Chuyên đề IX: Xác suất

Chuyên đề IX: Xác suất: Lý thuyết: 1. Phép thử và biến cố - sự kiện: + Phép thử ngẫu nhiên: Việc thực hiện một số điều kiện nào đó. + Không gian mẫu: Tập tất cả các kết quả có thể xảy ra. VD: Gieo hai con xúc xắc ị KGM có 62 = 36 phần tử. + Biến cố: Là một tập con của không gian mẫu. + Biến cố sơ cấp: Là tập con chỉ có đúng một phần tử. VD trên: {1}; {5}. + Biến cố chắc chắn, biến cố không thể có. Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố bù, biến cố xung khắc. 2. Biến cố sơ cấp đồng khả năng - xác xuất: P(A) = (m - số phần tử của tập A, n- số PT của mẫu) + Các tính chất: 0 Ê P(A) Ê 1; P(F) = 0; P(E) = 1; P(A U B) = P(A) + P(B) nếu A, B xung khắc. + Định lý cộng: P( A U B) = P(A) + P(B) - P(AầB) 3. Xác suất có điều kiện (Định lý nhân): PA(B) = P(B/A) = Û P(A ầB) = PA(B).P(A) Bài tập: 1. a. ĐH Cần Thơ. 96 (A + B): Bình đựng 5 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy một viên không hoàn lại, lấy tiếp viên nữa. Tính XS: +. Lần thứ nhất được bi xanh, lần hai được bi đỏ: p = +. Lần hai được bi xanh: p = . b. ĐH Cần Thơ. 96 (D): Bình đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ. Lấy hai viên bi đồng thời. Tính xác suất để: +. Được 2 bi xanh: p = . +. Hai bi đỏ (Tương tự). +. Hai bi khác màu: p = c. ĐH Nông Nghiệp I. 96: Bình đựng 5 bi xanh, 3 bi vàng, 4 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bi. Tính xác suất: 1. A = “ Được 3 bi xanh” ị P(A) = . 2. B = “ ít nhất có một bi vàng” ị P(B) = 1 - 3. C = “ 3 bi cùng màu” ị P(C) = . d. ĐH An Ninh (C). 97: Thùng 20 bi = 12 đỏ + 8 xanh. Lấy 3 viên bi. 1. Cả 3 viên đỏ. 2. Cả 3 viên xanh. 3. Có ít nhất một viên đỏ. Bạn tự giải tiếp. e. SHSP 2. 97: Thùng kín có 10 bi = 7 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất để: 1. Có 2 viên xanh. 2. Lấy từng viên một liên tíêp hai lần. Tính xác suất được bi đỏ lần một, bi xanh lần hai. f. TCKT. 98: Thùng kín có 7 bi = 4 xanh + 3 ẵị. Lấy 3 viên bi. Tính xác suất được: +. 2bi đỏ và 1 bi xanh. +. Cả ba bi xanh. g. ĐH TCKToán. 96: Bình đựng 5 bi đen và 7 bi trắng. 1. Lấy 3 bi. Tính xác suất có 2 bi trắng ị p = 2. Lấy không hoàn lại hai lần, mỗi lần một bi. Tính xác suất bi 1 trắng và bi 2 đen: p = . 2. a. ĐH Đà Nẵng. 96: Hai máy điện thoại A, B độc lập. Xác suất máy A làm việc tốt là P(A) = 0,96. Xác suất máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85. Tính xác suất để: +. Hai máy cùng làm việc tốt: p = P(A).P(B) = 0,96.0,85 +. ít nhất một máy làm việc tốt: p = 1 - 0,04.0,15. b. ĐH Đà Nẵng. 97: Tung hai con xúc xắc. Tính xác suất B = “ Tổng số điểm là 8”. ị P(B) = Tính xác suất tổng số điểm lẻ hay chia hết cho 3: ị p = 3. ĐH Huế. 96: Bát giác đều ABCDEFGH. Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của bát giác. Tính xác suất để: a. Được tam gíac cân: (Vẽ hình) Xét các khả năng: + Đáy là hai đỉnh liên tiếp: Không có D cân. + Đáy AC có hai D cân: ACB, ACF ị có 16 tam giác cân kiểu này. + Đáy AD: Không có D cân. + Đáy AE (Đường chéo qua tâm) có 2 D cân: AGE, ACE ị có 8 tam giác cân kiểu này Vậy p = b. Được tam giác vuông hoặc cân: Có 24 Dcân (ở trên) và 16 D vuông không cân vì mỗi cạnh cho 2 D vuông: Chẳng hạn cạnh AB thì có: ABF, ABE ị p = . 5. a. HVKT Quân Sự. 96: Có ba thùng đựng các quả cầu. Thùng I: 4 trắng + 2đen. Thùng II: 3 trắng + 5 đen. Thùng III: 2 trắng + 2 đen. Lấy 1 quả ở thùng I cho vào thùng II; sau đó lấy 1 quả ở thùng II cho vào thùng III; sau đó lấy một quả ở thùng III cho vào thùng I . +. Tính xác xuất để thùng I có 3 trắng + 3 đen. +. Với xác suất lớn nhất thì thùng một có mấy quả T, Đ. Giải: +. Quả ở thùng I chuyển sang thùng II là trắng p1 = . Khả năng 1: Quả ở thùng II chuyển sang III là trắng có: PT = , Thùng III chuyển sang I phải là đen PĐ = Khả năng này có xác suất P1 = . Khả năng 2: Có PĐ =và PT = ị P2 = . Vậy Ycbt Û P = + = +. Còn hai sự kiện nữa là ở thùng I cuối cùng có 1. 5 trắng + 1 đen 2. 4 trắng + hai đen Tính xác suất tương tự như trên thì P(4 trắng + hai đen) = là lớn nhất (Vẫn như ban đầu). b. HVKT Quân Sự. 97: Có 25 quả cầu đen và trắng để trong 2 thùng. Thùng nào nhiều cầu hơn thì quả trắng nhiều hơn. Lấy từ mỗi thùng một quả. Biết xác suất được hai quả trắng là P(TT) = 0,48. Tính xác xuất được một đen, một trắng. Giải: Giả sử thùng I có m, thùng hai có n quả (m > n > 0). t, s là số quả trắng tương ứng (t > s ) ị P(TT) = = 0,48 = . Vì m.n M 25 Û Û 1 Nếu: m = 20, n = 5 Thì: 25.t.s = 12.20.5 Û t.s = 48 = 48.1 = 24.2 = 16.3 = 12.4 = 8.6. Vậy có các khả năng: t = 16, s = 3. t = 12, s = 4. Gọi TĐ = “Một quả đen, một quả trắng” Thì: Nếu: t = 16, s = 3: P(TĐ) = . Nếu: t = 12, s = 4: P(TĐ) = 2. Nếu: m = 15, n = 10 Thì: 25.t.s = 12.15.15 Û t.s = 72 = 72.1 = 36.2 = 24.3 = 18.4 = 12.6 = 9.8 Vậy có các khả năng: t = 12, s = 6 Hoặc t = 9, s = 8. Nếu: t = 12, s = 6: P(TĐ) = . Nếu: t = 9, s = 8 Thì: P(TĐ) = c. ĐH Nông Nghiệp I. 97: Một tổ có 9 nam, 3 nữ: 1. Chọn 4 người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn: cách. 2. Tính xác suất để khi chọn một nhóm thì được nhóm có một nữ: Có cách chọn một nhóm có một nữ ị P = . 3. Có bao nhiêu cách chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm 4 người: Có cách chọn một nhóm 4 người, còn 8 người ị có cách chọn 4 ngừơi tiếp, còn lại 4 ị có cách chọn. KL: Có cách. 4. Tính xác suất để mỗi nhóm ở 3. có đúng một nữ: Theo 2. thì = 84.3 cách chọn ra 4 người trong đó có đúng một nữ. Còn lại 6 nam và hai nữ ị có: cách chọn nhóm hai có đúng một nữ. Còn lại: 3 nam một nữ ị có = 1 Cách chọn. Vậy P = = 6. a. ĐH Xây dựng. 96: +. Hộp I có: 2 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp II có: 4 đỏ, 2 trắng, 1 xanh. Gieo đồng thời hai con xúc xắc: 1. Tính xác xuất tổng số chấm Ê 6: Có các kết quả đồng khả năng sau. Bạn tự giải tiếp. ị p = (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6) 2. Nếu tổng số chấm Ê 6, ta lấy hộp I, Ngược lại lấy hộp II, sau đó lấy 1 bi. Tính xác suất để được bi đỏ. Gọi Đ = “ Được bi đỏ “ H1 = “Được bi ở hộp I”. H2 = “Được bi ở hộp II”. ị H1, H2 là nhóm đầy đủ. ị P(Đ) = PH1(Đ).P(H1) + PH2(Đ).P(H2) = 3. Gọi A = “4 < x + y < y”; B = “x + y lẻ và x + y < 8”. Tính: P(A U B) = P(A) + P(B) - P( A ầ B) = P(B) = b. Xuân, Thu chơi trò chơi: Gieo 2 con xúc xắc. Nếu tổng số chấm là một số lẻ > 5. Hoặc chỉ có một mặt 1 Thì Xuân thắng. Ai có hy vọng thắng nhiều hơn. Giải: Không gian mẫu như trên: Số kết quả thuận lợi cho Xuân thắng là: 16 của Thu là: 20. c. Gieo hai xúc xắc: Gọi x là số chấm con xúc xắc xanh, y đỏ. Nếu A = “x > y”; B = “x + y = 7” C = “x lẻ, y chẵn”; D = “x + y = 6”. Tính: P(AUB) = . P(B) = ; P(C) = ; P(D) = ; P(B/C) = = = ; P(D/C) = 0. d. ĐH Xây dựng. 97: Gieo một con xúc xắc 3 lần. a. Tính xác suất để ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau Giải : Không gian mẫu có 63 = 216 phần tử. Gọi B = “ Số chấm 3 lần gieo đôi một khác nhau”. Vậy số lần B xảy ra là số cách chọn 3 trong 6 phần tử (1, 2, 3, 4, 5, 6) có thứ tự ị có = 6.5.4 = 120 cách ị P(B) = . KL: P(ít nhất hai lần gieo mà số chấm xuất hiện như nhau) = 1- P(B) = = . Gọi: A = “Có ít nhất một lần mặt 6 chấm xuất hiện”; B = “Số chấm xuất hiện ở 3 làn gieo khác nhau”. Tính P(A/B) = = . Trong đó A.B = A ầ B xảy ra khi có 3 số khác nhau trong đó có số 6 . Chọn 6 vào một trong 3 số ị có 3 cách chọn. Sao đó chọn 2 số trong 5 số (1, 2, 3, 4, 5) có thứ tự ị có = 5.4 = 20 Vậy có 3.20 = 60 cách chọn: ị P(A/B) = = = e. ĐH Giao thông vận tải. 97: Có 20.000 vé số. Trong đó có 1 giải nhất, 100 nhì, 200 ba, 1000 tư và 5000 giải khuyến khích. Một người mua 3 vé. Tính xác suất trúng một giải nhì, hai giải khuyến khích. ị p =. f. Báck Khoa. 98: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10.000đ, 5 vé trúng 5.000đ, 10 vé trúng 1000đ. Mua 3 vé. Tính xác suất trúng 3.000: P = ; Trúng ít nhất 3000đ: Có khả năng: + Cả ba vé trúng 1000 + Hai vé trúng. + Môt vé trúng. Bạn tự giải tiếp. g. ĐH Thuỷ lợi. 97: Trong hộp kín có 10 cầu trắng, 8 cầu đỏ. Lấy hú hoạ 5 quả cầu. Tính xác suất có đúng 3 quả đỏ: P = 7.a. Y Hà Nội.97: 1. Cho mười chữ số: 0, 1, 2, . . ., 9. Có thể lập bao nhiêu số lẻ 6 chữ số khác nhau, nhỏ hơn 600.000. Gọi chữ số thoã mãn đề bài là . ị A ẻ {1, 2, 3, 4, 5}; H ẻ {1, 3, 5, 7, 9}; + Nếu: A là 2 hoặc 4 (Có hai cách chọn) thì H Có 5 cách chọn: 1, 3, 5, 7, 9. Còn B, C, D, G là chọn 4 trong các số: 0, 1, . . ., 9 loại đi 2 số A, H (còn 8 số) ị có: cách chọn. Vậy có: 2.5. số kiểu này. + Nếu: A là 1, 3, 5 (Có 3 cách) thì H là các số: 1, 2, 3, 5, 7, 9 loại đi số A (Còn 4 cách) . Lúc đó: B, C, D, G có cách chọn. Vậy có: 3.4. cách chọn số dạng này ị KL có: 2.5. + 3.4.= 36960 số. b. Một bà mẹ muốn sinh bằng được con gái. Xác suất sinh con gái là 0,486. Tính xác xuất sinh con gái ở lần sinh thữ hai: P(G) = 0,514.0,486 ằ 0,25. 8.a-Gieo 3 đồng tiền. Gọi A = “ ít nhất một mặt ngửa”; B = “ Có 2 mặt ngửa”. Tính: P(A); P(B); P(B/A); P(A/B). Giải:Không gian mẫu: (S,S,S); (S,S,N); (S,N,N); (S,N,S); (N,S,S); (N,S,N); (N,N,N); (N,N,S) ị P(A) = 1 - = ; P(B) = ; P(B/A) = = = ; P(A/B) = 1 = = b. Hai người cùng bắn con nai. Xác suất hạ con nai của người I là 0,8; người II là 0, 7. Tính xác suất con nai bị hạ: P(H) = P(AUB) = P(A) + P(B) - PA ầB) = 0,8 + 0,7 - 0,8.0,7 = 0,94. 9. a. Đoàn tàu có 3 toa vào ga, 12 hành khách chờ tàu. Tìm xác suất: + 4 người lên toa I, 5 người lên toa II, còn lại lên toa III: p = + Mỗi toa có 4 người: p =. + Hai hành khách A, B cùng lên một toa: p = . b. Thang máy khách sạn có 10 tầng. Có 5 người đi từ tầng I. Tính xác suất: + Tất cả cùng ra ở tầng 5: p = . + Tất cả cùng ra ở một tầng: p = 9. = . + Mỗi người ra một tầng khác nhau: p = (m - số cách chọn 5 phần tử trong 9 phần tử). + Hai người ra cùng một tầng, 3 người kia ra 3 tầng khác nhau: p = . c. Một em bé xếp các chữ: N,N,A,H,H. Tìm xác suất được chữ NHANH: n = 5!; m = ?. N có 2 cách; H có 2 cách; A có 1 cách; N có 1 cách, H có 1 cách: ị p = . d. Viết các số: 1, 2, 3, 4, 5 lên Năm quả cầu. Chọn từng quả liên tiếp ba lần xếp từ trái sang phải. Tính xác suất được số chẵn: n = 5.4.3 = 60 cách . m: số có dạng . c có 2 cách, b có 3 cách (trừ 2 và 4), a có 2 cách (trừ 2, 4 và b) ị m = 12 cách. P(C) = 12/60 = . e. Lấy 5 con bài từ cỗ tam cúc có 32 con. Tính xác suất được: + Một tướng, một sỹ, hai xe, một tốt: p = + Lập được tú tử: p = . d. Biển đăng ký xe máy có 3 phần: Phần đầu là số 14. Phần giữa 3 chữ số, phần cuối 2 chữ cái. + Lập được bao nhiêu biển : Phần đầu không ảnh hưởng. Phần giữa có 103 cách. cuối có 242 ị có: 103.242. + Tính xác xuất gặp xe biển có 3 số giữa là 468: p = = . 10. a. Có 10 thăm trong đó có một thăm có thưởng. Mỗi người rút một thăm. Tính xác suất người thue hai được thưởng: P(X = 2) = = (Nếu không bỏ thăm ra); P(X = 2) == (Nếu bỏ thăm ra). b. Gieo 4 đồng tiền, ghi kết quả: a, b, c, d (Chỉ là S hay N). + Mẫu có bao nhiêu phần tử: n = 24 + Tính xác xuất được 2 mặt sấp: p = = = P(x = 2) + Gọi x là số đồng tiền lật mặt sấp trong một lần gieo. Tính: P(x = 0) = ()4 = P(x = 1) = ()4 ; P(x = 3) = ()4 ; P(x = 4) = ()4 = = P(x = 0).