Chuyên đề Khảo sát hàm số

PHƯƠNG PHÁP LUYỆN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ Đặt vấn đề Nhằm giúp học sinh có định hướng tốt môn toán cho kỳ thi TN THPT , ta đưa ra một số bài toán khảo sát hàm số nằm trong nội dung kiến chương trình ,để học sinh có cơ hội làm quen được dạng toán của kỳ thi . Với một số bài toán dưới đây không là tất cả , mà nó chỉ là nét điển hình chung để phác hoạ lên kiến thức yêu cầu của một bài toán khảo sát hàm số . Mong HĐBM cùng với các thầy cô cùng tham luận để nâng cao chất lượng dạy và học toán của tỉnh nhà . Nội dung thực hiện Yêu cầu kiến thức Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . Biện luận số nghiệm phương trình , số giao điểm giữa hai đồ thị . Phương trình tiếp tuyến tại một điểm cho trước . Phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc . Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm . Phương trình tiếp tuyến song song với một đường thẳng cho trước . Phương trình tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước . Một số dạng toán liên quan đến đơn điệu , cực trị , giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất và đồ thị chứa dấu giá trị tuyệt đối . Yêu cầu đối với học sinh Phải bảo đảm tất cả mọi học sinh đều thành thạo trong việc khảo sát và vẽ được đồ thị ba hàm số theo đúng mẫu của SGD gởi đến. Phải bảo đảm mọi học sinh thực hiện tốt các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số . Phải thường xuyên ôn tập cho học sinh (Bằng cách ra đề tương tự bắt học sinh làm tại nhà ). Bài toán luyện tập a. Hàm số bậc ba Bài 1. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ . Bài 2. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm thực của phương . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến . Viết phương trình tiếp tuyến với (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Bài 3. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực phương trình :  Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến đi qua điểm . Bài 4. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C). Bài 5. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  Viết phương trình đường thẳng đi qua và tiếp xúc với đồ thị (C). Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại một điểm duy nhất . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Bài 6. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để đồ thị (C’) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt . Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực đai, cực tiểu và điểm . Bài 7. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình :  Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc đồ thị (C) . Bài 8. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu .Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu . Tìm m để hàm số đạt cực đại tại . Tìm tất cả những điểm sao cho ta kẻ được đúng một tiếp tuyến đến (C) . Bài 9. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình : Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hệ số góc tiếp tuyến lớn nhất . Tìm k để phương trình có hai nghiệm thực trên đoạn . Bài 10. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C0) của hàm số khi . Dựa vào đồ thị (C0) biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình : Tìm m để họ đồ thị (Cm) có hai cực trị . Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của họ đồ thị (Cm). Tìm quĩ tích cực trị của họ đồ thị (Cm) . b. Hàm số trùng phương Bài 1. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . Bài 2. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 Bài 3. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Bài 4. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 2. Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) . Bài 5. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Viết phương trình parabol đi qua các điểm cực trị của đồ thị (C) . Bài 6. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Bài 7. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 3 . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 4 điểm phân biệt . Bài 8. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình . Dựa vào đồ thị (C) , hãy giải bất phương trình . Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại . Tìm m để hàm số (1) có 3 cực trị . Bài 9. Cho hàm số Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Biện luận theo k số nghiệm thực của phương trình . Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại . Tìm m để hàm số có 1 cực trị . Tìm m để hàm số (1) có 3 điểm cực trị và 3 điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc 1200 . Bài 10. Cho hàm số (1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi . Tìm k để phương trình có hai nghiệm thực phân biệt . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để hàm số có một điểm cực trị . Tìm m để hàm số có ba điểm cực trị . c. Hàm số hữu tỉ Bài 1. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến . Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . Bài 2. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ âm . Bài 3. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục hoành . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương . Bài 4. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Bài 5. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến vuông góc với đường phân giác của góc phần tư thứ hai . Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Tìm m để đường thẳng đồ thị (C) tại hai điểm A, B phân biệt .Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Bài 6. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ hai . Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Tìm những điểm trên đồ thị (C) có toạ độ với hoành độ và tung độ đều là số nguyên . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số . Bài 7. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B . Tìm tập hợp trung điểm I của đoạn thẳng AB . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Viết phương trình đường thẳng qua điểm và tiếp xúc với đồ thị (C) . Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) đến hai đường tiệm cận của (C) là một hằng số . Bài 8. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) và đường thẳng . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên . Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng . Bài 9. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm những điểm trên (C) sao cho khoảng từ điểm đó đến trục hoành gấp đôi khoảng cách từ đó đến trục tung . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 . Tìm tất cả các tâm đối xứng của đồ thị (C) . Tìm m để phương trình có nghiệm . Bài 10. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Tìm toạ độ những điểm M sao cho . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại những điểm tìm được ở câu 2 . Chứng tỏ giao điểm hai đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị (C) . Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt . BÀI GIẢI a. Hàm số bậc ba Bài 1. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Dựa vào đồ thị (C) , biện luận theo m số nghiệm của phương . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình của (C) tại các điểm có tung độ là 0 . Đáp án: CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM CÂU 1 (x điểm) 1. (điểm) 1) Tập xác định: 2) Sự biến thiên a) Giới hạn và b) Bảng biến thiên Bảng biến thiên: x y’ y -¥ -1 1 +¥ 0 0 + - + 4 +¥ -¥ 0 Hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên khoảng. Hàm số đạt cực đại tại , , đạt cực tiểu tại , . 3) Đồ thị Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học) Do y'' đổi dấu khi x đi qua Tọa độ điểm uốn Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: : + Giao điểm với Ox: Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. 2. (điểm) Số nghiệm thực của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số và đừờng thẳng (d): . Dựa vào đồ thị ta có: Với hoặc , (d) và (C) có một điểm chung, do đó phương trình có một nghiệm. Với hoặc , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm. Với , (d) và (C) có ba điểm chung, do đó phương trình có ba nghiệm. 3. (điểm) Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là . 4. (điểm) Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ , có tung độ . Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm là . 5. (điểm) Điểm thuộc (C) có tung độ , có hoành độ hoặc . Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là . Phương trình của hai tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 0 là và .  b. Hàm số trùng phương Bài 1. Cho hàm số (C) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 24 . Đáp án: CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM CÂU 1 (x điểm) 1. (điểm) 1) Tập xác định: 2) Sự biến thiên a) Giới hạn b) Bảng biến thiên và Bảng biến thiên: x y’ y -¥ -1 1 +¥ 0 0 + – + -1 +¥ +¥ 0 0 – -1 Hàm số đồng biến trên các khoảng và , nghịch biến trên các khoảng và . Hàm số đạt cực đại tại , , đạt cực tiểu tại , . 3) Đồ thị Điểm uốn: (chương trình chuẩn không học) Do y'' đổi dấu khi x đi qua Tọa độ điểm uốn Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: : + Giao điểm với Ox: Nhận xét: Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng. 2. (điểm) Số nghiệm thực của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị (C) của hàm số và đường thẳng (d): . Dựa vào đồ thị ta có: Với , (d) và (C) không có điểm chung, do đó phương trình vô nghiệm. Với hoặc , (d) và (C) có hai điểm chung, do đó phương trình có hai nghiệm. Với , (d) và (C) có bốn điểm chung, do đó phương trình có bốn nghiệm. 3. (điểm) Tung độ của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm là . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm là . 4. (điểm) Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ , có hoành độ . Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm và lần lượt là , . Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm là và tại điểm là . 5. (điểm) Điểm thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến tại M là . Khi đó, ta có: Lúc này tung độ của M là . Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là .  c. Hàm số hữu tỉ Bài 1. Cho hàm số (C) Khào sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết hệ số góc của tiếp tuyến . Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . Đáp án: CÂU ĐÁP ÁN ĐIỂM CÂU 1 (x điểm) 1. (điểm) 1) Tập xác định: 2) Sự biến thiên a) Giới hạn và là tiệm cận đứng và là tiệm cận ngang b) Bảng biến thiên Bảng biến thiên: x y’ y -¥ -1 +¥ 2 + + +¥ -¥ 2 Hàm số đồng biến trên các khoảng và . Hàm số không có cực trị. 3) Đồ thị Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ + Giao điểm với Oy: : + Giao điểm với Ox: Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối xứng. 2. (điểm) Điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ , có tung độ . Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm là . 3. (điểm) Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ , có hoành độ , Hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm là . Phương tình tiếp tuyến của (C) tại điểm là . 4. (điểm) Điểm thuộc đồ thị (C), có hệ số góc của tiếp tuyến tại M là . Khi đó, ta có: hoặc . Tung độ của điểm M là hoặc . Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình là và . 5. (điểm) Tìm m để đường thẳng cắt (C) tại 2 điểm phân biệt . Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi phương trình: (1) có hai nghiệm phân biệt và khác –1. , (1) (2) Ta thấy (2) không có nghiệm . Khi đó (2) có 2 nghiệm phân biệt khi: . Vậy thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt.