Chuyên đề Hệ phương trình đại số

Chuyên đề 2 : HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TÓM TẮT GIÁO KHOA I. Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn a. Dạng : ⎨ (1) 1 1 1 2 2 2 a x b y c a x b y c + =⎧ + =⎩ Cách giải đã biết: Phép thế, phép cộng ... b. Giải và biện luận phương trình : Quy trình giải và biện luận Bước 1: Tính các định thức : • 1221 22 11 baba ba ba D −== (gọi là định thức của hệ) • 1221 22 11 bcbc bc bc Dx −== (gọi là định thức của x) • 1221 22 11 caca ca ca Dy −== (gọi là định thức của y) Bước 2: Biện luận • Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất 0≠D ⎪⎪⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ = = D D y D Dx y x • Nếu D = 0 và 0≠xD hoặc 0≠yD thì hệ vô nghiệm • Nếu D = Dx = Dy = 0 thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm Ý nghĩa hình học: Giả sử (d1) là đường thẳng a1x + b1y = c1 (d2) là đường thẳng a2x + b2y = c2 Khi đó: 1. Hệ (I) có nghiệm duy nhất (d1) và (d2) cắt nhau ⇔ 2. Hệ (I) vô nghiệm ⇔ (d1) và (d2) song song với nhau 3. Hệ (I) có vô số nghiệm ⇔ (d1) và (d2) trùng nhau Áp dụng: Ví dụ1: Giải hệ phương trình: ⎩⎨ ⎧ =+ −=− 234 925 yx yx Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =+ +=+ 2 1 myx mymx Ví dụ 3: Cho hệ phương trình : ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 1 32 myx ymx 9 Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa x >1 và y > 0 ( 2 m 0)− < < Ví dụ 4: Với giá trị nguyên nào của tham số m hệ phương trình 4 2mx y m x my m + = +⎧⎨ + =⎩ có nghiệm duy nhất (x;y) với x, y là các số nguyên. (m 1 m 3= − ∨ = − ) II. Hệ phương trình bậc hai hai ẩn: 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn: Ví dụ : Giải hệ: ⎩⎨ ⎧ =−+ =+ 522 52 22 xyyx yx Cách giải: Giải bằng phép thế 2. Hệ phương trình đối xứng : 1. Hệ phương trình đối xứng loại I: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình không thay đổi. b.Cách giải: Bước 1 10 : Đặt x+y=S và xy=P với ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P. 2 4S ≥ P Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn . 2 4S P≥ Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình : ( định lý Viét đảo ). 2 0X SX P− + = Chú ý: Do tính đối xứng, cho nên nếu (x0;y0) là nghiệm của hệ thì (y0;x0) cũng là nghiệm của hệ Áp dụng: Ví du 1ï: Giải các hệ phương trình sau : 1) 2) ⎩⎨ ⎧ =++ =++ 2 422 yxxy yxyx 2 2 7 3 3 16 x y xy x y x y + + = −⎧⎨ + − − =⎩ 3) 4)⎨ ⎩⎨ ⎧ =+ =++ 30 11 22 xyyx yxxy ⎩ ⎧ =+++ =+ 092)(3 1322 xyyx yx 5) 6) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =+ 35 30 33 22 yx xyyx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =+ =+ 20 6 22 xyyx xyyx 7) ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ =−+ =+ 4 4 xyyx yx 8) ⎩⎨ ⎧ =+ =+ 2 3444 yx yx 1) (0;2); (2;0) 2) (2; 3),( 3;2),(1 10;1 10),(1 10;1 10)− − + − − + 3) ( 1;5),(5;1),(2;3),(3;2) 4) 10 10 10 10(3; 2),( 2;3),( 2 ; 2 ),( 2 ; 2 ) 2 2 2 − − − + − − − − − + 2 5) ( 6) (1 2;3);(3;2) ;4),(4;1) 7) (4;4) 8) (1 2;1 2),(1 2;1 2)− + + − Ví dụ2 : Với giá trị nào của m thì hệ phương trình sau có nghiệm: ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ −=+ =+ myyxx yx 31 1 2. Hệ phương trình đối xứng loại II: a.Định nghĩa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình nầy trở thành phương trình kia của hệ. b. Cách giải: • Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số. • Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ . 11 Áp dụng: Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 2 2 2 2 2 3 2 3 x y y y x x ⎧ + = −⎪⎨ + = −⎪⎩ 2 2 x ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =+ =+ yxyy xxyx 32 32 2 2 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 y x x x y y ⎧ y = − +⎪⎨ = − +⎪⎩ 4) 2 2 13 13 x y x y x y ⎧ + =⎪⎪⎨⎪ + =⎪⎩ 5) ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ += += 2 2 2 2 23 23 y xx x yy III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai: a. Dạng : ⎪⎨ 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 a x b xy c y d a x b xy c y d ⎧ + + = + + =⎪⎩ b. Cách giải: hoặc y t x = . Giả sử ta chọn cách đặt x t y = . x t y =Đặt ẩn phụ Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau: Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ? Bước 2: Với y 0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta ≠ khử y để được 1 phương trình chứa t . Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y. Áp dụng: Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) 2 2 2 2 3 2 1 2 5 2 x xy y x xy y ⎧ + + =⎪⎨ + + =⎪⎩ 1 5 5 ⎪⎩ ⎪⎨⎧ =−− =−− 495 5626 22 22 yxyx yxyx 3 2 3 2 2 3 6 7 x x y y xy ⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩ IV. Các hệ phương trình khác: Ta có thể sử dụng các phương pháp sau: a. Đặt ẩn phụ: Ví dụ : Giải các hệ phương trình : 1) 2) ⎨ 3) ⎩⎨ ⎧ =++−+ −=+− 6 3 22 xyyxyx yxxy ⎩ ⎧ =−− =−−+ 36)1()1( 1222 yyxx yxyx 2 2 3 2 2 3 5 6 x y x y x x y xy y ⎧ − + − =⎪⎨ − − + =⎪⎩ b. Sử dụng phép cộng và phép thế: 2 2 2 2 x y 10x 0 x 12 Ví dụ: Giải hệ phương trình : y 4x 2y 20 0 ⎧ + − =⎪⎨ + + − − =⎪⎩ c. Biến đổi về tích số: Ví dụ : Giải các hệ phương trình sau: 1) 2) 3) ⎪⎩ ⎪⎨⎧ +=+ +=+ )(322 22 yxyx yyxx ⎪⎩ ⎪⎨⎧ ++=+ +=+ 2 77 22 33 yxyx yyxx ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧ += −=− 12 11 3xy y y x x --------------------------Hết------------------------