Chuyên đề Hướng dẫn và bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán

CHUYÊN ĐỀ HƯỚNG DẪN VÀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN I. ĐẶC VẤN ĐỀ. Giáo dục THCS nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả của tiểu học, có trình độ học vấn phổ thông cơ sở và những hiểu biết ban đầu về kỷ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động. Học hết chương trình THCS, HS phải đạt được các yêu cầu giáo dục sau. Yêu nước, hiểu biết và có niềm tin vào lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội. Có kiến thức kỷ năng cơ bản, tinh giản, thiết thực, cập nhật làm nền tảng để từ đó có thể chiếm lĩnh những nội dung khác của khoa học xã hội và nhân văn, khoa học tự nhiên và công nghệ. Có kỷ năng bước đầu vận dụng những kiến thức đã học và kinh nghiệm thu được của bản thân. Hình thành và phát triển các năng lực chủ yếu hành động có hiệu quả, năng lực thích ứng với những thay đổi trong thực tiễn, năng lực giao tiếp, ứng sử, có văn hoá, năng lực tự khẳng định. Quá trình dạy học môn toán phải nhằm mục đích đào tạo con người mà xã hội cần. Vì vậy, môn toán phải góp phần cùng môn học khác thực hiện mục tiêu chung của giáo dục THCS thể hiện ở các mặt. Làm cho HS nắm vững toán phổ thông, cơ bản, thiết thực…. Có kỹ năng thực hành toán. Hình thành cho HS những phẩm chất đạo đức và năng lực cần thiết. Dạy toán không chỉ nhằm cung cấp cho HS một số kiến thức toán mà dạy cho HS phải biết tính toán. Ngoài kiến thức còn có phương pháp, kĩ năng, phát triển các năng lực trí tuệ và hình thành ở HS các phẩm chất đạo đức. Chuyên đề “Hướng dẫn bồi dưỡng học sinh giỏi toán “ Nhằm giúp cho HS nắm tổng quát các kiến thức, các mạch kiến thức trong chương trình, các dạng bài tập, các cách trình bày một bài toán sao cho khi người học tiếp cận nó xong thì có thể vận dụng một cách hiệu quả trong thực tế. II. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1. Trong sự phát triển của nhân loại, toán học được hình thành sớm nhất, sớm hơn rất nhiều các môn học khác, nó rất gần gũi với con người và sẽ vĩnh viển gắn bo ù với con người. Xét trong phạm vi hẹp cấp THCS thì toán học được thể hiện ở các phần: Số học, Đại số, Hình học. Trước tiên tôi xin tóm tắc cách mạch kiến thức chủ yếu trong chương trình toán THCS trước khi các em đi sâu tìm hiểu môn học này: * Về số học và đại số: a. Các tập hợp số. Mở rộng dần các tập hợp số (từ số tự nhiên đến số thực) xuất phát từ nhu cầu của thực tiễn đo đạc và nhu cầu phát triển toán. Sớm hoàn thiện khái niệm số ở lớp 6 và lớp 7. b. Các phép biến đổi đại số. Giới thiệu các khái niệm biến, hằng, hệ số, bặc của đơn , đa thức, nghiệm của đa thức, các qui tắc cộng, trừ, nhân, chia đơn thức, đa thức, các hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử,, khái niệm phân thức, phân thức bằng nhau các qui tắc cộng ,trừ, nhân chia đa thức. c. Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình. Giới thiệu khái niệm phương trình, hệ phương trình, bất phương trình và cách giải. Các khái niệm này được hình thành thông qua các ví dụ cụ thể, chú trọng cung cấp các kiến thức để tăng cường thực hành tính toán và giải toán. d. Tương quan hàm và các hàm số. Hình thành khái niệm tương quan hàm thông qua quan hệ tỉ lệ, quan hệ bậc nhất. Các hàm số y = ax và y = ax 2 được khảo sát bằng phương pháp sơ cấp. Qua đồ thị mà rút ra được tính chất này. Hàm số y = ax + b được giới thiệu cùng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Hàm số y = ax 2 được giới thiệu cùng với phương trình bậc hai. e. Mạch ứng dụng của số học và đại số. Sớm giới thiệu một số kiến thức mở đầu về thống kê ở lớp 7, giúp HS hiểu rõ ý nghĩa của việc thống kê, chú trọng rèn luyện cho HS kĩ năng tính toán, tính nhẩm, ước lượng, kĩ năng toán học hoá tình huống thực tiễn. Về hình học. Một số khái niệm mở đầu của hình học phẳng. b. Góc giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Hai đường thẳng song song. Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song. c. Các kiến thức về tam giác, tứ giác, đường tròn. Khái niệm tam giác , hai tam giác bằng nhau. Các trường hợp bằng nhau của tam giác. Quan hệ cạnh và góc của tam giác. Tính chất của các đường đồng quy của tam giác: Trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao. Tam giác đồng dạng các trường hợp đồng dạng của tam giác. Khái niệm tỉ số lượng giác của góc nhọn. Định lý Pitago, các hệ thức cơ bản trong tam giác vuông. Đa giác. Định nghĩa tính chất hình thang, hình thang cân, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành, hình vuông. Tính chất đối xứng của các hình, các công thức tính diện tích. Tính chất của đường tròn vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn, của hai đường tròn, Tiếp tuyến , các tuyến. Tứ giác, đa giác nội tiếp. d. Vật thể trong không gian Nhận biết một số vật thể trong không gian thông qua các hình vẽ qua đó dần hình thành một số khái niệm cơ bản của hình học không gian. e. Mạch ứng dụng của hình học. Biết sử dụng các dụng cụ đo, có kỷ năng vẽ hình, kĩ năng sử dụng các kiến thức hình học để giải các bài toán có nội dung thực tế và thực hành đo đạc. 2. Tìm hiểu các dạng bài toán, cách phân tích để tìm hiểu một bài toán. Theo tôi để để thực hiện tốt các yêu cầu nêu trên thì người giáo viên phải có phương pháp phù hợp thông thường tôi đi theo phương pháp “Đặc và giải quyết vấn đề” và được thực hiện như sau: 2.1 a. Đặc vấn đề, xây dựng bài toán nhận thức: Tạo tình huống có vấn đề ( Ví dụ: SGK toán 8 tập 2- So sánh phương trình chứa ẩn ở mẫu và phương trình không chứa ẩn ở mẫu khi giải có gì khác nhau không?). Phát hiện nhận dạng vấn đề nảy sinh (Chỉ ra một phương trình chứa ẩn ở mẫu, sau một phép biến đổi, tìm được một giá trị không phải là nghiệm của phương trình đó, chính giá trị này làm cho mẫu thức bằng o) Phát biểu vấn đề cần giải quyết ( Như vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức ta có thể tìm được những giá trị không phải là nghiệm của phương trình đó, làm thế nào để tìm để tìm được những giá trị đúng là nghiệm của phương trình đã cho?) b. Giải quyết vấn đề. -Đề xuất cách giải quyết ( loại những giá trị làm cho mẫu thức bằng o). -Lập kế hoạch giải quyết ( theo 4 bước SGK) -Thực hiện kế hoạch giải quyết( Theo 4 bước SGK toán 8 tập 2) c. Kết luận. -Thảo luận kết quả và đánh giá (gặp phương trình chứa ẩn ở mẫu trước khi giải phải đặc điều kiện của ẩn sao cho mẫu thức khác 0) -Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu ra (giả truyết đã nêu ở trên là đuáng). -Phát biểu kết luận (Phải theo 4 bước như SGK). -Đề xuất vấn đề mới (Có nhất thiết giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức khi nào cũng phải qua 4 bước không?) Phương pháp này nó hình thành được khả năng tư duy cao ở mỗi HS và từ đây các em có thể vận dụng tinh hoạt trong những bài toán phức tạp. Trong phương pháp này có 4 mức độ như sau: -Mức độ 1: GV đặt vấn đề, nếu cách giải quyết vấn đề. HS thực hiện cách giải quyết vấn đề theo hướng dẫn của GV. GV đánh giá kết quả làm việc của HS. -Mức độ 2: GV nêu vấn đề, gợi ý để HS tìm cách giải quyết vấn đề. HS thực hiện cách giải quyết vấn đề với sự giúp đở của GV khi cần. Gv cùng HS đánh giá. -Mức độ 3: GV cung cấp thông tin tạo tình huống có vấn đề HS phát hiện và xác định vấn đề nảy sinh, tự lực đề xuất các giả thuyết và lựa chọn các phương pháp, HS thực hiện cách giải quyết vấn đề. GV cùng HS đánh giá. -Mức độ 4: HS tự lực phát hiện vấn đề, lựa chọn vấn đề phải giải quyết. HS giải quyết vấn đề, tự đánh giá chất lượng, hiệu quả, có ý kiến bổ sung của GV khi kết thúc. Như vậy thông qua mỗi tiết học GV có thể lựa chọn mức độ 3 hay mức độ 4 để tập cho HS khả năng tư duy phân tích tốt hơn khi va chạm vào bài toán thực tế. Rèn luyện tính độc lập, sáng tạo là yêu cầu cần thiết để phát huy phẩm chất của người lao động. Vì thế trong dạy học GV cần tập cho HS suy luận và sáng tạo, phải biết phát hiện những bài toán mới, những đề xuất mới, những vấn đề mới, xuất phát từ bài toán đã biết. Ví dụ: Xét bài toán sau: Cho một góc vuông xOy. Trên tia ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a, trên Oy lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Tính khoảng cách từ D tới Ox? Tìm tập hợp (quỹ tích) các điểm D khi B di động. Giải: ( hình 1) y C D’ C’ B D O A H x d DH vuông góc với Ox. Góc D1 = góc A1 (cùng phụ với góc A2) DA = AB ( cạnh hình vuông) => Tam giác DHA = Tam giác AOB ( cạnh huyền góc nhọn) => DH = AO = a. b. D cách Ox một khoảng bằng a không đổi nên D thuộc đường thẳng d // Ox, cách Ox một khoảng bằng a. Giới hạn: Khi B trùng với O thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’ => D trùng với D’ => Tập hợp D là tia đối của tia D’C’. Khi D trùng với D’ thì hình vuông ABCD trở thành hình vuông AOC’D’. Hình vuông này có diện tích nhỏ nhất và bằng a2. Do đó có thể thay bài toán cực trị. Bài toán 1: Cho góc vuông xOy Trên tia Ox lấy điểm A cố định sao cho OA = a, Trên tia Oy lấy điểm B di động. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Xác định vị trí của đỉnh D để hình vuông ABCD có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó theo a. *Nếu từ C và D kẻ các đường thẳng song song với Ox và Oy thì tạo thành cũng là hình vuông ngoại tiếp hình vuông ABCD. Ta có bài toán khác. Bài toán 2: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox lấy điểm A, Trên tia Oy lấy điểm B ( tuỳ ý khác O). Vẽ hình vuông ABCD. Qua C và D dựng các đường thẳng lần lượt song song với Ox và Oy, chúng cắt nhau tại P và lần lược cắt Oy tại Q, Ox tại H. Chứng minh tứ giác OHPQ là hình vuông. Chứng minh tâm đối xứng của hai hình vuông ABCD và OHPQ trùng nhau. y C P Q D B O x A (Hình 2) Ta thấy ngay bài toán 2 là trường hợp riêng của bài toán 8 trong SGK hình học 8. HS giải được bài 8 tức là bài 2 đã được giải quyết. Nội dung của bài toán 8 “Cho hai hình bình hành, mỗi cạnh của hình thứ nhất chứa một đỉnh của cạnh thứ hai. Chứng minh rằng hai hình bình hành đó có cùng một tâm đối xứng? *Và cũng từ bài toán 1 , thêm giả thuyết H là chân đương vuông góc hạ từ D xuống Ox. Có thể cho phát hiện sự liên hệ giữa chu vi tam giác OAB và độ dài cạnh hình vuông ABCD. Và từ đó ta tại có bài toán 3: Cho góc vuông xOy trên tia Ox lấy điểm A cố định, điểm B di động trên tia Oy. Vẽ trong góc xOy hình vuông ABCD. Gọi H là hình chiếu của D trên Ox. Chứng minh rằng chu vi tam giác OAB< 2m, với m là độ dài đoạn thẳng OH. Giải. Tam giác DHA = Tam giác AOB => OB= AH. => OA + OB = OH = m. Trong tam giác OAB: AB < OA + OB = m, chu vi tam giác OAB: OA + OB + AB < m + m = 2m *Điều gì sảy ra khi chu vi tam giác OAB = 2m ? Ta lại có bài toán mới. Bài toán 4: Cho hình vuông OHPQ có cạnh bằng m. A, B lần lược là các điểm trên các cạnh OH, OQ sao cho chu vi tam giác OAB = 2m. Chứng minh góc APB = 45o khi A, B di động. E Giải. Q P B I H O A (Hình 3) Kẽ PE vuông góc PA , với E nằm trên tia OQ. Ta có: góc P1 = góc P2 (Cùng phụ với góc APQ), PQ = PH. Góc Q = Góc H = 90o => Tam giác PQE = Tam giác PHA ( g-c-g) => QE = AH ; PE = PH. Chu vi tam giác OAB: OA + OB + AB = 2m = OH + OQ => OA + OB + AB = (OA + AH) + (OB + BQ). => AB = AH + BQ = QE + BQ = BE. Tam giác BPA = Tam giác BPE ( c-c-c) => Góc BPA = Góc BPE. => Góc BPA = ½ góc APE => APB = ½ 90o = 45 o. *Nếu góc APB = 45o quay xung quanh P. nhưng luôn cắt hai cạnh OH và OQ của hình vuông thì chu vi tam giác OAB có luôn luôn bằng 2m không? Ta có bài toán ngược. Bài toán 5: Cho hình vuông OHPQ. A, B là các điểm di động lần lược trên các cạnh OH, OQ sao cho góc APB = 45 o. Chứng minh chu vi tam giác OAB không đổi? Như vậy nếu biến đổi tiếp ta có thể có rất nhiều bài toán khác và những bài toán này giúp cho HS khả năng suy luận và tư duy cao. Hình thành kỉ năng giải toán và từ đây GV cho HS giải các bài tập tương tự khác. Tương tự như trên để hướng dẫn và phát huy sáng tạo của mỗi HS. Tôi lại đi xét khía cạnh khác của một bài toán tức là giải bài toán theo nhiều hướng khác nhau: Ví dụ bài toán sau: Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng nếu góc BAD = góc CAE thì tam giác ABC cân. Bài toán này khi giải GV cần nên hướng dẫn HS nhiều cách giải cách khác nhau thông qua vẽ các đường phụ. Ở đây tôi xin nêu các cách hướng dẫn sau: Cách 1: Từ D vẽ DF // AC, Từ E kẽ EG // AB ta chứng minh được: => tam giác ADC đồng dạng tam giác AEB (c-g-c) => Góc ABC = Góc ACB. A G F C B D E Cách 2: Từ D vẽ DF vuông góc vuông góc với AB, từ E kẽ EG vuông góc với AC. A G F D E C B Cách 3: Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF. Chứng minh được ADCF là hình bình hành => Góc EFC = BAD = EAC. Ta có hai tam giác đồng dạng AEG và FCG Thực hiện tương tự ta có tam giác GEC cân tại G. Suy ra: Góc ABC = ACB. A G F B D E C Tới đây HS có thể phát hiện và giải nhiều cách khác nhau, GV cũng nên định hướng để các em phát huy tối đa khả năng sáng tạo của mình. Trong quá trình dạy học. Nếu mỗi Gv chúng ta có thói quen hướng dẫn HS xem xét bài toán đảo thì cũng sẽ phát hiện nhiều bài toán mới khá thú vị, thậm chí rất hay. Ta hãy xét ví dụ sau đây: Bài toán thuận: Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M,N lần lược là trung điểm của các cạnh bên AD, BC. Nối MN (đường trung bình) cắt hai đương chéo BD và AC tại P và Q tương ứng. Ta có các kết quả sau đây: MN // với hai đáy AB, CD và MN = ½ (AB + CD) P, Q lần lược là các trung điểm của hai đường chéo BD, AC và PQ = ½ / AB – CD / . MP = NQ. Từ đó ta có các bài toán thuận sau: Bài toán đảo 1: Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi M. N Là trung điểm của các cạnh AD, BC tương ứng. Chứng minh rằng nếu: MN = ½ (AB + CD ) thì ABCD là hình thang. Giải: Gọi K là trung điểm của đường chéo BD, ta có. MK // AB và MK = ½ AN. NK // CD và NK = ½ CD. MK + NK = ½ (AB + CD) = MN (gt) M, K, N thẳng hàng => AB // MN và CD // MN => AB // CD (Đpcm). K M D N C A A Bài toán đảo 2: Cho tứ giác lồi ABCD (AB < CD). Gọi P, Q là trung điểm của các đương chéo BD và AC tương ứng. Chứng minh rằng nếu PQ = ½ ( CD – AB ) thì ABCD là hình thang. Bài toán đảo 3: Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi M, N là trung điểm của các cạnh AD, BC. Giả sử MN lần lược cắt các đường chéo BD và AC tại P và Q. Chứng minh rằng nếu MP = NQ thì ABCD là hình thang. Bài toán đảo 4: Cho tứ giác lồi ABCD . Gọi P, Q lần lược là trung điểm của hai đường chéo BD và AC. Giả sử đường thẳng PQ cắt các cạnh AD và BC tại Mvà N tương ứng. Cho biết MP = NQ. Hỏi tứ giác ABCD có phải là hình thang không? Để khai thác tính sáng tạo , suy luận và tập cho HS nhìn nhận bài toán, phát triển bài toán. Một yếu tố mà chúng ta không thể thiếu là phải xây dựng cho HS những bài tập ngay từ bài tập ở SGK. Ví dụ như trong SGK toán 7 tập 1 trang 23 có bài toán: Biết rằng: 12 + 22 + 32 + …..+ 102 = 385. Tính tổng S = 22 + 42 + ….+ 202. Và được giải như sau: S = (2.1) 2 + (2.2) 2 + ….+ = = 22 (12 + 22 + 23 + …..+ 102 ) = 4. 385 = 1540 Như vậy , nếu đặt P = 12 + 22 + 23 + …..+ 102 Thì S = 4P. Do đó nếu cho S ta sẽ tính được P. Ta có bài toán. Bài toán 1: Biết rằng S = 22 + 42 + 62 + ….+ 202= 1540. Tính P = 12 + 22 + 23 +…. + 102. Tiếp tục tìm các biểu thức liên quan tới P, ta thấy: hay = 0,52 + 12 + 1,52 +….+ 52 Từ đó ta có: Bài toán 2: Biết rằng: 12 + 22 + 23 +……..+ 102 = 385. Tính 0,52 + 12 + 1,52 + …+ 52. Tương tự sẽ có: Bài toán 3: Biết rằng: 12 + 22 + 32 + ….+ 102 = 385 Tính: 0,252 + 0,52 + ……….+ 2,52. Chúng ta có thể tăng số mũ của các luỹ thừa để có các bài toán. Bài toán 4: Biết rằng: 13 + 23 + 33 +….+ 103 = 3025. Tính 23 + 43 + 63 + …+ 203. Bài toán 5: Biết rằng: 14 + 24 + 34 +….+ 104 = 25333 Tính 24 + 44 + 64 + …. +204. PHẦN III. KẾT LUẬN Tóm lại với những đối tượng H\S khá giỏi với vốn kiến thức tương đối sâu rộng. Vấn đề đặt ra là người dạy phải làm cho các em khơi dậy các tố chất đó bằng những bài tập gây sự hứng thú, kích thích sự sáng tạo, tạo niềm đam mê cho các em. Từ lúc bắt đầu nắm vững, hiểu rõ về lý thuyết ( định nghĩa, định lý, tiên đề….) đến những việc cần chuẩn bị trước khi giải một bài toán, rồi bắt đầu giải một bài toán là hết sức quan trọng. Khi giải một bài toán giáo viên cần phải xét đến các khía cạnh có thể xảy ra (cách biến đổi- trình bày-tìm hiểu- phát triển bài toán) của nó, khi giáo viên làm tốt việc này sẽ giúp cho học sinh không những nắm vững về lý thuyết để vận dụng mà còn tránh được các sai lầm ngộ nhận trong quá trình vận dụng vào giải toán. Tôi thiết nghĩ, khi dạy toán giáo viên cần nên từng bước tập dượt cho học sinh các vấn đề trên, về lâu về dài sẽ giúp các em sẽ có được nhiều kỷ năng trong giải toán đặt biệt là kỷ năng tự nghiên cứu. Bản thân tôi cũng đã áp dụng nhiều trong việc bồi dưỡng HS giỏi ở trường và kết quả tương đối khả quan: Có HS đạt HS giỏi cấp huyện, đạt học bổng và có HS thi đỗ trường chuyên Lê Quí Đôn. Trong quá trình xây dựng chuyên đề này không tránh khỏi còn thiếu sót, rất mong bộ phận chuyên môn của ngành, quí thầy cô giáo đồng nghiệp của trường đóng góp tạo điều kiện giúp đỡ để chuyên đề “HƯỚNG DẪN VÀ BỒI DƯỠNG HS GIỎI MÔN TOÁN” được hoàn thiện hơn. Tăng Bạt Hổ, ngày 28 tháng 11 năm 2006 Người viết NGUYỄN VĂN NAM