Chuyên đề: Khoảng cách

Chuyên ñề. KHOẢNG CÁCH Ví dụ 1. Hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông ABCD tâm O cạnh a, ( )SA ABCD⊥ và SA = a. Gọi I là trung ñiểm của cạnh SC và M là trung ñiểm của AB. a. ( )IO ABCD⊥ . b. Tính khoảng cách từ I ñến CM Hướng dẫn. Giả sử OH MC MC IH⊥ ⇒ ⊥ . Tức H là hình chiếu của I lên MC. Vậy ( ),d I CM IH= Xét MHO∆ ñồng dạng MNC∆ 2 5 OH OM a OH CN MC = ⇒ = B1: Xác ñịnh hình chiếu của I lên CM. B2: Tập trung tính IH. + Biết IO + Tinh OH Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thoi ABCD tâm O, SA = AB = 2a,
060ABC = và ( )SA ABCD⊥ . a. CM: ( ),BD SC d O SC⊥ ⇒ . b. ( ), , ( , )d O SB d D SB Hướng dẫn. a. Qua BD dựng mặt phẳng ( ) SCα ⊥ tại I thì ( ),d O SC OI= SAC∆ vuông cân tại A nên
45oSCA OIC= ⇒ ∆ vuông cân tại I. b. + Trong tam giác SOB hạ OH ( ),SB d O SB OH⊥ ⇒ = H N M I O D CB A S H K I 2a 2a O D CB A S Dạng I. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một ñường thẳng. Phương pháp: Cách 1: B1: Xác ñịnh mặt phẳng chứa a và O B2: Dựng ñường thẳng qua O và vuông góc a cắt a tại H. B3: ( , )d O a OH= Cách 2. Dựng mặt phẳng ( ) ( ) ( ) ( , ) M a H d O a OH a α α α  ⊃ ⇒ ∩ = ⇒ = ⊥ Chän ®iÓm M trªn ∆1, dùng MH ⊥ ∆2 ( H thuéc ∆2) ta cã d(∆1,∆2) = MH //∆1 ∆2 ∆2 ∆1 M H ( )BD SAC BD SO⊥ ⇒ ⊥ Tam giác ABC ñều nên 3 3 2 AB BO a= = Xét tam giác vuông SOB: . OS. ...OH SB OB OH= ⇒ = + Trong SBD hạ DK SB⊥ nên OH là ñường trung bình. Ví dụ 3. Cho tứ diện S.ABC có ∆ABC ñều cạnh a, ( ),SA ABC ⊥ 3 2 SA a= . Gọi I là trung ñiểm BC. a) Chứng minh: (SBC) vuông góc (SAI). b) Tính khoảng cách từ A ñến (SBC). c) Tính góc giữa (SBC) và (ABC). Ví dụ 4. Cho tứ diện OABC, trong ñó OA, OB, OC ñôi một vuông góc với nhau. Kẻ ( )OH ABC⊥ . 1. CM: H là trực tâm của ABC. 2. CM: 2 2 2 2 1 1 1 1 OH OA OB OC = + + Hướng dẫn 1. Kẻ ( ) ,OH ABC OH BC M⊥ ∩ = Ta có: OH BC BC AH BC OA  ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ H Ia 3a 2 C B A S M H C B A O H C B M A O Dạng II. Khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng Phương pháp: B1: Xác ñịnh hình chiếu H của M lên ( )α ( ( )MH α⊥ ) B2: ( ),( )d M MHα = Dùng: MH ⊥ (α ), H thuéc (α ) ta cã: d(M,(α )) = MH α M H Chän ®iÓm M thuéc ∆, dùng MH ⊥ ∆ ( H thuéc (α )), ta cã d(∆,(α )) = MH ∆ // (α ) ∆ α H M Tương tự BH AC⊥ 2. Theo ñịnh lí 3 ñường vuông góc MO BC⊥ Xét 2 2 2 1 1 1:AOM OH OA OM ∆ = + Ví dụ 5 (ĐH_D_2002). Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), ngoài ra AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5 cm. Tính khoảng cách từ A ñến (BCD) Ví dụ 6. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC ñều, cạnh bên AA’ = a, các mặt bên (A’AB) và (A’AC) cùng hợp với ñáy một góc α . Tính khoảng cách từ A’ ñến (ABC) Hướng dẫn. Hạ ( )' , ,A O ABC AK AB AH AC⊥ ⊥ ⊥ . Khi ñó

' ' ' 'A HO A KO A KO A HOα= = ⇒ ∆ = ∆ AO là phân giác nên
030OAK = . Đặt AH = AK = x. Ta tính A’O bằng 2 cách: + 0 tan' .tan tan30 tan 3 x A O KO AK α α α= = = + 2 2 2 2 2 2 2 0 4' ' 3os30 AK x A O A A AO a a c   = − = − = −    2 2 2 2 2 tan 4 3 3 3 tan 4 x x a a x α α ⇔ = − ⇒ = + Vậy ( )( ) 2 a tan', ' tan 4 d A ABC A O α α = = + 53 4 4 M H C B A D KH O C' B' A' C B A Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ , ñáy là tam giác ñều cạnh a, hình chiếu của C’ lêm (ABC) trùng với tâm ñáy. Cạnh C’C hợp với ñáy một góc 060 .Tính khoảng cách từ C ñến ( )' 'ABB A Hướng dẫn. Ta thấy ( )'/ / ' 'CC ABA B nên khoảng cách từ C ñến (ABA’B’) bằng khoảng cách từ ñiểm bất kì trên CC’ ñến (ABB’A’). Gọi I là trung ñiểm AB hạ ( )'C O ABC⊥ nên
0' 60C CO = Ta có ( )' ' AB CI AB C CI AB C O  ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Trong tam giác C’CI dựng 'IH CC IH AB⊥ ⇒ ⊥ Mặt khác ( )AA' AA '/ / ' ( ' ')IH Vi CC IH ABB A⊥ ⇒ ⊥ Vậy ( )( ), ' "d C ABB A IH= Ta có 02 3 ; ' tan60 3 3 a CO CI CO CO a= = = = Trong tam giác C’IC: . ' ' . 3 a IH C C C OCI IH= ⇒ = Ví dụ 8. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bên và cạnh ñáy ñều bằng a. Cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt ñáy góc 060 và hình chiếu vuông góc của A trên mp(A’B’C’) trùng với trung ñiểm của B’C’. a) Tính khoảng cách giữa hai mặt ñáy của lăng trụ. b) Chứng minh mặt bên BCC’B’ là hình vuông. H I O C B A A' C'B' Dạng III. Khoảng cách hai ñường thẳng chéo nhau. Phương pháp: Để xác ñịnh ñường vuông góc chung và khoảng các hai ñường thẳng chéo nhau. + Trường hợp: a b⊥ B1: Xác ñịnh mặt phẳng ( ) ( ) a b α α  ⊂  ⊥ B2: Giả sử ( ) b Hα ∩ = B3: Từ H dựng ñường thẳng vuông góc với a cắt a tại M B4: ( ),d a b MH= + Trường hợp: a và b không vuông góc. Cách 1. Sử dụng mặt phẳng song song. B1: Dựng ( ) ( ) / / a b α α  ⊂   B2: Xác ñịnh hình chiếu b’ của b lên ( )α B3: Giả sử 'b b H∩ = và lấy ñiểm M b∈ , xác ñịnh hình chiếu M’ của M lên ( )α B4: Từ H dựng ñường thẳng c song song với MM’. B5: ( ) laø ñöôøng vuoâng goùc chung. d , c a b HK   = Cách 2. Mặt phẳng vuông góc. B1: Dựng mặt phẳng ( ) aα ⊥ tại O, ( ) b Iα ∩ = B2: Dựng hình chiếu b’ của b trên ( )α B3: Trong mặt phẳng ( )α vẽ 'OH b⊥ B4: Từ H kẻ ñường thẳng song song với a cắt b tại B B5: Qua B kẻ ñường thẳng song c song song với OH cắt a tại A. B6: c ñöôøng vuoâng goùc chung. AB laø khoaûng caùch giöõa a vaø b    Cách 3. Dựng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ),( ) / / a b d a b d α β α β α β  ⊃  ⊃ ⇒ =   K H M' M b' a b b HO I BA a Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA = h và vuông góc với ñáy. Dựng và tính ñộ dài ñoạn vuông góc chung. a. SB và CD; b. SC và BD c. SC và AB Hướng dẫn. a. ( ),d SB CD CB= b. ( ),d SC BD OH= c. Ta thấy ( )AB SAD⊥ Dựng AK SD⊥ ; kẻ KE // CD. Kẻ EF // AK Ta thấy ( )AK SD AK SCD AK SC AK CD  ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ Vì EF//AK nên EF EF AB SC  ⊥  ⊥ Vậy ( ), EFd SC AB AK= = Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC có ñáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Gọi G là trọng tâm của ñáy ABC. a. Tính khoảng cách từ S ñến (ABC). b. Tính khoảng cách giữa AB và SG. Hướng dẫn. a. Vì S.ABC là hình chóp ñều nên ( )SG ABC⊥ nên ( ),( )d S ABC SG= . b. Ta thấy ( ),CG AB d SG AB HG⊥ ⇒ = Ví dụ 3. Cho hình thoi ABCD tâm O, có cạnh a và 3 3 a OB = . Trên ñường thẳng vuông góc với (ABCD) tại O ta lấy ñiểm S sao cho SB = a. a. CM: SAC vuông và SC vuông góc BD. b. Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ),SAD SAB SCB SCD⊥ ⊥ . c. Tính khoảng cách giữa SA và BD. Hướng dẫn. Ta thấy SOB AOB SO OA OC∆ = ∆ ⇒ = = b.Gọi I là trung ñiểm SA. Vì BS = BA = a BI SA⇒ ⊥ Vì ( )
( ),( )DS DA a DI SA SAB SAD BID= = ⇒ ⊥ ⇒ = F E K H O D CB A S F E K C D S B A H I G C B A S I a 3 3 a a O D C B A S 2 2 6: 3 3 Maø 3 vuoâng a AOB OA AB OB a SO OA OI OI OB OD BID ∆ = − = = ⇒ = ⇒ = = ⇒ c. ( ),d SA BD OI= Ví dụ 4 (ĐH_D_2008). Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy là tam giác vuông và BA = BC = a, cạnh AA' 2a= . Gọi M là trung ñiểm của BC. Tính khoảng cách giữa AM và B’C. Hướng dẫn. Gọi E là trung ñiểm của BB’ Ta thấy B’C//(AEM) ( ) ( ) ( ) ( )' , ' ,( ) ,( ) ,( )d B C AM d B C AEM d C AEM d B AEM BH= = = = Mà BAEM là tứ diện vuông nên: 2 2 2 2 1 1 1 1 BH BA BM BH = + + (*) Nhận xét: Công thức cho tứ diện vuông rất quan trọng. Ví dụ 5 (ĐH_B_2007). Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD cạnh ñáy bằng a. Gọi E là ñiểm là ñiểm ñối xứng với D qua SA. Gọi M, N tương ứng là trung ñiểm của AE và BC. Tìm khoảng cách giữa MN và AC. Hướng dẫn. Gọi P là trung ñiểm AB. MP//EB (1). SE // AD / /SE BC SEBD⇒ ⇒ là HBH / /EB SC (2) Từ (1) và (2): MP // SC Mà PN // AC nên ( ) ( )/ / (3)MPN SAC Nên ( ) ( )( , ) ( ),( ) ,( )d MN AC d MNP SAC d H SAC OH= = = 1 1 2 4 OH OB BD= = Lưu ý: Bài này ñã giải rồi với ý CM : MN BD⊥ H E M C' B' A' C B A H B C M H O P N M E S I D C B A Ví dụ 5 (ĐH_A_2006). Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AB và CD. Tìm khoảng cách giữa A’C và MN. Hướng dẫn. Ta thấy MN//(A’BC). + ( )'BC A AB BC AI⊥ ⇒ ⊥ Mà 'AI A B⊥ Vậy ( ' )AI A BC⊥ Mặt khác dựng MH vuông góc với A’B Thì ( )'MH A BC⊥ Vậy ( ) ( ) ( ), ' ,( ' ) ,( ' )d MN A C d MN A BC d M A BC MH= = = Ví dụ 6 (ĐH_A_2004). Cho hình chóp S.ABCD ñáy là hình thoi cạnh ( )5, 4, 2 2, .AB AC SO SO ABCD= = = ⊥ Gọi M là trung ñiểm của SC. Tìm khoảng cách giữa hai ñường thẳng SA và BM. Hướng dẫn. Dễ thấy ( ) ( ) ( ), ,( ) ,( )d MB SA d S MOB d C MOB CH= = = Ta cm: ( )OB OCM⊥ nên có hình vẽ dưới. Kẻ MK OC⊥ Trong tam giác OMC: .. . MK OCMK OC CH OM CH OM = ⇒ = H M I D' C'B' A' D CB A N K M O D C B A S K H C M O B H B C M