Chuyên đề khảo sát hàm số luyện thi đại học 2014

Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 1 ĐỀ THI ĐẠI HỌC: KHẢO SÁT HÀM SỐ ------------------------- Đề 1: (ĐH A-2002) Cho hàm số: 3 2 2 3 23 3(1 )= − + + − + −y x mx m x m m a) Tìm k để phương trình 3 2 3 23 3 0− + + − =x x k k có 3 nghiệm phân biệt. b) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bài giải: TXĐ: D = ℝ a) Cách 1: Ta có 3 2 3 2 3 33 3 0 3 3− + + − = ⇔ − + = − +x x k k x x k k Đặt 3 3= − +a k k . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình 3 3− + =x x a có 3 nghiệm phân biệt ( )( ) ( )( ) 3 22 0 3 0 3 0 4 0 3 4 1 4 4 0 1 2 0 k k a k k k k k k k ≠ < ≠ <   ⇔ < < ⇔ < − + < ⇔ ⇔  + − + > + − >  1 3 0 2 k k k − < < ⇔  ≠ ∧ ≠ Cách 2: Ta có: ( ) ( )3 2 3 2 2 23 3 0 3 3 0 − + + − = ⇔ − + − + − = x x k k x k x k x k k có 3 nghiệm phân biệt ( )2 2( ) 3 3 0⇔ = + − + − =g x x k x k k có 2 nghiệm phân biệt khác k 2 2 2 2 3 6 9 0 1 3 0 23 3 0 k k k k kk k k k k ∆ = − + + > − < < ⇔ ⇔  ≠ ∧ ≠+ − + − ≠  b) Cách 1: Ta có ( ) ( )/ 22 23 6 3 1 3 3y x mx m x m= − + + − = − − + / 1 2 1 0 1 x m y x m = − = ⇔  = + . Ta thấy 1 2x x≠ và /y đổi dấu khi qua 1x và 2x ⇒ Hàm số đạt cực trị tại 1x và .2x Lúc đó: ( ) 21 1 3 2y y x m m= = − + − và ( ) 22 2 3 2y y x m m= = − + + . Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị ( ); 21 1 3 2M m m m− − + − và ( ); 22 1 3 2M m m m+ − + + là: 2 21 3 2 2 2 4 x m y m m y x m m − + + − + = ⇔ = − + . Cách 2: Ta có ( ) ( )/ 22 23 6 3 1 3 3y x mx m x m= − + + − = − − + . Ta thấy ( ) /2 29 9 1 9 0 0m m m y∆ = + − = > ∀ ⇒ = có 2 nghiệm 1 2x x≠ và /y đổi dấu khi qua 1x và 2x ⇒ Hàm số đạt cực trị tại 1x và .2x Ta có ( )2 2 21 3 6 3 1 2 3 3 m y x x mx m x m m    = − − + + − + − +     Từ đây ta có ( ) 21 1 12y y x x m m= = − + và ( ) 22 2 22y y x x m m= = − + . Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực là 22y x m m= − + Đề 1: (ĐH B-2002) Tìm m để hàm số ( )4 2 29 10y mx m x= + − + có 3 điểm cực trị. Bài giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: ( ) ( )/ 3 2 2 24 2 9 2 2 9 .= + − = + −y mx m x x mx m Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 2 Ta có: / 2 2 0 0 2 9 0 = = ⇔  + − = x y mx m . Hàm số có 3 điểm cực trị ⇔ Phương trình / 0y = có 3 nghiệm phân biệt (khi đó /y đổi dấu khi qua các nghiệm) ⇔ Phương trình 2 22 9 0+ − =mx m có 2 nghiệm phân biệt 0≠ Ta có: 2 2 2 2 0 2 9 0 9 2 ≠  + − = ⇔  − = m mx m m x m Y.c.b.t⇔ 2 39 0 0 32 < −− > ⇔  < < mm mm Vậy các giá trị m cần tìm là ( ) ( ); ;3 0 3m∈ −∞ − ∪ . Đề 1: (ĐH D-2002) Cho hàm số: ( ) ( ): 22 1 1m m x m C y x − − = − . a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )1 3 1 : 1− − − = − x C y x với hai trục toạ độ. b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng =y x . Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ a) Diện tích cần tìm là 0 0 0 1 1 1 3 3 3 0 3 1 d 1 d 3 d 4 3. 4ln 1 1 1 1 3 3− − − − − = = − − = − − − − − − ∫ ∫ ∫ x x S x x x x x ln 4 1 4 3 + (đ.v.d.t) b) Ký hiệu ( ) ( ) 22 1 1 m x m F x x − − = − . Yêu cầu bài toán tương đương với tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) /// ( ) ( ) 2 2 22 2 0 0 1 1 2 1 00 1 1 x m x m f x x x x x m x x mf x x x m x x  − − − −= == − −  ⇔ ⇔    − − − + −= − −   ==   − −  (I) Ta thấy ;1m x m∀ ≠ = luôn thỏa mãn hệ (I). Vì vậy với 1m∀ ≠ , hệ (I) luôn có nghiệm, đồng thời khi 1m = hệ (I) vô nghiệm. Do đó, đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y x= khi chỉ khi .1m ≠ Kết luận: 1m ≠ là yêu cầu bài toán. Đề 1: (Đề dự bị 2002) Xác định m để đồ thị hàm số 4 2 1= − + −y x mx m cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt. Bài giải: TXĐ: D = ℝ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 3 ( ) ( ) ( )( ) 4 2 4 2 2 2 2 2 XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ : 1 0 (1) 1 1 0 1 1 0 1 1 (2) §Ó (C) c¾t t¹i 4 ®iÓm Ox x mx m x m x x x m x x m Ox − + − = ⇔ − − − = ⇔ − + − =  = ⇔  = − ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh (1) cã 4 nghiÖm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt 1 m ⇔ ⇔ ≠ ± ⇔ 1 0 1 1 1 2 m m m − > >  ⇔  − ≠ ≠  Đề 1: (Đề dự bị 2002) Cho hàm số: 2 2 2 − + = − x x m y x . a) Xác định m để hàm số nghịch biến trên đoạn [ ]1;0− . b) Tìm a để phương trình sau có nghiệm: ( ) 2 21 1 1 19 2 3 2 1 0+ − + −− + + + =t ta a Bài giải: TXĐ: { }\ 2D = ℝ ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 / 2 2 / 2 1;0 2 a) Ta cã: 2 2 4 4 1 2 2 §Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n 1;0 0 1;0 4 4 1;0 max 1 9. x x m m y x x x m x x m y x x y x g x x x m x g x m g m m − − + = = + − − − + − ⇒ = − = − − − ⇔ ≤ ∀ ∈ − ⇔ = − + ≤ ∀ ∈ − ⇔ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ≥ ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 9 2 3 2 1 0 3 1 1 1 1;1 3;9 2 1 2 3 9 3;9 b) Ph−¬ng tr×nh: (I) Do 2 Lóc ®ã: (I) Tõ ®å thÞ (hoÆc tõ b¶ng biÕn thiªn) giíi h¹n trªn + − + − + −  − + = − − + + + = ⇔  = ≤ + − ≤ ∀ ∈ − ⇒ ∈  − + = ⇔ −  ≤ ≤ t t t X X a X a a X t t X X X a X X 64 4 7 suy ra, ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ⇔ ≤ ≤a Đề 1: (Đề dự bị 2002) Cho hàm số 3 2 1 1 2 2 3 3 = + − − −y x mx x m . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 4 a) Khi 1 2 =m . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 4 2= +y x . b) Tìm m thuộc khoảng 5 0; 6       sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường 0, 2, 0= = =x x y có diện tích bằng 4. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ 3 2 / 2 2 2 1 1 4 2 2 3 2 3 4 2 2 32 4 6 0 1 3 6 a) Ta cã hµm sè Theo gi¶ thiÕt tiÕp tuyÕn cÇn t×m cã hÖ sè gãc . XÐt ph−¬ng tr×nh: VËy cã 2 tiÕp tuyÕn tháa m·n y.c.b.t lµ: = + + − ⇒ = + − =  = ⇒ = − + − = ⇔ + − = ⇔   = − ⇒ =  y x x x y x x k x y x x x x x y ( ) ( )2 26 1 73: 4 2 4 : 4 3 4 3 3 6 61 2 d vµ d+ = − ⇔ = − − = + ⇔ = +y x y x y x y x ( ) ( ) [ ] [ ] / 2 // 3 2 5 1 1 5 0 0 2 0 2 2 0 6 3 3 3 2 2; 2 2 0 0;2 1 1 2 2 0;2 . 3 3 b) Do nªn: vµ L¹i cã: Suy ra ®å thÞ hµm sè lâm trªn ®o¹n KÕt hîp víi < < = − < − < = − < = + − = + > ∀ ∈ = + − − − m y m y m y x mx y x m x y x mx x m ( ) ( ) [ ] 2 2 2 3 2 0 0 0 2 4 3 2 0 0 0 2 0 0 0;2 1 1 2 2 3 3 1 4 10 2 12 3 3 3 3 1 4 2 vµ suy ra Do ®ã: d d d Theo gi¶ thiÕt tháa ®iÒ < < < ∀ ∈  = = − = − + − − −      = − − + + + = +      = ⇒ = ∫ ∫ ∫ y y y x S y x y x x mx x m x x mx m x m x S m 5 0 6 u kiÖn < <m Chú ý: Không cần dùng tính “lõm” của đồ thị trên [ ]0;2 , ta chứng minh [ ]0 0;2 < ∀ ∈y x như sau: Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 5 ( ) ( ) [ ] [ ] [ ] [ ] / 2 // / 1 1 5 0 2 0 2 2 0 3 3 3 2 2; 2 2 0 0;2 0;2 , 2;2 2 0;2 . Ta cã: vµ L¹i cã: Suy ra: ®ång biÕn, liªn tôc trªn víi tËp gi¸ trÞ nªn ®æi dÊu tõ ©m sang d−¬ng trªn = − < − < = − < = + − = + > ∀ ∈ − + y m y m y x mx y x m x y m [ ] ( ) ( ) 0;2 . 0 0 2 0, Do ®ã hµm sè ®· cho nghÞc biÕn råi chuyÓn sang ®ång biÕn, liªn tôc trªn §ång thêi vµ ta cã ®.p.c.m.< <g g Đề 1: (Đề dự bị 2002) Cho hàm số ( )3 3= − −y x m x . a) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ 0=x . b) Tìm k để hệ phương trình sau có nghiệm: ( ) 3 32 2 2 1 3 0 1 1 log log 1 1 2 3 x x k x x  − − − <   + − ≤  Bài giải: TXĐ: D = ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2/ / 2 // // / // 3 ; 3 3 3 1 0 3 1 ; 6 0 6 1 0 0 0 1 1 0 6 0, a) Ta cã: Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i suy ra * Víi th× hµm sè ®¹t = − −  = − − = − − ⇒ = −  = − ⇒ = − = = = ⇔  = − = = − < y x m x y x m x m y m y x m y m m x y m m y ( )// 0 1 0 6 0, 0. 1 cùc ®¹i t¹i . * Víi th× hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i VËy lµ yªu cÇu bµi to¸n. = = − = > = = − x m y x m ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 1 0 1. 1 1 3 log log 1 1 1 2 0 1 2 1 2 1 b) §iÒu kiÖn: Khi , bÊt ph−¬ng tr×nh (1) (1') BÊt ph−¬ng tr×nh (2) Bµi to¸n quy vÒ viÖc x¸c ®Þnh k − > ⇔ > > ⇔ − − < ⇔ + − ≤ >  − − ≤ ⇔ − ≤ ⇔ ⇔ < ≤ > x x x x x k x x x x x x x x x ( ] ( ) ( )( ) 1 2. , 5 min 2 5 ®Ó bÊt ph−¬ng tr×nh (1') cã nghiÖm tháa Dùa vµo ®å thÞ (hoÆc b¶ng biÕn thiªn) xÐt trªn 1;2 suy ra c¸c gi¸ trÞ k cÇn t×m lµ < ≤ > − > = = − x k k f x f Đề 1: (Đề dự bị 2002) Tìm m để đồ thị hàm số 2 1 + = − x mx y x có cực đại, cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng 10 ? Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 6 ( ) 2 / 2 / / 2 / 2 . 1 0 2 0 Ta cã: §Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt vµ ®æi dÊu khi qua c¸c nghiÖm ®ã Y.c.b.t (2) cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1. − + + = − ⇔ = ⇔ − + + = ∆ ⇔ x x m y x y y x x x m ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 / 1 1 1/ 1 / 2 2 2/ 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0 1 1 2 0 ; , ; 2 2 5 5 1 2 (*) Gäi M x N x lµ c¸c ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè, lóc ®ã ta cã: Tõ ®ã suy ra:  = + > ⇔ > − + + ≠  = = − −    = = − −  = − + − = − = + m m m y y u x y x m v x u x y x m v x MN x x y y x x x x ( ) ( ) 1 2 1 2 4 5 4 4 , 10 5 4 4 100 4 do lµ nghiÖm cña (2) §Ó tháa m·n ®iÒu kiÖn (*) − = + = ⇔ + = ⇔ = x x m x x MN m m Đề 1: (Đề dự bị 2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 2 1 2 3 3 = − +y x x x và trục hoành. Bài giải: TXĐ: D = ℝ 33 3 4 3 2 3 2 3 2 0 0 0 1 1 2 3 9 2 3 2 3 3 3 12 3 2 4 Ta cã: d d (®.v.t.t)   = − + = − + = − + =       ∫ ∫ x x x S x x x x x x x x Đề 1: (ĐH A-2003) Tìm m để đồ thị hàm số 2 1 + + = − mx x m y x cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ Đồ thị hàm số 2 1 + + = − mx x m y x cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ dương ⇔ Phương trình 2( ) 0= + + =g x mx x m có 2 nghiệm dương phân biệt 1≠ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 7 Y.c.b.t ( ) 2 00 11 4 0 121 2 1 0 0 1 2 1 0 2 0 0 mm m m g m m m S m m m P m ∆   ≠ ≠  = − >  <   ⇔ = + ≠ ⇔ ⇔ − < <    ≠ −  = − >   < = >  Vậy các giá trị m cần tìm là: 1 0 2 m− < < . Đề 1: (ĐH B-2003) Tìm m để đồ thị hàm số 3 23= − +y x x m có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ. Bài giải: TXĐ: D = ℝ Đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc toạ độ ⇔ tồn tại 0 0x ≠ sao cho ( ) ( )0 0y x y x= − − ⇔ tồn tại 0 0x ≠ sao cho ( ) ( ) 3 23 2 0 0 0 03 3x x m x x m − + = − − − − +  ⇔ tồn tại 0 0x ≠ sao cho . 2 03x m= ⇔ 0m > Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 0 2 m− < < . Đề 1: (ĐH D-2003) Tìm m để đường thẳng : 2 2= + −md y mx m cắt đồ thị 2 2 4 2 − + = − x x y x tại hai điểm phân biệt. Bài giải: TXĐ: { }\ 2D = ℝ Đường thẳng md cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt ⇔ Phương trình 4 2 2 2 x mx m x + = + − − có 2 nghiệm phân biệt khác 2 ( )( )21 2 4m x⇔ − − = có 2 nghiệm phân biệt khác 2 1 0 1m m⇔ − > ⇔ > . Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: .1m > Đề 1: (Đề dự bị 2003) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C): ( ) 22 4 3 2 1 x x y x − − = − . b) Tìm m để phương trình 22 4 3 2 1 0− − + − =x x m x có hai nghiệm phân biệt. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ Phương trình 2 2 2 4 32 4 3 2 1 0 2 1 x x x x m x m x − − − − + − = ⇔ = − ( 1x = không là nghiệm) Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 8 Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 2 4 3 1 2 12 4 3 2 1 2 4 3 1 2 1 nÕu nÕu x x x xx x x x x x x  − − > −− −  =  − − −− <  − Từ (C) suy ra đồ thị ( ) 2 / 2 4 3: 2 1 x x C y x − − = − như sau: + Giữ nguyên phần đồ thị (C) ứng với 1x > , bỏ phần đồ thị (C) ứng với 1.x < + Lấy đối xứng phần đồ thị được giữ của (C) qua đường thẳng 1.x = Dựa vào đồ thị, ta thấy m∀ đường thẳng y m= luôn cắt (C’) tại 2 điểm phân biệt⇔ phương trình 22 4 3 2 1 0− − + − =x x m x luôn có hai nghiệm phân biệt. (y.c.b.t) Đề 1: (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số ( ) ( ) 2 22 1 4 2 + + + + + = + x m x m m y x m có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Bài giải: TXĐ: { }\D m= −ℝ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 / 2 2 / / 1 2 2 1 2 1 2 2 2 41 2 2 2 0 , . , Ta cã: (1) Rá rµng lu«n cã 2 nghiÖm vµ ®æi dÊu khi qua 2 nghiÖm ®ã Hµm sè lu«n cã cùc trÞ Ta cã: lµ nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh x m y x m x m y x m x m y x x m y m x x x m + = + + + + − ⇒ = − = + + = ≠ − ⇔ ∀ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 / 1 1 1 / 1 / 2 2 2 / 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 4 0 2 2 2 1 3 2 2 2 2 1 5 2 2 ; ; 4 Lóc ®ã: Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®iÓm cùc trÞ vµ lµ: x m x m u x x m y v x u x x m y v x M x y M x y M M x x y y = − − − = ⇔  = − +  + + = = = −   + + = = =  = − + − = + 24 4 2= Đề 1: (Đề dự bị 2003) Tìm m để đồ thị hàm số ( )( )21= − + +y x x mx m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Bài giải: TXĐ: D = ℝ x y y=m O 1 Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 9 ( )( ) ( ) 2 2 1 1 0 0 XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (C) vµ Ox: (1) §Ó (C) c¾t Ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x x x mx m g x x mx m = − + + = ⇔  = + + = ⇔ ( ) ( ) 2 0 0 44 0 1 1 1 2 0 2 Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1 Y.c.b.t g g x m mm m mg m ⇔ = ∆ = − >  ⇔ ⇔  ≠ −= + ≠   Đề 1: (Đề dự bị 2003) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C): 2 1 1 − = − x y x . Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng IM. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ ( ) ( ) 2 0 / 0 1 1 1 2. . I Ta cã: §−êng th¼ng tiÖm cËn ®øng: , tiÖm cËn ngang Gäi lµ hoµnh ®é cña ®iÓm M (C). Theo gi¶ thiÕt, tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng IM nªn ta cã: y x x y x y x k = − − = = ∈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 4 2 0 02 2 0 0 1. 1 1 1 1 . 1 1 1 1 1 1 1 M IM IM (1) Trong ®ã lµ hÖ sè gãc cña ®−êng th¼ng IM: Thay vµo (1) ta ®−îc: M I M I y y k k x x x x x x x = − − = = − − − = − ⇔ − = ⇔ − = − − ( ) ( ) 0 0 0 0 1 2 0 1 2 3 0;1 2;3 VËy cã hai ®iÓm vµ tháa yªu cÇu ®Ò bµi. x y x y M M = ⇒ = ⇔  = ⇒ = Đề 1: (Đề dự bị 2003) Tìm m để hàm số 2 25 6 3 + + + = + x x m y x đồng biến trên khoảng ( )1;+∞ . Bài giải: TXĐ: { }\ 3D = −ℝ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 10 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 / 2 / 2 2 2 2 1 2 1 2 6 9 3 1; 0 1; 6 9 0 1; , 6 9 0 3 ; 3 Ta cã: §Ó hµm sè ®ång biÕn trªn (1) Gäi lµ c¸c nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Ta cã: * Khi x x m y x y x x x m x x x x x m x m x m + + − = + +∞ ⇔ ≥ ∀ ∈ +∞ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈ +∞ + + − = = − − = − + 1 2 1 2 2 1 0 3 1 0 1 0 4 0 3 1 0 1 4 0 0 th× vµ bÊt ph−¬ng tr×nh (1) lu«n tháa m·n. * Khi , yªu cÇu bµi to¸n * Khi , yªu cÇu bµi to¸n KÕt hîp 3 TH m x x m m x x m m m m x x m m = = − + ≤ > ⇔ < ≤ ⇔ ⇔ < ≤ > − − ≤ < ⇔ < ≤ ⇔ ⇔ − ≤ < < 4 4ta cã c¸c gi¸ trÞ m tháa ®Ò bµi lµ: m− ≤ ≤ Đề 1: (Đề dự bị 2003) Gọi kd là đường thẳng đi qua điểm ( )0; 1−M và có hệ số góc bằng k . Tìm k để đường thẳng kd cắt (C): 3 22 3 1= − −y x x tại 3 điểm phân biệt. Bài giải: TXĐ: D = ℝ ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 0; 1 1 2 3 1 1 0 2 3 0 2 3 §−êng th¼ng bÊt k× ®i qua vµ cã hÖ sè gãc k cã ph−¬ng tr×nh d: XÐt ph−¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña d vµ (C): (1) M y kx x x kx x x x x k g x x − = − − − = − = ⇔ − − = ⇔ = − ( ) ( ) 0 9 8 0 0 (2) §Ó d c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 0 Y.c.b.t g x k g x k g   − ⇔ ⇔ = ∆ = + > ⇔ = 9 8 0 0 k k k  > −  ⇔  ≠  ≠ Đề 1: (ĐH A-2004) Tìm m để đường thẳng =y m cắt đồ thị hàm số ( ) 2 3 3 2 1 − + − = − x x y x tại hai điểm A, B sao cho AB=1. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng =y m là: ( ) ( ) 2 23 3 2 3 3 2 0 (*) 2 1 − + − = ⇔ + − + − = − x x m x m x m x Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi 2 3 10 4 4 3 0 (**) 2 2 m m m m∆ > ⇔ − − > ⇔ > ∨ < − Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 11 Với điều kiện (**), đường thẳng =y m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B phân biệt có hoành độ ,1 2 x x là nghiệm của (*). Ta có: ( )2 22 1 2 1 1 2 1 21 1 1 4 1AB x x x x x x x x= ⇔ − = ⇔ − = ⇔ + − = ( ) ( )2 1 5 22 3 4 3 2 1 1 5 2 m m m m  − = ⇔ − − − = ⇔  + =  thỏa mãn (**). Kết luận: Các giá trị m cần tìm là: 1 5 2 m − = và 1 5 2 m + = . Đề 1: (ĐH B-2004) Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) 3 2 1 2 3 3 = − +y x x x tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất. Bài giải: TXĐ: D = ℝ Tại điểm uốn ; 2 2 3 U       , tiếp tuyến của (C) có hệ số góc / ( )2 1y = − . Tiếp tuyến ∆ tại điểm uốn của (C) có phương trình: ( ). 2 81 2 3 3 y x y x= − − + ⇔ = − + Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm bất kỳ có hoành độ x bằng: ( )/ / /( ) ( ) ( )22 4 3 2 1 1 2 y x x x x y x y x= − + = − − ≥ − ⇒ ≥ ∀ Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi 2x = (là hoành độ điểm uốn) Do đó, tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất. Đề 1: (ĐH D-2004) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số 3 23 9 1= − + +y x mx x thuộc đường thẳng 1= +y x . Bài giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: / 2 //3 6 9; 6 6= − + = −y x mx y x m // 30 2 9 1= ⇔ = ⇒ = − + +y x m y m m //y đổi dấu từ âm sang dương khi qua m nên điểm uốn của (C) là ( ); 32 9 1U m m m− + + . Để ( ); 32 9 1U m m m− + + thuộc đường thẳng ( )3 2 0 1 2 9 1 1 2 4 0 2 2 = = + ⇔ − + + = + ⇔ − = ⇔ =  = − m y x m m m m m m m Đề 1: (Đề dự bị 2004) Tìm m để đồ thị hàm số 2 2 2 1 − + = − x mx y x có hai điểm cực trị A và B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB song song với đường thẳng 2 10 0− − =x y . Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = ℝ Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 12 ( ) ( ) ( ) 2 / 2 2 / 2 2 2 1 2 2 2 0 1 2 2 0 3 . 21 2 3 0 Ta cã: §Ó hµm sè cã 2 cùc trÞ Ph−¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm ph©n biÖt kh¸c 1. Lóc ®ã, ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua 2 ®i x x m y x g x x x m m m g m − + − = − ⇔ = − + − = ∆ = − + > ⇔ ⇔ < = − ≠ 2 3 // . 2 Óm cùc trÞ cña (C) lµ d: Rá rµng d do y x m AB m = − < Đề 1: (Đề dự bị 2004) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): 1 = +y x x , biết tiếp tuyến đi qua điểm ( )1;7−M . Bài giải: TXĐ: { }\ 0D = ℝ Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( )1;7−M và có hệ số góc k : ∆ : ( )1 7= + +y k x ∆ tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ pt sau có nghiệm ( ) 2 1 1 7 (1) 1 1 (2)  + = + +   − =  x k x x k x Thay (2) vào (1) ta có phương trình: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 1 1 71 1 1 1 1 7 1 21 1 1 7 8 2 1 0 1 4 − + ++ + = − + + ⇔ =     = ⇔ + = − + + ⇔ − − = ⇔   = −  x x xx x x x x x x x x x x x x x x x * Với 1 3 2 = ⇒ = −x k suy ra ( ): 3 1 7 3 4∆ = − + + = − +y x x * Với 1 15 4 = − ⇒ = −x k suy ra ( ): 15 1 7 15 8∆ = − + + = − −y x x Đề 1: (ĐH A-2005) Tìm m để hàm số 1 = +y mx x có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị đến tiệm cận xiên của đồ thị bằng 1 2 . Bài giải: TXĐ: { }\ 0D = ℝ Ta có: / /; 2 1 0y m y x = − = có nghiệm khi chỉ khi 0m > . Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 13 Lúc đó: / 1 2 1 0 1 x m y x m  = − = ⇔  = . Xét dấu /y : Hàm số luôn có cực trị với mọi 0m > . Điểm cực tiểu của (C) là ; 1 2M m m       . Do ( )lim 0 : 0 →+∞ − = ⇒ = ⇔ ∆ − = x y mx y mx mx y là tiệm cận xiên của (C). Theo giả thiết: ( ); 2 2 2 2 1 d 2 1 0 1 21 1 m m m M m m m m m − ∆ = = = ⇔ − + = ⇔ = + + (thỏa) Đề 1: (ĐH B-2005) Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (C): 2 ( 1) 1 1 + + + + = + x m x m y x luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng 20 . Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = −ℝ Ta có: ( ) / 2 0 11 1 1 0 2 31 1 x y m y x m y x y mx x = ⇒ = + = + + ⇒ = − = ⇔  = − ⇒ = −+ +  Xét dấu /y : Đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại là ( );2 3M m− − và điểm cực tiểu là ( );0 1N m + . Lúc đó: ( ) ( )2 20 2 1 3 20MN m m= + + + − + = (đ.p.c.m) Đề 1: (ĐH D-2005) Gọi M là điểm thuộc ( ) 3 21 1: 3 2 3 = − +m m C y x x có hoành độ bằng 1− . Tìm m để tiếp tuyến của ( )mC tại M song song với đường thẳng 5 0− =x y . Bài giải: TXĐ: D = ℝ Ta có / 2y x mx= − . Điểm thuộc ( )mC có hoành độ 1x = − là ;1 2 m M  − −    . Tiếp tuyến tại M của ( )mC có phương trình: ( ) ( )/: ( ) 2 1 1 1 2 2 m m y y x y m x + ∆ + = − + ⇔ = + + Do ( )// : 1 5 5 0 hay 5 4 2 0 m d x y y x m m + = ∆ − = = ⇔ ⇔ = + ≠ Kết luận: Vậy 4m = là y.c.b.t. Đề 1: (Đề dự bị 2005) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( 1;0)−M và tiếp xúc với đồ thị (C): 2 1 1 + + = + x x y x . Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = −ℝ Phương trình tiếp tuyến ∆ qua ( )1,0−M và có hệ số góc k : x −∞ 1 m − 0 1 m +∞ /y + 0 − − 0 + x −∞ 2− 1− 0 +∞ /y + 0 − − 0 + Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 14 ∆ : ( )1= +y k x ∆ tiếp xúc với ( )C ⇔ hệ pt sau có nghiệm ( ) ( ) 2 2 2 1 1 (1) 1 2 (2) 1  + + = + +  + =  + x x k x x x x k x Thay (2) vào (1) ta có phương trình: ( )( ) ( ) 22 2 2 11 1 1 + ++ + = + + x x xx x x x 1⇔ =x ⇒ 3 4 =k Vậy phương trình tiếp tuyến ∆ với ( )C qua ( )1,0−M là: ( )3 1 4 = +y x Đề 1: (Đề dự bị 2005) Tìm m để đồ thị ( ) 2 22 1 3 : + + − = −m x mx m C y x m có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung. Bài giải: TXĐ: { }\D m= ℝ Ta có ( ) − + − = − 2 2 2 2 1x mx m y' x m Hàm số (*) có 2 cực trị nằm về 2 phía trục tung ⇔ = 0/y có 2 nghiệm trái dấu ⇔ = = − < ⇔ − < <21 2 1 0 1 1x x P m m Đề 1: (Đề dự bị 2005) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của 2 2 2 ( ) : 1 + + = + x x C y x . Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua điểm I. Bài giải: TXĐ: { }\ 1D = −ℝ Gọi ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 , 1 + + ∈ ⇔ = + x x M x y C y x Phương trình tiếp tuyến của (C) tại o M : ( )( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 0 02 0 2 ' 1  +  − = − ⇔ − = −  +  x x y y f x x x y y x x x Tiếp tuyến đi qua ( )1,0−I ( )( ) ( ) 2 0 0 0 0 2 0 2 1 0 1 + − − ⇔ − = + x x x y x 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 1 1 + + + ⇔ = + + x x x x x x 2 0⇔ = Vô lí. Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua ( )1,0−I (đ.p.c.m) Đề 1: (Đề dự bị 2005) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 4 26 5= − +y x x . b) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 4 2 26 2log 0x x m− − = Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi Đại học 2014 Giáo viên: LÊ BÁ BẢO0935.785.115 CLB Giáo viên trẻ TP Huế 15 Bài giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: 4 2 4 22 26 log 0 6 5 log 5− − = ⇔ − + = +x x m x x m Đặt 2log 5= +k m Yêu cầu bài toán ⇔ đường thẳng =y k cắt (C) tại 4 điểm phân biệt . Dựa vào đồ thị ta có: 4 5⇔ − < <k 24 log 5 5⇔ − < + <m 2 9 1 9 log 0 1 2 ⇔ − < < ⇔ < <m m Đề 1: (Đề dự bị 2005) Tìm m để đồ thị ( ) ( )= − + + − −3 22 1 1mC : y x m x m tiếp xúc với đường thẳng = − −2 1y mx m . Bài giải: TXĐ: D = ℝ Ta có: (d) tiếp xúc với ( )mC ( ) ( ) 3 2 2 2 1 1 2 1 3 2 2 1 2 − + + − − = − − ⇔  − + + = x m x m mx m x m x m có nghiệm ( ) ( ) 2 2 0 hay 2 1 2 3 2 2 1 2  = − + + = ⇔  − + + = x x m x m x m x m có nghiệm ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 0 hay 3 2 2 1 2 1 − + + = ⇔ =  − + + = − + + x m x m m x