Chuyên đề Hình học

Chuyên đề hình học Bài 1 . Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến Ax và By . Qua một đỉm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt các tiếp tuyến trên tại C và D . Các đường thẳng AD và BC cắt nhau ở N . Chứng minh rằng : a) MN // AC b) CD.MN = CM.DB Bài 2 : Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi S là trung điểm OA , vẽ đường tròn tâm S và đi qua A. a) Chứng minh các đường tròn (O) và (S) tiếp xúc nhau tại A b) Một đường thẳng đi qua A gặp đường tròn (S) tại M và đường tròn (O) tại P . Chứng minh SM//OP c) Chứng minh M là trung điểm AP và OM//BP. Bài 3 : Cho hình thang vuông ABCD với cạnh bên BC xiên . Vẽ nửa đường tròn đường kính BC ở trên cùng nửa mặt phẳng có bờ BC đối với hình thang ABCD . Nửa đường tròn này cắt DA ở M và N . Chứng minh : a) AB.DC = DN.NA b) AB.DC = AM.MD Bài 4 : Cho một đường tròn (O) đường kính CD = 2R . Từ C và D kẻ 2 tiếp tuyến Cx và Dy . Từ một điểm E trrên đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt Cx và Dy tại A , B . a) Chứng minh góc AOB vuông và AE.EB = R2 b) Chứng minh AB = AC + BD c) Dựng điểm E trên đường tròn sao cho tổng khoảng cách AC và BD ngắn nhất. Bài 5 : Cho tam giác ABC , các đường phân giác của các góc trong B và C cắt nhau tại S , các đường phân giác ngoài của các góc B và C cắt nhau tại E . Chứng minh rằng : a) BSCE là tứ giác nội tiếp b) A, S , E thẳng hàng Bài 6 : Cho đường tròn (O) đường kính AB . Từ A và B kẻ 2 tiếp tuyến với đường tròn . Gọi M là một điểm trên đường tròn . Các đường thẳng AM và BM cắt các tiếp tuyến trên tại B’ và A’. a) Chứng minh AA’ . BB’ = AB2 b) Qua M kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O) cắt AA’ và BB’ tại C và D . Chứng minh CD = 1/2 (AA’+BB’) Bài 7 : Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H . Các đường cao kéo dài cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại D và E . Chứng minh : a) CD = CE b) H và E đối xứng nhau qua AC ; H và D đối xứng nhau qua BC Bài 8 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác góc A gặp đường tròn tại M . Vẽ đường cao AH và bán kính OA. Chứng minh rằng : a) Đường thẳng OM đi qua trung điểm dây BC b) AM là tia phân giác của góc OAH Bài 9 : Cho tam giác ABC vuông tại A . Trên AC lấy điểm M , dựng đường tròn đường kính MC . Nối BM và kéo dài gặp đường tròn tại D . Đường thẳng DA gặp đường tròn tại S . Chứng minh rằng : a) ABCD là một tứ giác nội tiếp. b) CA là tia phân giác của góc SCB. Bài 10 : Hai đường tròn (O) và (O’) có bán kính R và R’ (R>R’) tiếp xúc ngoài nhau tại C . Gọi AC và BC là 2 đường kính đi qua C của đường tròn (O) và đường tròn (O’) . DE là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với AB tại trung điểm M của AB . Gọi giao điểm thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O’) là F . a) Tứ giác AEBD là hình gì ? b) Chứng minh 3 điểm B,F,E thẳng hàng. c) Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp. d) DB cắt (O’) tại G . Chứng minh DF,EG , AB đồng qui. e) Chứng minh MF = 1/2DE và MF là tiếp tuyến (O’). Bài 11 : Cho H là trực tâm của tam giác ABC . a) Gọi H’ là điểm đối xứng của H qua AC . Chứng minh rằng H’ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. b) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác AHB , BHC , CHA có bán kính bằng nhau . Bài 12 : Cho đường tròn (O) đường kính AC . Trên đoạn OC lấy điểm B và vẽ đường tròn (O’) đường kính BC . Gọi M là trung điểm AB . Từ M kẻ dây cung DE vuông góc AB . DC cắt đường tròn (O’) tại I . a) Tứ giác ADBE là hình gì ? tại sao ? b) Chứng minh BI // AD. c) Chứng minh 3 điểm I , B , E thẳng hàng và MD = MI. d) Xác định và giải thích vị trí tương đối của đường thẳng MI với đường tròn (O’). Bài 13 : Từ một điểm A ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến AB , AC và cát tuyến AMN của đường tròn đó . Gọi I là trung điểm của dây MN . a) Chứng minh 5 điểm A,B, I , O ,C cùng nằm trên một đường tròn . b) Nếu AB = OB thì ABOC là hình gì ? Tại sao ? Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R của (O).