Chuyên đề Hệ thức lượng trong tam giác vuông

CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 1 A. Lý thuyết Cho Dv.ABC đường cao AH = h. BC = a, AC = b, AB = c CH = b', BH = c'. Ta có các hệ thức sau: a) b2 = ab' và c2 = ac' b) h2 = b'c' c) bc = ah d) 2 2 2 1 1 1 h b c = + B. Bài tập Bài 1: Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D vuông góc với DI, đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng: a) DDIL là một tam giác cân b) Tổng 2 2 1 1 DI DK + không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB. HD: a) DADI = DCDL vì:   01 3 2D D ( 90 D )= = - và: CD = AD Suy ra: DI = DL nên DDIL cân tại D b) DDLK vuông tại D có đường cao DC nên ta có: 2 2 1 1 1 DCDL DK + = (Hệ thức lượng trong tam giác vuông). Mà DI = DL. Do đó: 2 2 1 1 1 Const DCDI DK + = = Bài 2: Cho Dv.ABC có  0A 90= , BC = 10cm. Đường cao AH = 4cm. Gọi I, K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống AB, AC. Tính diện tích tứ giác AIHK. HD: Ta có: AH2 = BH.CH Û 16 = BH(10 − BH) Þ BH = 2, CH = 8 2 2 2 2AB BH AH 2 4 2 5= + = + = 2 2 2AC BC AB 10 20 4 5= - = - = Từ AB.HI = AH.BH Þ AH.BH 4.2 4 5HI AB 52 5 = = = Từ AC.HK = AC.AH Þ AH.CH 4.8 8 5HK AC 54 5 = = = . Vậy: 2AIHKS HI.HK 6, 4(cm )= = Bài 3: Cho DABC có  0A 90= đường cao AH. Gọi D, E theo thứ tự là hình chiếu của H trên AB và AC. Chứng minh rằng: a) 2 2 AB HB HCAC = b) DE3 = BD.CE.BC c) 3 3 AB DB ECAC = HD: a) AB2 = BH.BC, AC2 = CH.BC Þ đpcm b) AH2 = HB.HC Þ AH4 = HB2.HC2 (1) Mặt khác: HB2 = BD.AB, HC = EC.AC thay vào (1): AH4 = BD.EC.AB.AC mà AB.AC = BC.AH Þ đpcm c) Theo câu a): 2 4 2 2 4 2 AB HB AB HB HCAC AC HC = Þ = . Thay HB2 = BD.AB và HC2 = EC.AC Þ đpcm. Bài 4: Cho DABC cân tại A, đường cao AH và BK. Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 BK BC 4AH = + HD: Kẻ Bx // AH. Gọi M ≡ AC ∩ Bx Þ BM = 2AH. Nên: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 BK BC BM BC 4AH = + = + h c' b' c b a H C A B 3 2 1 L K CD A B I K I H C A B E D H C A B M HB C A CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 2 Bài 5: Cho M là một điểm bất kì thuộc miền trong của hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 HD: Vẽ ME ^ AB, MF ^ CD. Dễ thấy: EA = FD, EB = FC (1) Ta có: MA2 = ME2 + EA2, MB2 = EM2 + EB2, MC2 = FM2 + FC2, MD2 = FM2 + FD2 (2) Từ (1) và (2) Þ đpcm Bài 6: Cho tứ giác ABCD có   0D C 90+ = . Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 HD: Gọi E ≡ AD ∩ BC Þ  0E 90= . Ta có: AB2 = AE2 + BE2 CD2 = DE2 + CE2 AC2 = AE2 + CE2 BD2 = DE2 + BE2 Từ các đẳng thức trên, ta suy ra điều phải chứng minh. Bài 7: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao bằng 4cm, đường chéo BD = 5cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD. HD: Kẻ BE // AC, tính được AC = BE Þ SABCD = 1 50AC.BD 2 3 = (cm2) Bài 8: Cho DABC cân đỉnh A có A nhọn, đường cao BH Chứng minh rằng: 2AH AB2 1 HC BC æ ö= -ç ÷ è ø HD: Gọi D là điểm đối xứng của C qua A Þ DBDC vuông tại B Trong Dv.BDC có BH là đường cao. Áp dụng các hệ thức lượng Trong tam giác vuông ta suy ra điều phải chứng minh. Bài 9: Cho DABC, các góc đều nhọn. Trên đường cao AD lấy điểm P sao cho  0BPC 90= , trên đường cao BE lấy điểm Q sao cho  0AQC 90= . Chứng minh rằng: a) CA.CE = CD.CB b) CP = CQ HD: a) DCAD DCBE (g.g) Þ CA CD CB CE = Þ CA.CE = CD.CB (1) b) Dv.AQC đường cao QE có: CQ2 = CA.CE (2) Dv.BPC đường cao PD có: CP2 = CD.CB (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: CP2 = CQ2 Þ CP = CQ. Bài 10: Cho DABC vuông tại A. Từ trung điểm I của cạnh AC kẻ đường thẳng vuông góc với cạnh huyền BC tại D. Chứng minh rằng: 2 2 2BD CD AB- = HD: Kẻ đường cao AH. Ta có: AB2 = BH.BC Do đó: BD2 − CD2 = (BD + CD)(BD − CD) = BC.BH = AB2. Bài 11: Cho DABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho AD HE 1 AC HA 3 = = . Chứng minh rằng:  0BED 90= . HD: Vẽ DF ^ AH Þ AF = HE, HA = FE. Áp dụng ĐL Pitago vào các tam giác vuông HEB, FDE, HAB, FAD, ABD suy ra: BE2 + ED2 = BD2 Þ DBED vuông tại E Þ  0BED 90= F EA D B C M C E D A B H EC A B D H A D B C Q P E D A B C D I H C A B E F D H C A B CHUYÊN ĐỀ: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG ĐỖ TRUNG THÀNH – GIÁO VIÊN THCS Trang 3 Bài 12: Cho DABC, D là điểm thuộc cạnh BC. Chứng minh rằng: AB2.CD + AC2.DB − AD2.BC = CD.DB.BC HD: Vẽ AH ^ BC, áp dụng ĐL Pitago Þ đpcm. Chú ý: Xét các trường hợp D ≡ H, D ≡ B, D ≡ C và D Î HC, D Î HB. ************************************************************