Chuyên đề I: Cơ sở suy diễn Toán học

k.. Mệnh đề và tập hợp -cơ sở của suy luận logíc I.Tập hợp: a) Khái niệm: Tập hợp là khái niệm cơ bản của Toán học! b) Phương pháp xác định tập hợp +) Phương pháp liệt kê:, A +)Chỉ ra phần tử đặc trưng cho tập hợp: c)Biểu diễn tập hợp +)Dùng biểu đồ Venz +)Với tập số ta có thể biểu diễn trên trục số. d)Phép toán: Cho hai tập hợp . Khi ấy: i/Tập con kí hiệu: +)Điều kiện tương đương : Nhận xét: Tập là con của mọi tập hợp -Ví dụ: +)Hai tập hợp bằng nhau: ii/Giao của hai tập hợp kí hiệu: +)Điều kiện tương đương: iii/Hợp của hai tập hợpkí hiệu: +)Điều kiện tương đương: iv/Hiệu của hai tập hợp kí hiệu: +)Điều kiện tương đương: Đặc biệt khi thì được gọi là phần bù của trong -Ví dụ: 1) Cho ,, 2.Tìm tập xác định của: a) b) c), d) e) 3.Tìm tập nghiệm của: a) b) c) II.Toán mệnh đề 1.Một mệnh đề là phát biểu một khẳng định nào đó , chỉ nhận một giá trị trân lý xác định Hoặc đúng, hoặc sai. “Luật bài trung” 2.Một mệnh đề không thể nhận đồng thời hai giá trị vừa đúng và vừa sai “ Luật phi mâu thuẫn” 3.Mệnh đề phủ định: là mệnh đề đúng thì là phủ định của mệnh đềlà sai, và ngược lại! Mệnh đềđúng, nếuphần tử đều đúng, sai nếu một phần tử sai, hoặc đúng. 1 0 0 1 -Ví dụ:1)Cho mệnh đề A: để “S” Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của A? 2) Cho B: sao cho “Đ” Tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề của B? 1)có tập nghiệm “S” 2) có nghiệm “Đ” 4.Phép toán cơ bản về mệnh đề 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 Cho, là hai mệnh đề. Khi ấy ta có: i/ Phép kéo theo: đglà mệnh đề “kéo theo” -Ví dụ: 1)Nếu HCNcólà hình vuông 2) Trong không gian “Đ” ii/Phép tương đương: làtương đương với -Ví dụ: 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1. nhọn “Đ” 2. nhọn “S” 2.vuông tại “Đ” 3.Với ta luôn có: “S” 3. “S” -Ký hiệu phổ biến: và ký hiệu tồn tại +): Mọi thuộc ta có tính chất +):Tồn tại thuộc ta có tính chất -Ví dụ: 1.Phủ định của mệnh đề “mọi học sinh của lớp X” đều gỏi toán” là mệnh đề” Có ít nhất một học sinh của lớp X không gỏi toán” III.Quy ắc suy diễn cơ bản -Ta đã biết: Định lý toán học là những mệnh đề đúng có dạng. Trong đó là giả thiết, còn là kết luận, Chính bản thânvàcũng là các mệnh đề đúng. -Đkiện cần-Đkiện đủ +)Trong định lý , thì điều kiện cần để có, còn đkiện đủ để có . -Ví dụ:Xác định để pt có nghiệm duy nhất? Bài gải: -Đkiện cần: Nhận thấy vớita có là hàm chẵn Do đó nếu ptcó nghiệm thìcũng là nghiệm. Nên ptcó nghiệm duy nhất thay vào pt -Đkiện đủ: Với thì pt trở thành: (ko tm) Vậy không có giá trị nào để pt có nghiệm duy nhất. +) Nếu là một định lý, thì là định lý đảo. Khi ấy gọi là định lý thuận. +)Nếu tồn tại đồng thời vàđúng. Thì ta có Ta nói: là điều kiện cần và đủ để có và ngược lại là điều kiện cần và đủ để có. -Ví dụ: đều khi và chỉ khi . 1.Chứng minh trực tiếp Giải sử ta cần chứng minh mệnh đề đúng. b1/ Từ giả thiết là đúng b2/ Dùng suy diễn logic suy ra đúng. b3/ Kết luận đúng. -Ngoài cách chứng minh trực tiếp như trên ta có thể chứng minh một cách gián tiếp bằng: 2.Phương pháp phản chứng b1/ Giải sử: sai b2/ dùng suy diễn logic =>..=> sai (Trái gt !) b3/ Kết luận đúng.(đpcm !) -Ví dụ: Với . Cmr nếu thì Bài giải G/sử không khi ấy có dạng hoặc, hoặc với +) Nếu thì ta có không (Trái giải thiết!) +) Nếu thì ta có không(Trái giải thiết!) Vậy điều giải sử sai. Do đó nếu thì =>đpcm. 3.Phương pháp chứng minh quy nạp Để chứng minh mệnh đề đúng với b1/Kiểm tra mệnh đề với b2/ Giải sử mệnh đề đúng với ,với (gt quy nạp) b3/Ta đi chứng minh đúng . Kết luận: đúng với -Ví dụ Cmr:Với ta luôn có IV.Bài tập đề nghị: -Toán mệnh đề 1. Với 2 sốta luôn có: 2. Nếu có tổng hai góc đối diện bằng thì nội tiếp đường tròn 3.Với -Phương pháp quy nạp toán học 4.Với 5.Cmr: Với, a) ta luôn có 7.Vớita có 6.Tìm nghiệm của: a) b) c) 7. Với Chứng minh rằng: 8. Cmr điều kiện cần để số nguyên là số nguyên tố là 9. Với Chứng minh rằng: 10. Với Chứng minh rằng: 11.Tính tổng: a) -Phép toán của tập hợp 1.Tìm tập nghiệm của : a) b) c) d) e) g) f) h) i) k) 2. Tìm tập nghiệm của các bất phương trình sau: a) b) c) d) 3.Tìm , và . Biết: a)và b) 4.Cho các tập hợp Cmr: i/ ii/ 5. Với là các tập hợp. Khẳng định nào đúng trong các khẳng định sau: a) b) c) d) 6.Chứng minh rằng: nếu 11.Nếu 7.Cho các tập hợp: Cmr: i/ ii/? 8.Tìm tập nghiệm của a) b) c) 9.Tìm tập xác định của: a. b. c. d) e. g. h. k. 10.Giải các phương trình sau: a. b. c. d. 11. Giải các phương trình sau: a. b. c. 12.Giải cá hệ sau: a. b. c. d. e. f. h. 13. Tìm tập nghiệm của a) b) c) 14.Tìm tập nghiệm của: a. b. c. 20 d. d. e. -Sử dụng định lý Vi-éte +)Định lý Vi-éte thuận 21. Cho a. giải ptvới b.Xác định để pt có hai nghiệm dương phân biệt c.Xác định để pt có hai nghiệm âm phân biệt d.Trường hợp pt có hai nghiệm phân biệt. Tìm các giá trị của để: 22.Cho a.Xác định để pt có nghiệm? b.Tìm các giá trị để phương trình có hai nghiệm dương? c.Xác định để pt có hai nghiệm thoả mãn d.khi pt có hai nghiệm, tìm hệ thức liên hệ gữa hai nghiệm độc lập với 23.Tìm các giá trị của để ptcó hai nghiệm: a.Âm phân biệt b.Thoả mãn hệ thức c.Thoả mãn hệ thức 24. Tìm các giá trị của để pt có hai nghiệm a. Dương phân biệt b. âm phân biệt c.Thoả mãn hệ thức 25.Cho pt . Hãy tìm tất cả các giá trị của để pt có hai nghiệm thoả mãn +)Định lý Vi-éte đảo 26.Giải các hệ phương trình sau a. b. c. d. e. g. h. k.