pt chứa ẩn là tham số Trong trường hợp này chú ý nếu có cả biểu thức trong hai trường hợp duy nhất nghiệm và vô số nghiệm thì khi kết luận ta nhân hai biểu thức đó lại với nhau thì ra biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Ví dụ 1: Cho hệ phương trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = - 6 Ví dụ 2: Cho hệ phương trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m Ví dụ 3: Cho hệ pt: Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho điểm M nhận (x;y) làm tọa độ nằm trên đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. Dạng 5: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên. Phương pháp: + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm + Tìm nghiệm tổng quát + Cho biểu thức nghiệm có giá trị nguyên Chú ý: Trong bài toán này có hai câu hỏi, biến nguyên và biến không nguyên thì ta phải tùy bài mà vận dụng. Nếu biến nguyên thì dùng tính chất ước số, nếu biến không nguyên thì có thể dùng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc 2, hoặc đặt bằng số nguyên. Ví dụ 1: Cho hệ pt: Tìm m Z để hệ có nghiệm nguyên Ví dụ 2: Cho hệ pt: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên. Dạng 6: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát. + Tìm nghiệm thay vào biểu thức liên hệ Tìm GTLN,GTNN của biểu thức này. Ví dụ 1: Cho hệ pt: a) CMR hệ pt luôn có nghiệm duy nhất với mọi m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó. Ví dụ 2: Cho hệ pt: Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số. Phương pháp * Nếu trong hệ tham số là bậc 1 thì rút tham số của từng phương trình ra rồi cho bằng nhau thu được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. * Nếu trong hệ tham số là bậc 2 thì ta giải như sau. + Tìm điều kiện để hệ có nghiệm (dạng 1) + Tìm nghiệm tổng quát. + Tìm nghiệm thay vào pt còn lại Giải pt chứa ẩn là tham số Trong trường hợp này chú ý nếu có cả biểu thức trong hai trường hợp duy nhất nghiệm và vô số nghiệm thì khi kết luận ta nhân hai biểu thức đó lại với nhau thì ra biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số. Ví dụ 1: Cho hệ pt: CMR hệ luôn có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m Ví dụ 2: Cho hệ pt: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y độc lập với m. Ví dụ 3: Cho hệ pt:Chứng tỏ rằng trong trường hợp hệ có nghiệm thì điểm M(x;y) {với (x;y) là nghiệm của hệ} chạy trên một đường thẳng cố đinh. Dạng 8: Tìm giá trị của tham số để hệ có nghiệm, vô nghiệm, vô số nghiệm. Nhắc lại: Hệ phương trình (a, b, c, a’, b’, c’ khác 0) + Hệ có vô số nghiệm nếu + Hệ vô nghiệm nếu + Hệ có một nghiệm duy nhất nếu Ngoài ra: Ta có thể dùng phương pháp thế đưa về phương trình bậc nhất để giải theo phương trình. Ví dụ Cho hệ pt: Tìm m để hệ + Có nghiệm duy nhất + Vô nghiệm + Vô số nghiệm. BÀI TẬP VỀ NHÀ: Bài 1: Giải hệ phương trình: Bài 2: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) Bài 3: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3 b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1 Bài 4: Cho hệ phương trình (I) Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = -6 Bài 5: Cho hệ phương trình Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m2 – 1)x – 10my = 4m + 5 Bài 6: Cho hệ pt: a) Giải hệ pt với m = -1 b) Tìm m để x > 0, y > 0 Bài 7: Cho hệ pt: Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0. Bài 8: Cho hệ pt: Giải hệ pt với m = 2 Tìm m Z để hệ có nghiệm nguyên. Bài 9: Cho hệ pt: Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Bài 10: Cho hệ pt: Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN. Tìm giá trị đó Bài 11: Cho hệ pt: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 67: 1)Giải và biện luận hệ phương trình sau theo tham số m 2) Cho hệ phương trình (a là tham số) Giải hệ phương trình khi a = - 1 Tìm a để hệ phương trình có vô số nghiệm Tìm a để hệ phương trình có 1 nghiệm thoả mãn x - y = 2 (4) 3) Cho hệ phương trình (m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m=2 b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. 4) Cho hệ phương trình (a,b là tham số) a)Giải hệ phương trình khi a=b=1 b) Tìm b sao cho với mọi giá trị của a h phương trình luôn có nghiệm. 5) Cho hệ phương trình Giải hệ phương trình khi a= 3 Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 6) Cho hệ phương trình Giải và biện luận hệ đã cho Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thoả mãn: 7)7Cho hệ phương trình (m, n là tham số) Gọi k là 1 số cho trước. Tìm điều kiện của m và n để hệ phương trình có nghiệm thoả mãn x = ky. 8) Cho hệ phương trình ( m là tham số) Giải hệ phương trình khi Giải và biện luận theo m Tìm các số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) với x,y là các số nguyên dương. 9) Tìm m để HPT sau có nghiệm 11) Tìm m để HPT sau có nghiệm duy nhất. (m là tham số) Bài 68: 1) Giải hệ phương trình 2) Cho hệ phương trình (a là hằng số) a) Giải hệ khi a=2003 b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm 3) Tìm x, y thỏa mãn hệ 4)Giải phương trình 6)6Giải phương trình a) HD: đặt b) HD: đặt 7)Giải hệ phương trình 8) Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = -10 b) Chứng minh rằng không tồn tại m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất. 9: Tìm giá trị của m để hệ phương trình ; Có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y nhỏ nhất 10: Giải hệ phương trình a) b) c) 11: Cho hệ phương trình : a) Giải hệ phương trình khi b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm : * (1;-2) * () *Để hệ có vô số nghiệm 12:Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: 13: Với giá trị nào của a thì hệ phương trình : Có một nghiệm duy nhất Vô nghiệm 14 :Giải hệ phương trình sau: 15*: Tìm m sao cho hệ phương trình sau có nghiệm: 16 :GiảI hệ phương trình: 17*: Cho a và b thoả mãn hệ phương trình : .Tính 18:Cho hệ phương trình : Giải hệ phương rình khi a=- Xác định giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn điều kiện x+y>0 Bài 69 Cho hệ phương trình: 1) Giải và biện luận theo tham số m 2) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x,y là các số nguyên. Bài 70 Cho hệ phương trình 1) Giải và biện luận theo tham số m 2) Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x;y) với x,y là các số nguyên dương. Bài 71 Cho hệ phương trình Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 72 Cho hệ phương trình Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm (x;y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn nhất. Bài 73 Cho hệ phương trình: a) Giải khi m = -1 b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1 Bài 74 Giải và biện luận hệ phương trình sau đây theo tham số m: Hệ phương trình: (Thi học sinh giỏi TP HCM 1991 – 1992 ( vòng 1) Bài 75 Cho hệ phương trình: a) Giải hệ khi m = -3 b) Giải và biện luận hệ đã cho theo m Bài 76 Cho hệ phương trình: a) Giải hệ khi m = 2 b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x > 0 và y<0 c) Tìm số nguyên m để có nghiệm duy nhất (x;y) mà x,y là các số nguyên. Bài 77 Cho hệ phương trình Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x>0, y<0 Bài 78 Cho hệ phương trình: a) Giải và biện luận hệ đã cho b) Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức x+y=1- Bài 79 Cho hệ phương trình a) Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì điểm M(x;y) luôn luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi. b) Xác định m để điểm M thuộc góc vuông phần tư thứ nhất c) Xác định m để điểm M thuộc đường tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng Bài 80 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phương trình: Hệ phương trình Có nghiệm duy nhất (x;y) với x;y là các số nguyên. Bài 81 Cho hệ phương trình Giải và biện luận Bài 82 Giải và biện luận các phương trình a) b) c) Bài 83 Cho hệ phương trình hai ẩn x,y: 1) Giải hệ phương trình lúc m = 1 2) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số Bài 84 Cho hệ phương trình (m là tham số): a) Chứng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm b) Giải hệ lúc m khác 1